浙江省杭州第七中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题
1．（2024高二上·上城期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·上城期末）已知，为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·上城期末）已知平面向量，，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
4．（2024高二上·上城期末）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·上城期末）已知，，则（ ）
A． B． C．或 D．
6．（2024高二上·上城期末）数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当较大时，（，常数）．利用以上公式，可以估算的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·上城期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2024高二上·上城期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·上城期末）已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为，则（ ）
A．
B．这组数据的中位数为4
C．若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5
D．这组数据的第70百分位数为5.5
10．（2024高二上·上城期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（ ）
A．
B．
C．是锐角三角形
D．的最大内角是最小内角的倍
11．（2024高二上·上城期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，，点E是棱上一点（不包括端点），F是平面内一点，则（ ）
A．一定不存在点E，使平面
B．一定不存在点E，使平面
C．以D为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面的交线长为
D．的最小值
12．（2024高二上·上城期末）已知函数，的零点分别为、，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024高二上·上城期末）过、两点的直线的斜率为 ．
14．（2024高二上·上城期末）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为 ．
15．（2024高二上·上城期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ．
16．（2024高二上·上城期末）已知双曲线：的右顶点，右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点P，直线PF与C的一个交点为Q，，且，则C的离心率为 ．
17．（2024高二上·上城期末）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值．
18．（2024高二上·上城期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．
（1）求的值；
（2）求证：．
19．（2024高二上·上城期末）树人中学从参加普法知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组后得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；
（2）如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；
（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．
20．（2024高二上·上城期末）如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，，平面平面．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐角的余弦值．
21．（2024高二上·上城期末）如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，且满足．当点在圆上运动时，的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）点，过点作斜率为的直线交曲线于点，交轴于点．已知为的中点，是否存在定点，对于任意都有，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2024高二上·上城期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得 （其中），则称为的“重覆盖函数”．
（1）判断是否为的“n重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
（2）若，为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
（3）函数表示不超过的最大整数，如．若为的“重覆盖函数”请直接写出正实数的取值范围（无需解答过程）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，解得，或，则集合，
因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】先解不等式求得集合B，再利用交集的定义求解集合即可.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，故.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再利用复数的模长公式求的值即可.
3．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，
所以，，
又因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，先求出、的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示列方程，求解即可.
4．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线左支上存在点使得，所以，即，，即离心率的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】由题意，结合双曲线的性质，双曲线左支上的点到右焦点的距离：化简即可确定双曲线离心率的取值范围.
5．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
由，解得，故.
故答案为：D.
【分析】根据，可得，解方程，求得的值，再利用同角三角函数的基本关系求的值即可.
6．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：依题意可得，
，
两式相减可得.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，，两式相减，根据对数的运算法则求解即可.
7．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，所以，，
则，
不能推出，即充分性不成立；
可推得成立，即必要性成立；
故，“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：B．
【分析】由求得，，根据两角差的余弦公式推得，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可．
8．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆化为标准方程为，
则圆心为，半径为，如下图所示：
由圆的几何性质可知：，，
因为，，，所以，
所以，则，
设，则为的中点，
由勾股定理可得，
由等面积法可得，
所以当取最小值时，取最小值，由，可得，
所以的最小值为，当与直线垂直时，取最小值，
则，因为，所以.
故答案为：D.
【分析】先化圆的一般方程为标准方程，由圆的几何性质推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，根据点到直线的距离公式列出关于的等式，求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、因为数据的平均数为，所以，
解得，故A正确；
B、数据从小到大排列为3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则中位数，故B错误；
C、若将这组数据每一个都加上0.3，则新数据的平均数变为，故C正确；
D、因为，所以这组数据的第百分位数为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】由题意，根据数据的平均数为求出值，再根据中位数、平均数和百分位的性质逐项计算判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、由，，，根据正弦定理可得，故A正确；
B、由余弦定理可得，，，所以，故B错误；
C、因为，所以为最大角，又因为，所以为锐角，故为锐角三角形，故C正确；
D、因为，所以为最小角，则，
又因为，则，则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意，利用正弦定理即可判断A；利用余弦定理即可判断BC；利用二倍角的余弦公式即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：A、在四棱锥中，面，因为面，
所以，因为底面是正方形，所以，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设，
，
显然面的一个法向量为，而，
即不垂直，所以与平面不平行，故A正确；
B、又，
所以，即，
若，则，
所以存在点，使得，
又平面，所以平面，故B错误；
C、由题意球面与的交线如图中圆弧，
而，所以，
所以圆弧的弧长为，故C正确；
D、由于面，面，所以，
而，面，所以面，
又面，所以，
同理，且，
把展开到同一平面内，要使取得最小值，当且仅当点在上，且，如图所示：
因为，所以由勾股定理得，
所以，
而，所以，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可判断A，B；将展开到同一平面内计算即可判断D；求出球面与的交线，再借助对称计算即可判断C.
12．【答案】A,B,C
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；基本不等式
【解析】【解答】解：函数化简可得，则函数的图象关于直线对称，
由，得，
由，得，
同一直角坐标系中，作出函数、、的图象，如图所示：
由对称性可知，点、关于直线对称，
A、，，故A正确；
B、由，得，所以，故，故B正确；
C、若，由可得，则，
这与即矛盾，所以，，
，故C正确；
D、因为，，由不等式的基本性质可得，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意，分析可知函数的图象关于直线对称，同一直角坐标系中，作出函数、、的图象，利用图象的对称性即可判断A；由化简即可判断B；由基本不等式即可判断C；利用不等式的基本性质即可判断D.
13．【答案】
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】解：由斜率公式可得，即直线的斜率为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用两点间的斜率公式直接计算即可.
14．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为，，，则，则，
将直三棱柱补成长方体，如图所示：
则直三棱柱的外接球直径为，
故该直三棱柱的外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】由题意，将直三棱柱补成长方体，求出该直三棱柱的外接球的直径，再利用球体的表面积公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：
，
因为，所以，
又因为，所以，所以，即.
故答案为：.
【分析】利用两角和的正弦公式，将函数化成的形式，再根据函数在给定区间上的值域求的取值范围即可.
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，作出图形，如图所示：
易知，，由对称性，不妨设P在x轴上方，设，
因为，所以，
所以，即，解得，
则点坐标为，且轴，
过作轴的垂线，过作轴的垂线，相交于点，
则，又，所以，可得点的坐标为，
因为在双曲线上，所以，即，解得.
故答案为.
【分析】先根据条件：，确定点坐标，再根据条件：确定点坐标，根据在双曲线上求双曲线的离心率即可.
17．【答案】（1）解：，
则，
故函数的最小正周期为；
（2）解：当时，，
所以函数在上单调递增，故.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数的解析式，求得函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式求函数的最小正周期即可；
（2）由求出的取值范围，再利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的最大值.
（1）解：因为，
则，
故函数的最小正周期为.
（2）解：当时，，
所以，函数在上单调递增，故.
18．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
所以；
（2）证明：因为，所以，
所以，
所以，即，所以．
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【分析】（1）用、表示，再根据向量的数量积定义及运算律计算即可；
（2）用、表示、，根据向量的数量积运算律求出，证明即可.
（1）因为，
所以，
所以，
所以；
（2）因为，
所以，
所以，
所以，即，所以．
19．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知：组的频率为：，
则频率分布直方图为：
因为组对应的小矩形最高，所以估计本次知识竞赛成绩的众数为；
（2）解：由频率分布直方图得分数不低于分的频率为：，
所以这名参赛同学中估计进入复赛的人数为：；
（3）解：从第一组，第二组和第六组三组同学中分层抽取人，
因为第一、二、六组的频率之比为，
所以第一组抽取人，第二组抽取人，第六组抽取人.
设这人分别为：，从这6人中任选2人的抽法有：
基本事件总数，
所抽取的人成绩之差的绝对值小于包含的基本事件有：
基本事件个数个数.
所以所抽取的人成绩之差的绝对值小于的概率为.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由题意，根据频率分布直方图中各矩形的面积之和为1，求出组的频率，即可补全频率分布直方图，由此估计本次知识竞赛成绩的众数；
（2）由频率分布直方图求出成绩不低于88的频率，由此估计进入复赛的人数；
（3）根据分层抽样求出各组抽取的人数，再用古典概型求出所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25个概率.
（1）组的频率为：.
所以补全频率分布直方图为：
因为组对应的小矩形最高，
所以估计本次知识竞赛成绩的众数为.
（2）由频率分布直方图得分数不低于分的频率为：
.
所以这名参赛同学中估计进入复赛的人数为：.
（3）从第一组，第二组和第六组三组同学中分层抽取人，
因为第一、二、六组的频率之比为，
所以第一组抽取人，第二组抽取人，第六组抽取人.
设这人分别为：，从这6人中任选2人的抽法有：
基本事件总数，
所抽取的人成绩之差的绝对值小于包含的基本事件有：
基本事件个数个数.
所以所抽取的人成绩之差的绝对值小于的概率为.
20．【答案】（1）证明：连接、，
因为四边形为正方形，则，，
因为，，，，则，
由余弦定理可得，
所以，，则，则，
因为平面平面，平面平面，，
平面，则平面，
因为平面，则，
因为，、平面，则平面，
因为平面，则，
因为，、平面，则平面，
因为平面，则；
（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，
故平面与平面所成锐角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接、，推导出，利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，推导出平面，可得出，利用正方形的性质可得出，可得出平面，再利用线面垂直的性质证明即可；
（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐角的余弦值即可.
（1）证明：连接、，
因为四边形为正方形，则，，
因为，，，，则，
由余弦定理可得，
所以，，则，则，
因为平面平面，平面平面，，
平面，则平面，
因为平面，则，
因为，、平面，则平面，
因为平面，则，
因为，、平面，则平面，
因为平面，则.
（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，
因此平面与平面所成锐角的余弦值为.
21．【答案】（1）解：设点、，则，
因为，所以，
则，则，所以，
因为点在圆，则，所以，整理可得，
由于点与点不重合，所以，
故曲线的方程为；
（2）解：存在定点满足题意，理由如下：
记，则直线的方程为，
联立，消元整理可得，
解得，则，
故点，点，则，
因为，则，
在直线中，令，可得，即点，
所以直线的方程为，
所以存在定点，使得.
【知识点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设点、，则，根据平面向量的坐标运算可得出，代入等式化简即可求得曲线的方程即可；
（2）记，则直线的方程可化为，将该直线方程与曲线的方程联立，求出点的坐标，进而求出点的坐标，求出及点的坐标，根据可求出直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标，即为所求的点.
（1）设点、，则，
因为，所以，
则，则，所以，
因为点在圆，则，所以，整理可得，
由于点与点不重合，所以，
因此曲线的方程为.
（2）存在定点满足题意，理由如下：
记，则直线的方程为，
联立，得，
解得，则，
故点，所以点，则，
因为，则，
在直线中，令，可得，即点，
所以直线的方程为，
所以存在定点，使得.
22．【答案】（1）解：因为，，，则，
由定义可得，对任意，恰好存在不同的实数，，使得，（其中，2，，），
即，可得，
所以对于任意，能找到一个，使得，
所以是的“重覆盖函数”， 且；
（2）解：函数 的定义域为，
即对任意，存在2个不同的实数，，使得 （其中），
因为，则，
所以，即，
即对任意，有个实根，
当时，已有一个根，故只需时，仅有1个根，
当时，，符合题意，
当时，，则需满足，解得，
当时，抛物线开口向下，，，若仅有1个根，由知，
当时，，所以无解，则只需，解得，
综上，实数的取值范围是；
（3）解：因为，
当时，当时且，
当且仅当时取等号，所以，
综上可得，即，
则对于任意，，要有个根，
，作出函数的图象（部分），如图：
要使，有个根，则，
又，则，
故正实数的取值范围．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由题意，根据“重覆盖函数”新定义，结合单调性求解即可；
（2）先求出的值域，然后把问题转化为与有两个交点，再对分类讨论求解即可；
（3）先求出的值域，作出的图象，结合函数图象求解即可．
（1）因为，，，
则，
由定义可得，对任意，恰好存在不同的实数，，使得，（其中，2，，），
即，可得，
所以对于任意，能找到一个，使得，
是的“重覆盖函数”， 且；
（2）可得 的定义域为，
即对任意，存在2个不同的实数，，使得 （其中），
，则，
，即，
即对任意，有个实根，
当时，已有一个根，故只需时，仅有1个根，
当时，，符合题意，
当时，，则需满足，解得，
当时，抛物线开口向下，，，若仅有1个根，由知，
当时，，所以无解，则只需，
解得，
综上，实数的取值范围是；
（3）因为，
当时，当时且，
当且仅当时取等号，所以，
综上可得，即，
则对于任意，，要有个根，
，作出函数的图象（部分），如图：
要使，有个根，则，
又，则，
故正实数的取值范围．
浙江省杭州第七中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题
1．（2024高二上·上城期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，解得，或，则集合，
因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】先解不等式求得集合B，再利用交集的定义求解集合即可.
2．（2024高二上·上城期末）已知，为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，故.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再利用复数的模长公式求的值即可.
3．（2024高二上·上城期末）已知平面向量，，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，
所以，，
又因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，先求出、的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示列方程，求解即可.
4．（2024高二上·上城期末）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线左支上存在点使得，所以，即，，即离心率的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】由题意，结合双曲线的性质，双曲线左支上的点到右焦点的距离：化简即可确定双曲线离心率的取值范围.
5．（2024高二上·上城期末）已知，，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
由，解得，故.
故答案为：D.
【分析】根据，可得，解方程，求得的值，再利用同角三角函数的基本关系求的值即可.
6．（2024高二上·上城期末）数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当较大时，（，常数）．利用以上公式，可以估算的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：依题意可得，
，
两式相减可得.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，，两式相减，根据对数的运算法则求解即可.
7．（2024高二上·上城期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，所以，，
则，
不能推出，即充分性不成立；
可推得成立，即必要性成立；
故，“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：B．
【分析】由求得，，根据两角差的余弦公式推得，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可．
8．（2024高二上·上城期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆化为标准方程为，
则圆心为，半径为，如下图所示：
由圆的几何性质可知：，，
因为，，，所以，
所以，则，
设，则为的中点，
由勾股定理可得，
由等面积法可得，
所以当取最小值时，取最小值，由，可得，
所以的最小值为，当与直线垂直时，取最小值，
则，因为，所以.
故答案为：D.
【分析】先化圆的一般方程为标准方程，由圆的几何性质推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，根据点到直线的距离公式列出关于的等式，求解即可.
9．（2024高二上·上城期末）已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为，则（ ）
A．
B．这组数据的中位数为4
C．若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5
D．这组数据的第70百分位数为5.5
【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、因为数据的平均数为，所以，
解得，故A正确；
B、数据从小到大排列为3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则中位数，故B错误；
C、若将这组数据每一个都加上0.3，则新数据的平均数变为，故C正确；
D、因为，所以这组数据的第百分位数为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】由题意，根据数据的平均数为求出值，再根据中位数、平均数和百分位的性质逐项计算判断即可.
10．（2024高二上·上城期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（ ）
A．
B．
C．是锐角三角形
D．的最大内角是最小内角的倍
【答案】A,C
【知识点】二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、由，，，根据正弦定理可得，故A正确；
B、由余弦定理可得，，，所以，故B错误；
C、因为，所以为最大角，又因为，所以为锐角，故为锐角三角形，故C正确；
D、因为，所以为最小角，则，
又因为，则，则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意，利用正弦定理即可判断A；利用余弦定理即可判断BC；利用二倍角的余弦公式即可判断D.
11．（2024高二上·上城期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，，点E是棱上一点（不包括端点），F是平面内一点，则（ ）
A．一定不存在点E，使平面
B．一定不存在点E，使平面
C．以D为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面的交线长为
D．的最小值
【答案】A,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：A、在四棱锥中，面，因为面，
所以，因为底面是正方形，所以，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设，
，
显然面的一个法向量为，而，
即不垂直，所以与平面不平行，故A正确；
B、又，
所以，即，
若，则，
所以存在点，使得，
又平面，所以平面，故B错误；
C、由题意球面与的交线如图中圆弧，
而，所以，
所以圆弧的弧长为，故C正确；
D、由于面，面，所以，
而，面，所以面，
又面，所以，
同理，且，
把展开到同一平面内，要使取得最小值，当且仅当点在上，且，如图所示：
因为，所以由勾股定理得，
所以，
而，所以，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可判断A，B；将展开到同一平面内计算即可判断D；求出球面与的交线，再借助对称计算即可判断C.
12．（2024高二上·上城期末）已知函数，的零点分别为、，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；基本不等式
【解析】【解答】解：函数化简可得，则函数的图象关于直线对称，
由，得，
由，得，
同一直角坐标系中，作出函数、、的图象，如图所示：
由对称性可知，点、关于直线对称，
A、，，故A正确；
B、由，得，所以，故，故B正确；
C、若，由可得，则，
这与即矛盾，所以，，
，故C正确；
D、因为，，由不等式的基本性质可得，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意，分析可知函数的图象关于直线对称，同一直角坐标系中，作出函数、、的图象，利用图象的对称性即可判断A；由化简即可判断B；由基本不等式即可判断C；利用不等式的基本性质即可判断D.
13．（2024高二上·上城期末）过、两点的直线的斜率为 ．
【答案】
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】解：由斜率公式可得，即直线的斜率为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用两点间的斜率公式直接计算即可.
14．（2024高二上·上城期末）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为 ．
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为，，，则，则，
将直三棱柱补成长方体，如图所示：
则直三棱柱的外接球直径为，
故该直三棱柱的外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】由题意，将直三棱柱补成长方体，求出该直三棱柱的外接球的直径，再利用球体的表面积公式求解即可.
15．（2024高二上·上城期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：
，
因为，所以，
又因为，所以，所以，即.
故答案为：.
【分析】利用两角和的正弦公式，将函数化成的形式，再根据函数在给定区间上的值域求的取值范围即可.
16．（2024高二上·上城期末）已知双曲线：的右顶点，右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点P，直线PF与C的一个交点为Q，，且，则C的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，作出图形，如图所示：
易知，，由对称性，不妨设P在x轴上方，设，
因为，所以，
所以，即，解得，
则点坐标为，且轴，
过作轴的垂线，过作轴的垂线，相交于点，
则，又，所以，可得点的坐标为，
因为在双曲线上，所以，即，解得.
故答案为.
【分析】先根据条件：，确定点坐标，再根据条件：确定点坐标，根据在双曲线上求双曲线的离心率即可.
17．（2024高二上·上城期末）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值．
【答案】（1）解：，
则，
故函数的最小正周期为；
（2）解：当时，，
所以函数在上单调递增，故.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数的解析式，求得函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式求函数的最小正周期即可；
（2）由求出的取值范围，再利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的最大值.
（1）解：因为，
则，
故函数的最小正周期为.
（2）解：当时，，
所以，函数在上单调递增，故.
18．（2024高二上·上城期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．
（1）求的值；
（2）求证：．
【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
所以；
（2）证明：因为，所以，
所以，
所以，即，所以．
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【分析】（1）用、表示，再根据向量的数量积定义及运算律计算即可；
（2）用、表示、，根据向量的数量积运算律求出，证明即可.
（1）因为，
所以，
所以，
所以；
（2）因为，
所以，
所以，
所以，即，所以．
19．（2024高二上·上城期末）树人中学从参加普法知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组后得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；
（2）如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；
（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．
【答案】（1）解：由频率分布直方图可知：组的频率为：，
则频率分布直方图为：
因为组对应的小矩形最高，所以估计本次知识竞赛成绩的众数为；
（2）解：由频率分布直方图得分数不低于分的频率为：，
所以这名参赛同学中估计进入复赛的人数为：；
（3）解：从第一组，第二组和第六组三组同学中分层抽取人，
因为第一、二、六组的频率之比为，
所以第一组抽取人，第二组抽取人，第六组抽取人.
设这人分别为：，从这6人中任选2人的抽法有：
基本事件总数，
所抽取的人成绩之差的绝对值小于包含的基本事件有：
基本事件个数个数.
所以所抽取的人成绩之差的绝对值小于的概率为.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由题意，根据频率分布直方图中各矩形的面积之和为1，求出组的频率，即可补全频率分布直方图，由此估计本次知识竞赛成绩的众数；
（2）由频率分布直方图求出成绩不低于88的频率，由此估计进入复赛的人数；
（3）根据分层抽样求出各组抽取的人数，再用古典概型求出所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25个概率.
（1）组的频率为：.
所以补全频率分布直方图为：
因为组对应的小矩形最高，
所以估计本次知识竞赛成绩的众数为.
（2）由频率分布直方图得分数不低于分的频率为：
.
所以这名参赛同学中估计进入复赛的人数为：.
（3）从第一组，第二组和第六组三组同学中分层抽取人，
因为第一、二、六组的频率之比为，
所以第一组抽取人，第二组抽取人，第六组抽取人.
设这人分别为：，从这6人中任选2人的抽法有：
基本事件总数，
所抽取的人成绩之差的绝对值小于包含的基本事件有：
基本事件个数个数.
所以所抽取的人成绩之差的绝对值小于的概率为.
20．（2024高二上·上城期末）如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，，平面平面．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接、，
因为四边形为正方形，则，，
因为，，，，则，
由余弦定理可得，
所以，，则，则，
因为平面平面，平面平面，，
平面，则平面，
因为平面，则，
因为，、平面，则平面，
因为平面，则，
因为，、平面，则平面，
因为平面，则；
（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，
故平面与平面所成锐角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接、，推导出，利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，推导出平面，可得出，利用正方形的性质可得出，可得出平面，再利用线面垂直的性质证明即可；
（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐角的余弦值即可.
（1）证明：连接、，
因为四边形为正方形，则，，
因为，，，，则，
由余弦定理可得，
所以，，则，则，
因为平面平面，平面平面，，
平面，则平面，
因为平面，则，
因为，、平面，则平面，
因为平面，则，
因为，、平面，则平面，
因为平面，则.
（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，
因此平面与平面所成锐角的余弦值为.
21．（2024高二上·上城期末）如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，且满足．当点在圆上运动时，的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）点，过点作斜率为的直线交曲线于点，交轴于点．已知为的中点，是否存在定点，对于任意都有，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设点、，则，
因为，所以，
则，则，所以，
因为点在圆，则，所以，整理可得，
由于点与点不重合，所以，
故曲线的方程为；
（2）解：存在定点满足题意，理由如下：
记，则直线的方程为，
联立，消元整理可得，
解得，则，
故点，点，则，
因为，则，
在直线中，令，可得，即点，
所以直线的方程为，
所以存在定点，使得.
【知识点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设点、，则，根据平面向量的坐标运算可得出，代入等式化简即可求得曲线的方程即可；
（2）记，则直线的方程可化为，将该直线方程与曲线的方程联立，求出点的坐标，进而求出点的坐标，求出及点的坐标，根据可求出直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标，即为所求的点.
（1）设点、，则，
因为，所以，
则，则，所以，
因为点在圆，则，所以，整理可得，
由于点与点不重合，所以，
因此曲线的方程为.
（2）存在定点满足题意，理由如下：
记，则直线的方程为，
联立，得，
解得，则，
故点，所以点，则，
因为，则，
在直线中，令，可得，即点，
所以直线的方程为，
所以存在定点，使得.
22．（2024高二上·上城期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得 （其中），则称为的“重覆盖函数”．
（1）判断是否为的“n重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
（2）若，为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
（3）函数表示不超过的最大整数，如．若为的“重覆盖函数”请直接写出正实数的取值范围（无需解答过程）．
【答案】（1）解：因为，，，则，
由定义可得，对任意，恰好存在不同的实数，，使得，（其中，2，，），
即，可得，
所以对于任意，能找到一个，使得，
所以是的“重覆盖函数”， 且；
（2）解：函数 的定义域为，
即对任意，存在2个不同的实数，，使得 （其中），
因为，则，
所以，即，
即对任意，有个实根，
当时，已有一个根，故只需时，仅有1个根，
当时，，符合题意，
当时，，则需满足，解得，
当时，抛物线开口向下，，，若仅有1个根，由知，
当时，，所以无解，则只需，解得，
综上，实数的取值范围是；
（3）解：因为，
当时，当时且，
当且仅当时取等号，所以，
综上可得，即，
则对于任意，，要有个根，
，作出函数的图象（部分），如图：
要使，有个根，则，
又，则，
故正实数的取值范围．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由题意，根据“重覆盖函数”新定义，结合单调性求解即可；
（2）先求出的值域，然后把问题转化为与有两个交点，再对分类讨论求解即可；
（3）先求出的值域，作出的图象，结合函数图象求解即可．
（1）因为，，，
则，
由定义可得，对任意，恰好存在不同的实数，，使得，（其中，2，，），
即，可得，
所以对于任意，能找到一个，使得，
是的“重覆盖函数”， 且；
（2）可得 的定义域为，
即对任意，存在2个不同的实数，，使得 （其中），
，则，
，即，
即对任意，有个实根，
当时，已有一个根，故只需时，仅有1个根，
当时，，符合题意，
当时，，则需满足，解得，
当时，抛物线开口向下，，，若仅有1个根，由知，
当时，，所以无解，则只需，
解得，
综上，实数的取值范围是；
（3）因为，
当时，当时且，
当且仅当时取等号，所以，
综上可得，即，
则对于任意，，要有个根，
，作出函数的图象（部分），如图：
要使，有个根，则，
又，则，
故正实数的取值范围．
