2024年秋季学期初二数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的）
1．2的相反数是（ ）
A． B． C．0 D．2
2．观察下列图形，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，神舟十八号的飞行速度约为468000米/分，把“468000”用科学记数法表示应是（ ）
A． B． C． a D．
4．如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集（ ）
A． B． C． D．
5．在直角坐标系中，将点向下平移2个单位所得的点，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．为了审核书稿中的错别字，选择普查
B．为了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查
C．为了清楚地反映事物的变化情况，可选用扇形统计图
D．质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，选择抽样调查
7．风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知，，，那么与相等．小飞直接证明，他的证明依据是（ ）
第7题图
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
8．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．中国古代建筑具有悠久的厉史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和是（ ）
第9题图
A． B． C． D．
10．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，中，，，点是上的一个动点，则的度数可能是（ ）
第11题
A． B． C． D．
12．如图，在中，点是边上一点，点在上，是的中点，且，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
第12题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．单项式的次数是______．
14．因式分解：______．
15．已知，，则______．
16．已知是二元一次方程组的解，则的值为______．
17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为______．
18．如图，在中，为的中点，点为上一点，，、交于点，若，则的面积为______．
第18题图
三、解答题：（本大题共8题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，再求值：，其中，．
21．（10分）如图，在正方形网格中，点、、、、都在格点上．
（1）作关于直线对称的图形．
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求的面积．
（3）点在直线上，当周长最小时，点在什么位置，在图中标出点．
22．（10分）3月14日是国际数学日，也称“日”．今年3月14日某校七年级300名学生参加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生可获得“日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：，，，，）；
根据以上信息，完成下列问题．
（1）下列抽取样本的方式中，最合理的是______（填写序号）；
①从七年级的学生中抽取名男生；
②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取名学生；
③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取名学生．
（2）写出的值，并补全频数分布直方图．
（3）求这一组对应的扇形的圆心角度数；
（4）这一组的学生积分是：81，82，90，93，93，93，96，98，98，请估计七年级学生获得“日”徽章的人数．
七年级名学生积分频数分布直方图 七年级名学生积分扇形统计图
23．（10分）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若．
（1）求证：是等边三角形；
（2）请判断线段与的大小关系，并说明理由．
24．（10分）课本再现：
（1）由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
如图1，是的外角，则______，所以______．（填“”、“”或“”）
（2）实验与探究：
三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？
智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图2，在中，，求证：．”并作出了辅助线：作的平分线，在上截取，连接．请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证明过程．
（3）创新小组总结了智慧小组的实验探究结论：在一个三角形中，大边对大角；反之，大角对大边．并且他们还提出了一个新问题：如图3，在中，，试比较与之间的大小关系，并证明．
25．（10分）综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为______；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，一般化思考并提出新的问题：如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，求点关于直线的对称点的坐标（用含的式子表示）；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，提出新的探究点，并进行了探究：如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为，小博经过探究得出直线上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是1:2，已知点的纵坐标为，请求出点关于直线的对称点的坐标（用含的式子表示）．
26．（10分）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来，并且只有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为的正方形的边长增加，形成两个矩形和两个正方形，如图1．
这个图形的面积可以表示成：或，
这就验证了两数和的完全平方公式．
（1）类比解决：
如图2，一个边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形．
则①的阴影面积表示为______．
则②的阴影面积表示为______．
由此可以得到的等式是______．
（2）尝试解决：
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：？
如图3，表示1个的正方形，即：，表示1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形，因此：、、就可以表示2个的正方形，即：，而、、、恰好可以拼成一个的大正方形．
由此可得：．
请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：（要求写出结论并构造图形）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：______．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
