2025年高中数学必修二（复数）同步训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．若，其中，是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝（ ）
A．1＋2i B．－1－2i
C．±1±2i D．1＋2i或－1－2i
5．下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数，那么是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果，那么是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
6．设，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．若复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．复数（为复数单位）的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
9．已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．在复平面内，复数， （i为虚数单位）对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为（ ）
A． B．1 C．i D．i
11．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（ ）
A．的共轭复数为 B．的虚部为
C． D．在复平面内对应的点在第一象限
12．如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（ ）
A．且 B．
C． D．或
13．欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ）．
A．；
B．；
C．；
D．在复平面内对应的点位于第二象限．
14．在复数范围内，有下列命题：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数是某一元二次方程的根，则一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
15．已知复数，和满足，若，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．1
二、多选题
16．在复数范围内，方程的虚数根是（ ）
A． B． C． D．
17．设复数（，且），则下列结论正确的是（ ）
A．不可能是实数 B．恒成立
C．若，则 D．若，则
18．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部是2 B．
C． D．对应的点在第二象限
19．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A．的实部为1 B．
C．的共轭复数为 D．的虚部为
20．已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的有（ ）
A．z的虚部为 B．
C． D．
21．已知复数（其中i为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A．
B．为实数
C．若，则复数在复平面上对应的点落在第一象限
D．若，复数是纯虚数，则
22．下列关于一元二次方程（其中a，b，，）的说法正确的是（ ）
A．两根，满足，
B．两根，满足
C．若判别式，则该方程有两个相异的根
D．若判别式，则该方程有两个相等的实数根
23．已知，是复数，则以下结论错误的是（ ）
A．若，则，且
B．若，则，且
C．若，则向量和重合
D．若，则
24．复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ）
A．对应的点在复平面的第四象限 B．是一个纯虚数
C． D．
三、填空题
25．计算： .
26．复数的代数形式 （a、）称为它的代数形式，其中的实数a与b分别叫做该复数的 和 .复数的实部记作，复数的虚部记作.
27．若，则 ．
28．的三角形式是 ．
29．1的所有四次方根为 ．
30．设关于x的实系数方程的两个虚根为、，则 ．
31．设复数，，如果是纯虚数，则的值是 ；的虚部为 ．
32．若复数z满足，则的最小值是 .
33．设复数，满足，，，则 ．
34．方程在上解的个数为 ．
四、解答题
35．复数的加法、减法有什么几何意义？
36．计算：
(1)；
(2)；
(3).
37．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
38．已知复数z使得，其中i是虚数单位.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
39．已知复数，i是虚数单位），是实数.
(1)求b的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.
试卷第1页，共3页
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《2025年3月15日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A D B C A A A A
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 D C B D B BD ABC ABC BD BD
题号 21 22 23 24
答案 BD ACD AC BCD
1．A
【分析】根据复数乘法及乘方运算法则进行计算.
【详解】．
故选：A
2．D
【分析】根据复数相等的条件，结合虚部的概念求解即可
【详解】因为，故，故复数的虚部为2
故选：D
3．A
【分析】判断复数的实部、虚部，即可得到方程，解得即可.
【详解】因为复数的实部为，虚部为，
由题意可得，解得.
故选：A
4．D
【分析】设z＝a＋2ai(a∈R)，根据复数模长求参数a，即可得复数z.
【详解】依题意，设复数z＝a＋2ai(a∈R)，
由，解得a＝±1，
故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
故选：D.
5．B
【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.
【详解】对于A中，若，那么，所以A错误；
对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确；
对于C中，若且时，复数，所以C不正确；
对于D中，由虚数单位，可得D错误.
故选：B.
6．C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为，
所以，解得：．
故选：C.
7．A
【分析】由复数的乘方运算化简复数z，再判断对应点所在的象限即可.
【详解】，
故复数在复平面内对应的点为，位于第一象限．
故选：A
8．A
【分析】计算，再计算共轭复数得到答案.
【详解】，则复数（为复数单位）的共轭复数是，
故选：A
9．A
【分析】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可.
【详解】
逆时针旋转后得，所以=.
故选：A
10．A
【分析】先求解两个复数，根据复数的几何意义，得到在复平面所对应点的坐标，求得点在复平面内的坐标即可.
【详解】复数，故点在复平面的坐标为，
复数，故点在复平面的坐标为，
又点为线段的中点，故点在复平面内的坐标为，
故所对应的复数为.
故选：A.
11．D
【分析】先根据复数的除法运算求出复数值，然后结合复数性质逐一分析每个选项
【详解】，
，A选项错误，
的虚部是，B选项错误；
，C选项错误，
在复平面内对应的点为，在第一象限，D选项正确.
故选：D
12．C
【分析】根据题意复数为纯虚数，即得，从而求解.
【详解】由复数是纯虚数，
得
解得:.
故选:C.
13．B
【分析】对于A，根据欧拉公式的定义，代入即可判断；
对于B，根据复数的模的计算公式即可判断；
对于C，将代入，联立两个式子解方程组即可判断；
对于D，表示的复数在复平面内对应的点为，从而得以判断.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确：
对于C，因为，，
所以，故C错误；
对于D，依题意可知表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，
故表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，
因为，所以，则该点位于第四象限，故D错误.
故选：B.
14．D
【分析】对于①②，根据平方根的定义即可判断；对于③，举反例即可排除；对于④，利用平方根的定义与复数相等的性质求得的平方根，从而得以判断.
【详解】对于①，的平方根有两个，分别为和，故①错误；
对于②，1的平方根是和1，故②错误；
对于③，令，则是方程的一个根，但方程的另一个根是，并非，
实际上，只有实系数方程的虚根才是共轭复数，故③错误；
对于④，设的平方根为，则，即，
故，解得或，
所以的平方根为或，显然z的平方根是虚数，故④正确；
综上：①②③错误，④正确，故真命题的个数为.
故选：D.
15．B
【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值.
【详解】根据题意，得，
当，，时，，此时，
所以.
故选：B.
16．BD
【分析】利用一元二次方程在虚数范围内的根的求法.
【详解】方程可化为，
解得或.
故选:BD.
17．ABC
【分析】根据复数的运算和复数的类型的概念求解即可.
【详解】对于A项，若是实数，
则，与已知矛盾，故A项正确；
对于B项，由A项知，
所以，
，
故B项正确；
对于C项，若
，则，
因为，所以，故C项正确；
对于D项，，
则，因为，所以，
所以，故D项错误．
故选:ABC．
18．ABC
【分析】根据复数相等的定义，结合复数虚部定义、复数模的定义、共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征逐一判断即可.
【详解】由复数相等可得解得所以，
的虚部是2，所以A选项正确；
，所以B选项正确；
，所以C选项正确；
对应的点在虚轴上，所以D选项不正确.
故选：ABC
19．BD
【分析】由复数除法法则化简复数为代数形式，然后判断各选项．
【详解】因为，所以的实部为，故A是假命题；，故B是真命题；的共轭复数为，故C是假命题；的虚部为，故D是真命题．
故选：BD．
20．BD
【分析】利用复数的概念、模的计算公式、辐角的定义与乘方的计算方法，对选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A，因为，所以z的虚部为，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为一个复数的辐角有无数多个，故错误，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：BD.
21．BD
【分析】求得的值排除选项A；求得的值选B；求得复数在复平面上对应的点的坐标排除选项C；求得的值选D.
【详解】选项A：.判断错误；
选项B：
则为实数.判断正确；
选项C：若，则
则复数在复平面上对应的点为，落在第二象限.判断错误；
选项D：若，复数是纯虚数，则，解之得. 判断正确.
故选：BD
22．ACD
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系可知C，D正确；由韦达定理知A正确；B中若两根为虚根，则等式不成立，即B错误.
【详解】由一元二次方程根与系数的关系，可得，，
当，是复数时，此关系式仍然成立，故A正确；
当，为虚根时，，故B错误；
当判别式时，该方程有两个相异的实数根，
当判别式时，该方程有两个虚数根，且它们的实部相等，虚部互为相反数，故C正确；
若判别式，则方程有两个相等的实数根，D正确.
故选：ACD.
23．AC
【分析】A选项，根据复数的运算判断；B选项，根据复数的模判断；C选项，根据复数的几何意义判断；D选项，根据共轭复数的定义判断.
【详解】A中只能说明，不一定有，故A错误；
B中，说明，即，故B正确；
C中，说明，但与方向不一定相同，故C错误；
D中，则，故，故D正确．
故选：AC.
24．BCD
【分析】先由复数的运算求出，共轭复数的概念求出，即可判断各选项的正误．
【详解】由题意得：，
对于A项：，对应的点在复平面的第一象限，故A项错误；
对于B项：为纯虚数，故B项正确；
对于C项：，故C项正确；
对于D项：，故D项正确；
故选：BCD.
25．–1
【分析】根据复数代数形式的加法运算可得答案.
【详解】
.
故答案为：.
26． 实部 虚部
【详解】略
27．或
【分析】利用求根公式计算.
【详解】，
或．
故答案为：或.
28．（答案不唯一）
【分析】设，注意求出对应，即可得结果.
【详解】令且，
所以，则满足，
所以三角形式可写成.
故答案为：(答案不唯一)
29．
【分析】根据四次方根的定义在复数范围内求解即可.
【详解】解：设1的四次方根为，则，所以解得或，则或.
故1的所有四次方根为.
故答案为：.
30．
【分析】结合韦达定理和二次方程虚根的概念即可求解.
【详解】由题可知，，
设，a，b∈R，
则，
则．
故答案为：
31．
【分析】由纯虚数的定义结合对数的运算求解即可.
【详解】因为是纯虚数，所以，解得.
则，则的虚部为.
故答案为：；.
32．1
【分析】由可得，则，根据可得的最小值.
【详解】设，，
，，则，
，
当时，.
故答案为：1.
33．
【分析】由已知可得，进而由可得，从而有，故而可得答案.
【详解】解：因为，所以，
又，，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
34．0
【分析】设，原方程化为，结合及复数模的性质求出，再代入方程检验.
【详解】设，则，所以，，
所以方程转化为，
则，
所以，又，则，代入方程，方程不成立，
所以方程的解的个数为．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是设，从而将方程化为.
35．答案见解析
【详解】设向量分别与复数对应，且不共线，以，为两条邻边画平行四边形，则就是复数对应的向量，即．
同理：就是复数对应的向量，即．
复数加法（减法）的几何意义，就是复数的加法（减法）可以按照向量的加法（减法）来进行
36．(1)
(2)
(3)
【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数乘方、加减法的运算法则对（1）（2）（3）进行求解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）
.
37．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复数加减运算即可.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
38．(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的除法运算以及加法运算化简复数，即可根据复数的分类求解，
（2）根据复数乘法化简，根据第四象限的点的特征即可列不等式求解.
【详解】（1）设，∴
∴
∴ 所以，解得，
∴，
∴；
（2）∵m为实数，
∴，
解得
∴的取值范围是.
39．(1)；
(2).
【分析】（1）利用复数的除法可求，再结合其为实数可求；
（2）利用复数的乘方可求，再由它对应的点所处的象限可求的取值范围.
【详解】（1）∵，∴
∵是实数，∴，解得.
（2）由（1）知,
∴，
∵复数在复平面内对应的点在第二象限，
∴，解得，
故实数m的取值范围是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
