第七章 相交线与平行线
(时间:120分钟 分值:120分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)
1.绿色环保,人人参与,平移如图所示的环保图标可以得到的图形是 ( )
2.下列图形中,∠1,∠2不是同位角的是 ( )
3.如图,量得直线l外一点P到l的距离PB的长为3 cm,若A是直线l上一点,则线段PA的长不可能是 ( )
A.3.5 cm B.6 cm
C.2.8 cm D.4 cm
4.如图,下列条件中,能判断AB∥CD的是 ( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4
C.∠DAB+∠ABC=180° D.∠B=∠D
5.下列命题中,为假命题的是 ( )
A.内错角相等,两直线平行
B.两直线平行,同位角互补
C.同角的补角相等
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6.平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.如图1,一束光线m射到平面镜a上,被a反射后的光线为n,则∠1=∠2.如图2,一束光线AB先后经平面镜OM,ON反射后,反射光线CD与AB平行.若∠ABM=25°,则∠DCN的度数为 ( )
A.85° B.75° C.65° D.25°
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.如图,一直角三角尺的直角顶点恰好放在直尺的边缘线上,若∠1=38°,则∠2= °.
第7题图
8.如图,已知m∥n,若∠1+∠2=280°,则∠4-∠3= °.
第8题图
9.将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为 .
10.如图,纸片的边缘AB,CD互相平行,将纸片沿EF折叠,使得点B,D分别落在点B',D'处.若∠1=80°,则∠2的度数是 .
第10题图
11.如图,将直角三角形ABC沿着点B到点C的方向,平移到三角形DEF的位置,AB=10,DH=4,平移距离为8,则阴影部分的面积是 .
第11题图
12.如图,直线AB和CD交于点O,∠AOC=30°,∠BOE=90°,OF平分∠AOD.射线OE以每秒10°的速度绕点O逆时针转动,同时射线OF也以每秒4°的速度绕点O顺时针转动,当射线OE转动一周时,射线OE,OF同时停止转动.在射线OE转动一周的过程中,当OE⊥OF时,射线OE转动的时间为 秒.
第12题图
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(1)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O,且OC平分∠AOE,求∠AOD的度数.
(2)如图,AB∥CD,CE平分∠ACD,∠A=106°,求∠AEC的度数.
14.如图,∠A+∠D=180°,CD∥EF.若∠CFE=78°,求∠B的度数.
15.如图,如果∠1=∠2,那么AB∥CD,这个命题是真命题吗 若是,请说明理由;若不是,请你再添加一个条件,使该命题成为真命题,并证明.
16.电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作,极大地减少了操作人员的数量和劳动强度.如图1,这是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车,某时刻其示意图如图2所示,若AB∥CD∥EF,BC∥DE,∠ABC=60°,求∠DEF的度数.
17.如图,在由小正方形组成的4×4的网格中,请用无刻度直尺按下列要求作格点三角形(图形的顶点都在正方形网格的格点上).
(1)在图1中,将三角形ABC平移,得到三角形A'B'C',使得三角形A'B'C'与三角形ABC无重合部分.
(2)在图2中,线段AB与CD相交,所夹的一个角为∠α,请画一个三角形ABE,使得三角形ABE中的一个角等于∠α.
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在B处的北偏东80°方向.
(1)∠ABC的度数为 .
(2)要使CD∥AB,则∠BCD等于多少度
19.如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC∶∠EOD=2∶3.
(1)∠AOC的对顶角是 ;∠BOD的邻补角是 .
(2)求∠BOE的度数.
20.追本溯源
题(1)来自课本中的习题,请你完成解答,提炼方法并完成题(2).
(1)完成下面的证明.
如图1,AB和CD相交于点O,∠C=∠COA,∠D=∠BOD.求证:AC∥BD.
证明:∵∠C=∠COA,∠D=∠BOD,
且∠COA=∠BOD( ),
∴∠C= ,
∴AC∥DB( ).
方法应用
(2)如图2,AC和BD相交于点O,∠A=∠C,E是CD上一点,F是OD上一点,
且∠DFE=∠AOB.
①求证:∠1=∠A.
②若∠BFE=110°,∠1=60°,求∠B的度数.
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.如图,在三角形ABC中,BC=4 cm,将三角形ABC以0.2 cm/s的速度沿BC所在直线向右平移,所得的图形对应三角形DEF,设运动时间为t s.
(1)请直接写出AB与DE之间的关系.
(2)若∠ADE=60°,求∠B的度数.
(3)当t为何值时,EC=1 cm
22.根据以下素材,探索完成任务.
探究平行线在一副三角尺中的运用
素材背景 亲爱的同学们,学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”,一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的窗口.学完平行线的性质,可探究三角尺摆放位置不同涉及的数学问题.
素材 如图1,这是一副三角尺,∠C=∠F=90°,∠A=∠B=45°,∠D=30°,∠E=60°.
问题解决
任务图
任务1 (1)如图2,将两个三角尺按如图2所示的方式摆放,使点A与点F重合,点E在AC上,AB与DE相交于点G,求∠BGD的度数.
任务2 (2)如图3,将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上,使AB∥MN,三角尺DEF的顶点E在直线MN上,DF与AB相交于点P,则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系 请判断,并说明理由.
六、解答题(本大题共12分)
23.【问题发现】(1)如图1,直线AB∥CD,连接BE,CE,可以发现∠B+∠C=∠BEC.
请把下面的证明过程补充完整:
证明:过点E作EF∥AB.
∵AB∥DC(已知),EF∥AB(辅助线的作法),
∴EF∥DC( ),
∴∠C=∠CEF( ).
∵EF∥AB,
∴∠B=∠BEF(同理),
∴∠B+∠C= (等量代换),
即∠B+∠C=∠BEC.
【拓展探究】(2)如果点E运动到图2所示的位置,其他条件不变,求证:∠B+∠C=360°-∠BEC.
【解决问题】(3)如图3,AB∥DC,E,F,G是AB与CD之间的点,写出∠1,∠2,∠3,∠4,∠5之间的数量关系,并说明理由.
参考答案
1.B 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C
7.52 8.100 9.如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
10.50° 11.64
12. 或 或
提示:当OE,OF还未转动时,∠AOC=30°,∴∠AOD=150°.
∵OF平分∠AOD,∴∠AOF=∠AOD=75°,∴∠EOF=∠AOE+∠AOF=165°.
∵360÷10=36,165÷4=41.25,
∴射线OE转完一周后,射线OF还未到达原射线OE的位置.
设射线OE转动的时间为t秒.
由题意得165-(10t+4t)=90或10t-(165-4t)=90或360-10t+165-4t=90,
解得t= 或 或 ,
∴当射线OE转动的时间为 或 或 秒时,OE⊥OF.
13.(1)解:∵EO⊥AB,∴∠AOE=90°. 1分
∵OC平分∠AOE,
∴∠AOC=∠AOE=×90°=45°, 2分
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°. 3分
(2)解:∵AB∥CD,CE平分∠ACD,
∴∠AEC=∠ECD,∠ACE=∠ECD,
∴∠AEC=∠ACE. 1分
∵∠A=106°,AB∥CD,∴∠ACD=180°-∠A=74°, 2分
∴∠AEC=∠ACE=∠ACD=×74°=37°. 3分
14.解:∵∠A+∠D=180°,∴CD∥AB. 2分
又∵CD∥EF,∴EF∥AB,∴∠B=∠CFE=78°. 6分
15.解:命题“如果∠1=∠2,那么AB∥CD”不是真命题. 2分
添加的条件为BE∥DF(添加的条件不唯一,正确即可). 3分
证明:∵BE∥DF,∴∠MBE=∠BDF.
又∵∠1=∠2,∴∠MBE+∠1=∠BDF+∠2,
即∠MBA=∠BDC,∴AB∥CD. 6分
16.解:∵AB∥CD,∴∠ABC=∠C=60°. 2分
∵BC∥DE,∴∠D=180°-∠C=120°. 4分
∵EF∥CD,∴∠DEF=∠D=120°. 6分
17.解:(1)如图1,三角形A'B'C'为所作. 3分
(2)如图2,三角形ABE为所作,∠BAE=∠α. 6分
18.解:(1)35°. 4分
(2)要使CD∥AB,则∠BCD=35°. 8分
19.解:(1)∠BOD;∠AOD和∠BOC. 3分
(2)设∠EOC=2x,则∠EOD=3x.
∵∠EOC+∠EOD=180°,
∴2x+3x=180°,
解得x=36°,
∴∠EOC=72°,∠EOD=108°. 6分
∵OA平分∠EOC,
∴∠AOE=∠EOC=36°,
∴∠BOE=180°-∠AOE=144°. 8分
20.解:(1)对顶角相等;∠D;内错角相等,两直线平行. 3分
(2)①证明:∵∠DFE=∠AOB,∠AOB=∠COD,
∴∠DFE=∠COD,
∴FE∥OC,∴∠1=∠C. 4分
又∵∠A=∠C,∴∠1=∠A. 5分
②如图,过点F作FG∥AB.
∵∠A=∠C,∴AB∥CD,∴FG∥AB∥CD,
∴∠D=∠BFG,∠1=∠EFG.
∵∠BFE=∠BFG+∠EFG,
∴∠BFE=∠1+∠D,
∴∠D=∠BFE-∠1=110°-60°=50°.
又∵AB∥CD,∴∠B=∠D,∴∠B=50°. 8分
21.解:(1)数量关系是相等;位置关系是平行. 2分
(2)∵三角形ABC沿BC所在直线向右平移,所得的图形对应三角形DEF,
∴∠B=∠DEF,AD∥BF. 3分
∵AD∥BF,
∴∠DEF=∠ADE=60°,
∴∠B=60°. 5分
(3)∵三角形ABC以0.2 cm/s的速度沿BC所在直线向右平移,所得图形对应三角形DEF,
∴BE=0.2t. 6分
∵BE+CE=BC,
∴0.2t+1=4,
解得t=15,
∴当t=15时,EC=1 cm. 9分
22.解:(1)如图1,过点G作GH∥DF.
由题意得∠C=90°,∠DFE=90°,∠B=45°,∠D=30°,
∴∠C+∠DFE=90°+90°=180°,
∴BC∥DF, 2分
∴GH∥DF∥BC,
∴∠HGD=∠D=30°,∠BGH=∠B=45°,
∴∠BGD=∠HGD+∠BGH=30°+45°=75°. 4分
(2)∠DEM-∠DPB=30°. 5分
理由:如图2,过点D作DH∥MN.
∵AB∥MN,∴DH∥AB∥MN,
∴∠HDE=∠DEM,∠HDP=∠DPB. 7分
∵∠HDE-∠HDP=∠EDF,且∠EDF=30°,
∴∠DEM-∠DPB=30°. 9分
23.解:(1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;两直线平行,内错角相等;∠BEF+∠CEF. 3分
(2)证明:如图1,过点E作EF∥AB.
图1
∵AB∥CD,EF∥AB,
∴EF∥CD,
∴∠C+∠CEF=180°,∠B+∠BEF=180°,
∴∠B+∠C+∠BEC=360°,
即∠B+∠C=360°-∠BEC. 7分
(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4. 8分
理由:如图2,过点F作FM∥AB,则AB∥FM∥CD,
图2
由(1)可得∠1+∠3+∠5=∠2+∠4. 12分
单元测试卷
