2024-2025学年广东省深圳市南山第二外国语学校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列表达式中，x为自变量，y是x的二次函数的是( )
A. B.
C. D.
2.二次函数的图象的顶点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.如图，在电线杆离地面高度为7m的A处向地面拉一条揽绳AB，使揽绳AB与地面BC的夹角为，则揽绳AB的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，，，垂足为D，若，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象.根据图象，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
6.小明带妹妹玩秋千，当秋千OA停止不动时，踏板与地面的距离米.小明推了一把，秋千OA旋转到OC位置，踏板与地面的距离米.已知，则秋千顶O与地面距离米.
A.
B.
C. 4
D.
7.已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，若，则k的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知二次函数，则______.
10.在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的图象的函数表达式是______.
11.在平面直角坐标系中，菱形ABCO的位置如图所示，已知，点P是对角线OB上的一个动点，，连接CD，DP，当周长最小时，点P的坐标为______.
12.如图1，在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为______.
13.如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为______米.
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题8分
计算：
解方程：
15.本小题8分
2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措.成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理.为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长.根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
参加这次调查的学生人数为______，图①中 m的值为______；
求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数；
通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学三男一女中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率.
16.本小题8分
如图，在矩形ABCD中，AC是对角线.
用尺规完成基本作图：作AC的垂直平分线，交AC于点O，交AD、BC分别于点E、F，连接CE、保留作图痕迹，不写作法
求证：四边形AECF是菱形.
17.本小题7分
抖音直播购物逐渐走进了人们的生活.为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售.已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可秀出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克.若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为x元，每日获得的利润为w元.
涨价后每日销量将减少______件用含x的代数式表示；
当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？
18.本小题7分
遮阳伞的主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化.“笃学”小组对遮阳伞下的影子展开了项目式学习活动，下表是项目化学习报告.
项目主题 遮阳伞下的影子
活动内容 背景 如图，某款遮阳伞的立柱AP垂直于地面AB，DQ，DG，CF分别为悬托支杆，C点为可旋转伞体的接头，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，CE，CF为伞体支架，且，测量得到，
示意图
资料 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角参照表： 时刻12：0013：0014：0015：0016：0017：00太阳光线与地面的夹角度908570654025参考数据：，，，，，
项目结果 中午12：00时，太阳光线与地面垂直时，将可旋转接头C点进行适当调整，使，此时，点E刚好落在AP上，遮阳效果最佳 下午14：00时，通过调整旋转接头C点使伞体倾斜，当太阳光线与EF垂直时，遮阳效果最佳 下午17：00时，…
项目反思 …
请根据此项目实施的相关材料完成以下任务.
如图1，当中午12：00太阳光线与地面垂直时，地面影子AB的长约为______
如图2，请你求出下午14：00时伞体在地面上留下的影子BK的长注意：任务、的计算结果均精确到
19.本小题11分
综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在等腰中，，点E在AC上且不与点A、C重合，在的外部作等腰，使，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接
【独立思考】
求证：是等腰直角三角形；
【实践探究】
勤学小组突发奇想，将绕点C逆时针旋转，如图2，当点E在线段BC上时，连接AE，DF交BC于点
①四边形ABFD的形状是______；
②请判断线段AF与线段AE的数量关系，并加以证明；
【问题解决】
善思小组受此启发，将绕点C继续逆时针旋转，如图3，当平行四边形ABFD为菱形，且在的下方时，若，，求线段AE的长.请你思考此问题，直接写出结果.
20.本小题12分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
求这个二次函数的表达式；
求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；
在直线BC找一点Q，使得为等腰三角形，写出Q点坐标．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.A
5.A
6.A
7.C
8.B
9.
10.
11.
12.
13.60
14.解：原式
；
，
，
，
解得：，
15.解：参加这次调查的学生人数为人，
，
，
故答案为：40人，15；
，
答：参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为；
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中两男的结果有6种，
选中两男的概率为
16.解：即为所求；
在矩形ABCD中，，
，
是AC的垂直平分线，
，，
≌，
，
四边形AECF是平行四边形，
，
AECF是菱形．
17.解：设涨价后的售价为x元，则每日销量减少：件，
故答案为：；
设每日获的利润为w元，
由题意可得：，
，
当时，W最大，最大值为720，
当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元．
18.解：垂直于地面AB，当中午12：00太阳光线与地面垂直，
四边形ABFE是矩形，
，
，
三角形CEF是等腰三角形，
，，
，
故答案为：；
如图，过点K作于点H，
根据题意可知，当太阳光线与EF垂直时，遮阳效果最佳，
四边形KHFE是矩形，
，，
由得，
，
在中，，
下午14：00时的伞体在地面上留下的影子BK的长约为
19.证明：如图1，四边形ABFD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
解：①如图2，，，
，
，，
，
点E在线段BC上，且，
与CA重合，
点D在AC边上，
，
四边形ABFD是矩形，
故答案为：矩形．
②，
证明：如图2，连接EF，
，，，
，
，
，，，
，
，
，
≌，
，，
，
解：如图3，设AE交CD于点H，
四边形ABFD为菱形，
，
，
垂直平分CD，
，，
，
，
的长为
20.解：由题可知二次函数过点，，
将B、C两点的坐标代入得，
解得，
二次函数的表达式为；
如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P点坐标为，
设直线BC的解析式为，
代入，得，
解得，
直线BC的解析式为，
则Q点的坐标为，
则，
由，
解得，，
，，
，
当时，四边形ABPC的面积最大，最大值为，
此时P点的坐标为；
由得直线BC的解析式为，
设点Q的坐标为，
，，
，，，
为等腰三角形分三种情况：
①当时，，
解得，
此时点Q的坐标为或；
②当时，，
解得或舍去，
此时点Q的坐标为；
③当时，有，
解得，
此时点Q的坐标为
综上所述，Q点坐标为或或或
