第三章圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是⊙O上一点，若∠P = 50°，则∠ACB的度数为（ ）；
A．40° B．65° C．115° D．65°或115°
2．已知圆锥的底面半径是2，侧面展开图的圆心角为，则其侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（ ）
A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形
C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm2
4．如图，点为扇形的半径上一点，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且（表示的长），若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，是直径，是弦，，垂足为，则下列说法中正确的是（）
A． B．点是劣弧的中点 C． D．是弧中点
6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知一个半径为6的扇形面积是4π，则这个扇形的圆心角是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
8．如图，将⊙O的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，M也是线段NE、AH的黄金分割点．在以下结论中，不正确的是（ ）
A． B． C．BN＝NM＝ME D．∠A＝36°
9．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
10．如图，点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C两点，连结AC并延长交BO的延长线于点D．若AB＝3，BD＝4，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，内接于，且，的延长线交于点，若与相似，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知⊙O的半径为7，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为4，则⊙O上到直线l的距离为3的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE= ．
14．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中∠B＝30°，则BC的长为 ．
15．如图，已知为直径，若是内接正边形的一边，是内接正边形的一边，，则 ．
16．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个．
17．圆锥的底面积是侧面积的，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是 °．
三、解答题
18．如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．
（1）求证：为的中点．
（2）若的半径为，的度数为，求线段的长．
19．已知正方形的边长为2，求右图中阴影部分的面积．
20．如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．求证：AE平分∠CAB．
21．请完成以下问题：
（1）如图1，，弦AC与半径OD平行，求证：AB是⊙O的直径；
（2）如图2，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．已知圆的半径为r，AC=y，CD=x，求y与x的函数关系式．
22．如图，已知抛物线y=-x2+bx+6与x轴交于点A（﹣6，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）写出顶点的坐标，并求AB的长；
（3）若点A，O，C均在⊙D上，请写出点D的坐标，连接BC，并判断直线BC与⊙D的位置关系．
23．如图，在⊙O中，∠ACD＝15°，，求∠BPC的大小．
24．如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．
（1）求与直线相切时点的坐标．
（2）请直接写出与直线相交、相离时的取值范围．
《第三章圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C D B B B C B D
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】首先根据题意画出图形，分别从点C在优弧ACB上与劣弧AB上去分析；如图1，连接OA，OB，由切线的性质与四边形内角和定理，可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得∠BCA的度数；如图2，连接OA，OB，在优弧上取点D，连接AD，BD，同理可得：∠ADB=65°，又由圆的内接四边形的性质，求得∠BCA的度数．
【详解】如图1:连接OA，OB，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴
∵
∴
∴
如图2，连接OA，OB，在优弧上取点D，连接AD，BD，
同理可得：
∴
∴∠BCA的度数为：65°或115°
故选:D.
【点睛】考查切线的性质，圆内接四边形的性质以及圆周角定理，在同圆或等圆，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键.
2．A
【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后根据扇形的面积公式计算扇形的面积，从而得到圆锥的侧面积．
【详解】解：设圆锥的母线长为，
根据题意得，
解得，
所以圆锥的侧面积．
故选：A．
3．C
【详解】解：由题意得：BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，
∴OA⊥CA，OB⊥BC，
又∵∠C=90°，OA=OB，
∴四边形AOBC是正方形，
∴OA=AC=4，故A，B正确；
∴的长度为：=2π，故C错误；
S扇形OAB==4π，故D正确．
故选C．
【点睛】本题考查切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算．
4．D
【分析】连接OD，求出∠AOB，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可．
【详解】解：连接交AC于．
由折叠的知识可得：，，
，
，
且，
设圆锥的底面半径为，母线长为，
，
．
故选D．
【点睛】本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键．
5．B
【分析】根据弦的定义及垂径定理解答即可.
【详解】A. ∵AD
C.OE与EB不一定相等，故不正确；
D. ∵CD不过圆心，∴ 不是弧中点，故不正确；
故选B.
【点睛】本题考查了直径是圆内最长的弦，以及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键.垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.
6．B
【详解】
过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PO，PA．
∴AE=AB=，PA=2，PE==1．
∴PD=．
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴DC=2，
∴a=PD+DC=2+．
故选B．
7．B
【详解】∵r=6，S扇形=4π，
∴＝4π，
解得n=40；
∴这个扇形的圆心角为40°．
故选B.
8．C
【分析】由A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接CO、OD求得∠COD＝72°根据圆周角定理得到∠CAD＝36°；连接CD、AE，得出AM＝EM，再根据黄金分割的定义和相似三角形的性质判断即可．
【详解】连接CO、OD 、CD、AE，
∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴∠COD＝72°，
∴∠CAD＝36°；D正确，不符合题意；
同理可得，∠BEA＝∠DAE＝∠BDC＝∠ECD＝∠ADB＝36°；
∴AM＝EM，∠AMN＝72°；
∴AM≠MN，C错误，符合题意；
∵M也是线段NE的黄金分割点,
∴，即，A正确，不符合题意；
∵∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝72°；
∴△ADC∽△AMN，
∴，
同理∠ACD＝∠ADC＝72°；
∴∠ACD＝∠DFC＝72°；
∴DC＝DF，
∴，B正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了圆周角定理、黄金分割和相似三角形，解题关键是根据圆周角定理求出角度，利用黄金分割和相似三角形解决问题．
9．B
【分析】法一：首先根据题意得出，然后根据圆直径所对的圆周角等于90°得出在以为直径的上，得到点O，P，C共线时PC最小，利用勾股定理求出OC的长度，减去OP的长度即可求出PC的长度．
法二：首先根据题意得出，取中点，连接，，根据三角形两边之差小于第三边得出点P，D，C共线时PC的长度最小，利用勾股定理求出DC的长度，然后再减去DP的长度即可求出PC的长度．
【详解】解：法一：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的上，如图①，连接交于点，此时最小，
在中，∵，，，
∴，
∴．
∴的最小值为2．
故选：B．
法二：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，取中点，连接，，如图②．
∵，
∴．
∵，，
∴．
在中，（当且仅当在线段上时，取等号），
故最小值为．
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理的运用，动点线段最值问题，解题的关键是根据题意分析出AB的中点和点P，点C共线时PC的长度最小．
10．D
【分析】连接，根据题意得到、，由切线长定理求得，最后根据勾股定理在、中求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C两点，
，，
∴，
在中，，AB＝3，BD＝4，
由勾股定理得，
，
设半径，则，
在中，，CD＝2，，，
由勾股定理知，
得，即，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查在圆背景下利用勾股定理求线段长，掌握切线的性质、切线长定理以及在直角三角形中根据勾股定理列方程求解问题是解题关键．
11．B
【分析】本题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
本题先连接，则，所以，由，得，则，由，得，求得，即得到本题的答案．
【详解】解：连接，如图：
，
则，
∴，
∵，且，，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
故选：．
12．C
【分析】根据平行线间的距离相等，先过点D作AB⊥OC，即可求得⊙O上到直线l的距离为3的点的个数．
【详解】解：如图，
∵⊙O的半径为7，点O到直线l的距离为4，
∴CE＝3，
过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，且DE＝3，
∴⊙O上到直线l的距离为3的点为A、B、C，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了与圆有关的知识点，准确利用平行线的性质进行求解是解题的关键．
13．.
【详解】由圆周角定理可知，∠E=∠C，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠E=∠C，
∴△ABE∽△ACD.
∴AB:AD=AE:AC，
∵AB=4，AC=5，AD=4，
∴4:4=AE:5，
∴AE=5，
故答案为5.
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是证出△ABE∽△ACD.
14．14
【分析】如图，过点O作，交于点，交于点，取的中点，连接，根据垂径定理可得，根据已知数据以及勾股定理求得的长，设，则，在中，得出,即可求得，进而求得，在中，勾股定理即可求得,进而求得的长．
【详解】如图，过点O作，交于点，交于点，取的中点，连接，
是等腰直角三角形
,
在中
在中
设，则，
在中，
，
，
即
解得
在中，
．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得的长是解题的关键．
15．
【分析】连接OD，OC，BC，根据题意首先证明∠AOD=∠BOC，再根据题意，分别用含n的式子表示出∠AOD和∠COD，建立关于n的方程求解即可．
【详解】如图，连接OD，OC，BC，
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
又∵，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴AD=BC，∠AOD=∠BOC，
∵是内接正边形的一边，
∴，
同理：是内接正边形的一边，
∴，
由，
得：，
解得：，或（不符合题意，舍去）
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，理解正多边形与圆的关系是解题关键．
16．7
【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径．
根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个．
【详解】如图，∵的半径为，
∴直径，
∴弦长的整数值有或或或，共4种可能，
当或或时,各有2条,
当时有1条,
∴这样的弦共有7条．
∴这样的点P共有7个．
故答案为：7．
17．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，该圆锥侧面展开图的圆心角度数为，先根据扇形的面积公式和已知得到，则，然后利用弧长公式得到，从而得到的值．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，该圆锥侧面展开图的圆心角度数为，
根据题意得，
解得，
因为，
即，
解得，
即该圆锥侧面展开图的圆心角度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，熟练掌握圆锥的基本性质是解题关键．
18．（1）证明见详解；（2）．
【分析】（1）通过同弧或等弧所对的圆周角相等，结合、互相垂直，证明，可得结果；
（2）连接AC，OA，OB，AB，证明M为AE中点，得MN为的中位线，结合的度数为90°，半径为8，得到AB的长度，进而得到MN长度．
【详解】（1）∵点为的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴°
在和中
∴
∴
∴点N为BE中点
（2）连接CA，AB，OA，OB，如图所示：
∵点为的中点
∴
在和中
∴
∴，即M为AE中点
∵N为BE中点
∴MN为的中位线
又∵的半径为，的度数为
∴，OA=OB=8
∴
∴
【点睛】本题考查了利用圆周角定理的性质结合全等三角形证明中点问题，同时考查了直角三角形的边长的计算，及中位线的作用，熟知以上知识是解题的关键．
19．2.28
【分析】先求出弓形的面积，然后即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：根据题意，则
．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，以及求弓形的面积，解题的关键是熟练掌握间接法求阴影部分图形的面积．
20．见解析.
【分析】连接OE，则OE⊥BC，推出OE∥AB，推出∠1=∠OEA=∠BAE，即可得出答案；
【详解】解：连接OE，
∵⊙O与BC相切于E，
∴OE⊥BC，
∵AB⊥BC，
∴AB∥OE，
∴∠BAE=∠OEA，
∵OA=OE，
∴∠1=∠OEA，
∴∠1=∠BAE，
即AE平分∠CAB．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，切线的性质，平行线性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
21．（1）详见解析；（2）y=2r﹣．
【详解】试题分析：（1）连接BC，由得 OD⊥BC，又AC∥OD，故AC⊥BC，所以是圆的直径；
（2）连结，连结交于点，易证，得，由中位线性质计算出DH,代入即可.
试题解析：（1）证明：连结，交于点
∵
∴OD⊥BC，即
又AC∥OD，
弦是圆的直径（的圆周角所对的弦是直径） .
（2）如图，连结，连结交于点
是⊙的直径
弦与半径平行
，
得
是的中点
是的中位线
即
化简得：
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系．
22．（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+6；
（2）AB的长为9；
（3）D点的坐标为（﹣3，3），直线BC与⊙D相交．
【详解】试题分析：（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据配方法，可得顶点坐标；根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据两点间的距离，可得答案；
（3）根据直角三角形的斜边大于直角边，可得r与d的关系，根据d
（1）将A点坐标代入函数解析式，得
﹣×（﹣6）﹣6b+6=0，
解得b=﹣1，
该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+6；
（2）y=﹣x2﹣x+6配方，得
y=﹣（x+）2+，
顶点坐标为（﹣，）；
当y=0时，﹣x2﹣x+6=0，
解得x=﹣6，x=3，
即A（﹣6，0）B（3，0），
AB的长3﹣（﹣6）=9；
AB的长为9；
（3）点D在AO的中垂线上，CO的中垂线上，
D点的横坐标为=﹣3，D的纵坐标为=3，
D点的坐标为（﹣3，3）；
作DE⊥BC于E如图，
DC＞DE，
d＞r，
直线BC与⊙D相交．
点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是配方法；解（3）的关键是利用直角三角形的斜边大于直角边得出d>r.
23．∠BPC＝40°
【分析】连接OA，OB，OC，OD，根据题意可知∠AOB=∠BOC=∠COD，∠AOD=2∠ACD=30°，根据∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，求得∠BOC的度数，即可得到∠BAC的度数，再利用三角形外角性质求解即可.
【详解】
如图，连接OA，OB，OC，OD，
∵∠ACD＝15°，
∴∠AOD=2∠ACD=30°，
∵，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，
解得：∠BOC=110°，
∴∠BAC=∠BOC=55°，
则∠BPC=∠BAC﹣∠ACD=55°－15°=40°.
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的基本知识点，三角形的外角性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
24．（1）点的坐标为或（2）当时，与直线相交．当或时，与直线相离
【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点P的横坐标，再根据直线的解析式求得点P的纵坐标．
（2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时x的取值范围．
【详解】（1）过作直线的垂线，垂足为．
当点在直线右侧时，，得，．
当点在直线左侧时，，得，．
当与直线相切时，点的坐标为或．
（2）当时，与直线相交．
当或时，与直线相离
