2025年高中数学（平面向量及其应用）同步训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列等式中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，.若与平行，则（ ）
A． B．
C．7 D．
6．已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A．； B．； C．； D．．
7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在赵爽弦图”中若，则（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，若，则此三角形为（ ）
A．直角（非等腰）三角形 B．钝角三角形
C．锐角（非等腰）三角形 D．等腰三角形
9．在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
10．△三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）.
A． B．
C． D．
12．在三角形中，，若三角形有两解，则的可能取值为（ ）
A． B．1.1 C． D．1.01
13．在平行四边形中，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
15．在斜中，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若是锐角三角形，则
D．
三、填空题
16．已知空间四边形，连接，，则 ．
17．若，与的夹角是，则向量在方向上的数量投影为 ．
18．在中，P是BC上一点，若，则 .
19．在中，内角所对边分别为，若，则 .
20．在中，满足，且，点P满足，则 .
21．已知不共线向量满足，若，则 .
22．如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则 ， .
23．在中，内角的对边分别为，若，则当有唯一解时，的取值范围是 ．
24．在中，，，且，设为平面上的一点，则的最小值是 ．
25．已知在锐角中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 ．
四、解答题
26．方向角和方位角有何区别？
27．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，．
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
28．试说明，如果三个首尾相接的向量、和所在的线段能拼接成三角形，那么一定满足条件．反过来，如果，那么三向量、和所在的线段一定能拼接成三角形吗？说明理由．
29．在中，已知，，，求角的正弦值．
30．在平面四边形中，，，．
(1)若的面积为，求；
(2)记，若，，求．
试卷第1页，共3页
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《2025年3月15日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B A D A C B C A
题号 11 12 13 14 15
答案 AB BD ABD BCD ACD
1．D
【分析】根据题意及三角形内角和可得，根据正弦定理即可求解.
【详解】因为，，所以.
所以由正弦定理可得.
故选:D.
2．D
【分析】根据相反向量以及零向量的概念，可知①②③④正确，即可求解.
【详解】根据相反向量的概念可知，向量的相反向量的相反向量等于它本身，所以，故①正确；
因为任意向量加上零向量等于这个向量，所以，故②正确；
因为任意向量加上它的相反向量等于零向量，所以，故③正确；
因为任意向量减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，并且任意向量加上零向量等于这个向量，,故④正确.
所以①②③④正确，则正确的个数为4.
故选：D.
3．B
【分析】直接利用正弦定理可求解.
【详解】，，
，
由正弦定理得，
.
故选：B.
4．A
【分析】利用余弦定理可求的值，从而可求三角形的面积．
【详解】因为，故，
而，故，
故，故三角形的面积为，
故选：A．
5．D
【分析】根据平面向量的坐标运算和向量共线的充要条件得到方程，解出即可.
【详解】，
由与平行，可得，解得.
故选：D.
6．A
【分析】依据题给条件列出关于的不等式组，解之即可求得实数的取值范围
【详解】向量，且与的夹角为钝角
则，则，且与不共线
则，解之得
故选：A
7．C
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算，结合方程的思想求解作答.
【详解】依题意，，而，
因此，解得，
所以.
故选：C
8．B
【分析】向量数量积的定义可以联系起夹角，将题目条件变形，应用向量的线性运算，向量积的运算展开即可.
【详解】，则，而，在
中，，即为钝角，所以此三角形是钝角三角形．
故选：B
9．C
【分析】建系求出各点的坐标，进而应用数量积的坐标运算即可.
【详解】如图，以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立直角坐标系，
则，，，
因为是的中点，所以，
因为是线段的中点，所以，
所以，，，
所以，
所以.
故选：C.
.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是建立直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算，从而得解.
10．A
【分析】由已知及余弦定理、三角形内角性质可得，再应用正弦定理有，将目标式转化为且，利用正弦型函数性质求最大值即可.
【详解】由余弦定理，又，故，
由正弦定理知：，则，
所以，而，
则且，
又，当时的最大值为.
故选：A
【点睛】关键点点睛：应用正余弦的边角关系求得，再将目标式转化为三角函数形式，利用正弦函数性质求最值.
11．AB
【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解.
【详解】选项A：由题意知，E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确；
选项B：由图可知，，，所以，故B正确；
选项C：，所以C错误；
选项D：，故D错误.
故选：AB.
12．BD
【分析】根据正弦定理可知三角形有两解，则满足，即可求解.
【详解】若三角形有两解，则满足，故，
故选：BD
13．ABD
【分析】应用几何图形进行向量加减运算，结合向量的概念、三角形及平行四边形法则，即可判断各项正误.
【详解】在平行四边形ABCD中，如图，
因为，，所以，故A正确；
由向量平行四边形法则可得，故B正确；
因为，故C错误；
因为，故D正确.
故选：ABD.
14．BCD
【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.
【详解】对于A，若存在实数，使得，则，无解，所以与不共线，
可以作为平面的基底，故A错误；
对于B，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故B正确；
对于C，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故C正确；
对于D，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故D正确.
故选：BCD.
15．ACD
【分析】A选项通过正弦定理判断即可；B选项利用余弦函数在上单减即可判断；C选项通过判断；
D选项通过进行判断.
【详解】A选项：若，由正弦定理知，故，A正确；
B选项：若，由余弦函数在上单减，则，B错误；
C选项：是锐角三角形，则，，C正确；
D选项：，，化简得，D正确.
故选：ACD.
16．
【分析】依据向量加法法则去化简即可.
【详解】
故答案为：
17．
【分析】根据数量投影定义可得答案.
【详解】向量在方向上的数量投影为.
故答案为：.
18．/
【分析】根据给定条件，用向量表示向量，再利用平面向量基本定理求解作答.
【详解】在中，，则，
又，且不共线，则，所以.
故答案为：
19．/
【分析】变形给定等式，再利用余弦定理求出B作答.
【详解】在中，由，得，
即，整理得，
由余弦定理得：，而，
所以.
故答案为：
20．
【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量共线的性质、平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】因为，所以是的中点，
因此，
因为，，
所以，
因此，
故答案为：
21．
【分析】根据平面向量的加法与数量积的坐标运算列方程求解得的值，并检验与向量是否共线，从而可得符合的的值.
【详解】因为，
所以，
又，所以，整理得，所以可得或，
又当时，为零向量与共线，不符合题意，故.
故答案为：.
22．
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解.
【详解】建立平面直角坐标系，如图，
则,
所以，
由可得，
即，解得,
故答案为：；
23．或
【分析】由余弦定理得，由、可得答案．
【详解】由余弦定理，得，所以，
当时，，关于的二次方程只有一个正根，所以C有唯一解，
当时，解得，此时有唯一解．
综上所述，当或时，有唯一解．
24．/
【分析】根据数量积的运算律求出，则，再根据数量积的定义及二次函数的性质计算可得.
【详解】解：由题意得：，
则，
，
则
，（当且仅当时取等）．
故答案为：．
25．
【分析】
根据余弦定理及正弦定理的边换角得到，再将问题的分式利用正弦定理进行边换角，转化求的范围，再求出的范围，则得到的范围.
【详解】因为,
则,
即,
则,
即
即,
即,
又为锐角三角形,
则,即,即,
又，即，
即,
即的取值范围是,
故答案为：.
【点睛】对于正余弦定理的灵活运用，边角转化，得到关键等式，再次利用正弦定理及两角和差的正弦的逆运用将问题的分式转化为，则题目迎刃而解，本题充分体现了转化的数学思想.
26．答案见解析
【详解】方向角是指指定方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角．
27．(1)，；
(2)证明见解析
【分析】（1）利用向量的加减法运算以及基底的含义求解；
（2）根据向量的共线定理证明三点共线.
【详解】（1）在中，分别是的中点，
则，
故，；
（2）证明：因为，
，
所以，所以，
又因有公共点，所以三点共线．
28．不一定，理由见解析
【分析】通过举反例即可说明．
【详解】，则向量、和所在的线段不一定构成三角形，
例如，，满足，但、和所在的线段在同一条直线上，故不能构成三角形；
当、和不共线且不为时，满足，、和所在的线段一定能拼接成三角形．
29．或
【分析】根据条件，利用正弦定理得到，再利用平方关系得到，由正弦的和角公式，即可求出结果.
【详解】由，
得，
又，得或，
当时，，
当时，.
30．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式可求得，然后利用余弦定理可求得的长；
（2）求得，，在中利用正弦定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】（1）解：，解得，
由余弦定理得，因此，.
（2）解：在中，，
在中，，
由正弦定理得，即，
所以，，即，故.
答案第1页，共2页
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