八年级数学下册人教版第十七章第2节《勾股定理的逆定理》课时测试题
一、选择题
1． 已知a、b、c分别是△ABC的三边，根据下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=13，c=11 B．a=6，b=10，c=12
C．a=40，b=4l，c=9 D．a=24，b=9，c=25
2．如图，直角中，，，则内部五个小直角三角形的周长为（ ）．
A．32 B．56 C．31 D．55
3．的三边长分别为，，．下列条件：；；∶∶∶∶；∶∶∶∶．其中能判断是直角三角形的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．如图1，在中，点P从点C出发，设点P的运动距离为x，的长为y，则当点P为中点时，的长为（ ）
A．5 B． C． D．8
5．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
6．矩形 中， 是 中点，如果 ，，那么 的长为 （ ）
A． B． C． D．3
7．如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，，按此规律作下去，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（ ）
A．28 B．26 C．32 D．30
二、填空题
9．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，如果一只蚂蚁从点开始经过四个侧面爬行一圈到达点，那么蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
10．在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米．
11．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是
12．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BM=CN，则AM+BN的最小值为 ．
13．如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入 元.
14．如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固定的钢架外，AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架.如图1所示，，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC，CE两边上，其中.当伸缩杆PQ打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架CD的长度为 .当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高(CD与AB之间的距离）为 cm.
15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的面积是的面积是的面积是，则的面积为 ．
16．如图是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图，为地面，支架垂直地面，可分别绕点B，C转动，测量知cm，cm，cm．当转动到，且A，C，D三点共线时，则点A到地面的距离为 cm．
三、解答题
17．阅读：能够成为直角三角形的三边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组的公式为 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边的长．
18．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，技术人员通过测量确定了．
（1）小区内部分居民每天必须从点经过点再到点位置，为了方便居民出人，技术人员打算在绿地中开辟一条从点直通点的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点到点将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
19．材料阅读：给定三个正整数、、，若它们满足，则称、、这三个数为“勾股数”例如：
，，；，即，、、这三个数为勾股数．
，，；，即，、、这三个数为勾股数．
若三角形的三条边、、满足勾股数，即，则这个三角形为直角三角形，且、分别为直角的两条邻边如题图所示
根据以上信息，解答下列问题：
（1）试判断、、是否为勾股数；
（2）若某三角形的三边长分别为、、，求其面积；
（3）已知某直角三角形的两边长为和，求其周长．
四、综合题
20．如图，C地到A，B两地分别有笔直的道路 ， 相连，A地与B地之间有一条河流通过，A，B，C三地的距离如图所示.
（1）如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？
（2）现计划把河水从河道 段的点D引到C地，求C，D两点间的最短距离.
21．如图1，在正方形中，E是的中点．
（1）若，求的长．
（2）如图2，F是线段上的一点，且，求证：是直角三角形．
（3）如图3是一个正方体，棱长，的中点E处有一只蚂蚁，蚂蚁从处出发在正方体表面爬行，经过上某点P处后继续沿直线方向爬到正方体的顶点G处．当的值最小时，求的长．
22．如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C.
（1）若 米， 米.
①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？
②竹竿的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）.
（2）若 ，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小.
23．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）．
（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）；
（2）已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？
24．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：
观察得出：两个因式分别为与
解：原式
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ；
②（十字相乘法） ；
（2）已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状．
答案
1．C
2．B
3．C
4．C
5．D
6．B
7．B
8．A
9．13
10．2.6
11．（ ，3）
12．2
13．7200
14．8；12
15．24
16．
17．解：当n=1时，①a=（m2-1），②b=m，③c=（m2+1）
∵直角三角形的一边长为5
∴当a=5时，（m2-1）=5，m=±（舍去）；
当b=5时，m=5，代入①③中可得a=12，c=13；
当c=5时，（m2+1）=5，m=±3，即m=3，代入①②中可得a=4，b=3
∴另外两条边长为12，13或3，4.
18．（1）解：如图，连接，
，
答：居民从点到点将少走路程；
（2），
是直角三角形，，
，
，
答：这片绿地的面积是．
19．（1）解：因为，且，，都是正整数，故、、是为勾股数．
（2）解：
该三角形是直角三角形
其面积．
（3）解：当是直角边时，则另一条边，周长为；
当是斜边时，则另一条边，周长为．
故其周长为或．
20．（1）解：∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形
∴B地在C地的正北方向
（2）解：作 ，垂足为D，
∴线段 的长就是C，D两点间的最短距离.
∵ 是直角三角形
∴
∴所求的最短距离为
21．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4，∠A=90°，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=2，
∴DE=；
（2）证明：设正方形的边长为4a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD=AD=AB=4a，∠A=90°，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=2a，
∵AE=2BF，
∴BF=a，
∴CF=3a，
在Rt ADE中，
DE=，
在Rt EFB中，
EF=，
在Rt CDF中，
DF=，
∴，
∴∠DEF=90°，
∴ DEF是直角三角形；
（3）解：如图所示，连接AP，
由两点之间，线段最短，则当点P、点E、点G三点共线时，EP+PG有最小值，最小值为EG的长，
∵AD=DG，∠ADC=90°，
∴AP=PG，
∴∠PAG=∠PGA，
∵∠BAG=90°，
∴∠AEP=∠EAP，
∴AP=EP，
∴EP=PG，
∵AD=DG，
∴DP=．
22．（1）解：∠C=90°， 米，
∴ 米，
①根据题意得： ，
∴ 米，
∴ 米，
∴ 米，
即点B将向外移动 米；
②竹竿的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由如下：
设从A处沿墙 下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据题意得：
，
解得： （舍去），
∴从A处沿墙 下滑的距离为3.5米时，点B也向外移动的距离为3.5米，
即竹竿的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等；
（2）解：不可能相等，理由如下：
设AC=BC=a，从A处沿墙 下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则 ，根据题意得：
，
整理得： ，
即 ，
∵a、m、n都为正数，
∴ ，即 .
∴顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离.
23．（1）解：如图，由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得∶，
解得∶，
故旗杆的高度为米
（2）解：由题可知，米，米．
在中，由勾股定理得∶，
解得∶，
∴米，
∴米．
故绳结离地面米高
24．（1）；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
