2025年九年级中考数学三轮冲刺练习反比例函数平行四边形存在性问题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数相交于A，B（点A在点B左侧），与x轴交于点C，D为y轴上一动点．
（1）当k＝3时，求A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，E为反比例函数图象上一点，当以A，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，求点D的坐标；
（3）取AC中点F，连接DF．若有且只有一点D，使得AC＝2DF，求k的值．
2．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数的图象经过线段AB的中点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线向右平移3个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，交反比例函数的图象于点E，F，连接CE，CF，求△CEF的面积．
（i）请结合图象，直接写出不等式y1＜y2的解集；
（ii）在坐标平面内，直接写出点M的坐标，使以M、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形．
3．如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式ax+b的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
4．如图1，反比例函数与一次函数y＝x+b的图象交于A，B两点，已知B（1，2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于点C，点D（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若S△OCD＝2，求点D的坐标；
（3）若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，是否存在点M，N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m与直线y＝2x相交于点A（2，a），与x轴交于点B（b，0），点C在反比例函数图象上．
（1）求a，b，m的值；
（2）若点O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值；
（3）过点A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△DAE∽△DBA，求k的值．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与反比例函数的图象交点于点A（n，6）与x轴交于点C，y轴交于点B（0，4）．
（1）求k、b的值；
（2）连接AO，求△AOC的面积；
（3）在反比例函数图象上存在一点D，若点Q为坐标轴上的一动点，当以A、B、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+b的图象与反比例函数y的图象交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点B的坐标为（5，1）．
（1）求m，b的值；
（2）设P是线段BC上一点，过点P作PD∥y轴交反比例函数的图象于点D，连接AD，若DP＝6，求△ADP的面积；
（3）在（2）的条件下，将直线AB向下平移a（a＞0）个单位长度后，与射线OP交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，若四边形ABEF是平行四边形，求a的值．
8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②利用图象信息，直接写出不等式的解集．
③点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
9．如图，矩形ABCO的顶点C，A分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象经过AB的中点D，与BC交于点E，连接OD，OE，DE．
（1）直接写出结果：k＝ ，点E的坐标为 ；
（2）点M是y轴正半轴上一点，若S△MBO＝S△ODE，求点M的坐标；
（3）点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于点A（﹣1，4），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
11．如图1，直线y＝2x+1与y轴交于点B，与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（1，a）．
（1）求反比例函数表达式．
（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC，BD．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作CF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点N，使得以A，D，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（4，a），B（﹣8，﹣2）．
（1）求k，a，b的值；
（2）若点C为x轴上一点，△ABC的面积为15，求点C的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图象上，且A，B，P，Q恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点P的坐标．
13．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象交于A（﹣4，1），B（m，4）两点．（k1，k2，b为常数）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式k1xb的解集；
（3）点P是平面内任意一点，若以A、B、O、P为顶点的四边形为平行四边形，求P点的坐标．
14．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B（0，3），交双曲线于点C（2，n）．
（1）求直线和双曲线的表达式；
（2）点P为线段AB上一个动点，过点P作x轴的垂线，交双曲线于点Q．当四边形PQOB为平行四边形时，求点P的横坐标a的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接OA，△AOC的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线AB下方，过点P作PD⊥χ轴交直线AB于点D，作PE⊥y轴交y轴于点E，若PD+PE＝6，求点P的坐标；
（3）若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
参考答案
1．【解答】解：（1）当k＝3时，直线AB的解析式为y＝﹣x+4，反比例函数的解析式为y，
联立得：，
解得：，，
∴A（1，3），B（3，1）；
（2）设E（e，），D（0，d），
当AB、DE为对角线时，AB与DE的中点重合，
∴，
解得：，
∴D（0，）；
当AD、BE为对角线时，AD与BE的中点重合，
∴，
解得：，
∴D（0，）；
当AE、BD为对角线时，AE与BD的中点重合，
∴，
解得：，
∴D（0，）；
综上所述，点D的坐标为（0，）或（0，）或（0，）；
（3）∵点F是AC的中点，
∴AF＝CF，
∵AC＝2DF，
∴AF＝CF＝DF，
即A，C，D在以点F为圆心，DF为半径的圆上，如图，
∵有且只有一点D，使得AC＝2DF，
∴⊙F与y轴相切，
∴FD⊥y轴，
联立得，
解得：或，
∴A（1，k），B（3，），
∵直线yx与x轴交于点C，
∴C（4，0），
∴F（，），
∴DF，
∴AC＝2DF＝5，
过点A作AG⊥x轴于点G，
则AG＝k，CG＝4﹣1＝3，
在Rt△ACG中，AG2+CG2＝AC2，
∴k2+32＝25，
解得：k＝±4，
∵k＞0，
∴k＝4．
2．【解答】解：（1）在yx+8中，当x＝0时，y＝8，当y＝0时，x＝12，
∴A（12，0），B（0，8），
∵点C是线段AB的中点，
∴C（6，4），
∵反比例函数y1（x＞0）的图象经过点C，
∴4，
∴k＝24，
∴反比例函数解析式为y1（x＞0）；
（2）∵将直线yx+8右平移3个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，
∴直线y2的解析式为y2x+10，
联立，
解得或，
∴E（3，8），F（12，2），
如图，过点C作CP∥y轴交EF于P，则P点的横坐标为3．
将x＝6代入y2x+10，得y＝6，
∴P（6，6），
∴PC＝2，
∴S△ECF＝S△ECP+S△PCF
PC（xP﹣xE）PC（xF﹣xP）
2（6﹣3）2（12﹣4）
＝11；
（i）由函数图象可知，当3＜x＜12时，直线y2的函数图象在反比例函数y1的图象上方，即此时y1＜y2，
∴不等式y1＜y2的解集为3＜x＜12；
（ii）设M（m，n），
∵C（6，4），E（3，8），F（12，2），以M、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴①以EF为对角线时，由中点坐标公式得，
解得，
②以EC为对角线时，由中点坐标公式得，
解得，
③以FC为对角线时，由中点坐标公式得，
解得，
∴以M、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（9，6）或（﹣3，10）或（15，﹣2）．
3．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×1＝﹣n，
解得：k＝4，n＝﹣4，
即反比例函数的表达式为：y，点B（﹣4，﹣1）；
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
则一次函数表达式为：y＝x+3；
（2）观察函数图象知，当0＜x＜1或x＜﹣4时，ax+b成立；
（3）设点C的坐标为：（m，），点D（x，0），
当AB为对角线时，
由中点坐标公式得：4﹣1，
解得：m，则点C（，3）；
当AC或AD为对角线时，
同理可得：41或41，
解得：m＝±，
则点C（，﹣5）或（，5），
综上，点C的坐标为：（，3）或（，﹣5）或（，5）．
4．【解答】解：（1）∵点B（1，2）是反比例函数与一次函数y＝x+b的交点，
∴k＝xy＝2，b＝y﹣x＝1，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：y，y＝x+1；
（2）一次函数 y＝x+1中，当y＝0 时，x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设D（m，n），
∵S△OCD＝2，
∴|n|×1＝2，
∴n＝±4，
∵点D（m，n）在y上，
∴m或，
∴D（，﹣4）或D（，4）；
（3）∵点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，
∴M（a，0）．N（b，），
解得或，
∴A（﹣2，﹣1），
∵以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴①以AB为对角线时，由中点坐标公式得，
∴，
∴M（﹣3，0）；
②以AM为对角线时，由中点坐标公式得，
∴，
∴M（，0）；
③以AN为对角线时，由中点坐标公式得，
解得，
∴M（，0）；
综上所述，存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，M（（﹣3，0）或（，0）或（，0）．
5．【解答】解：（1）把点A（2，a）代入y＝2x得a＝4，
把点A（2，4）代入y＝﹣x+m得m＝6，即：y＝﹣x+6，
当y＝0时，0＝﹣x+6，
解得b＝6，
∴a＝4，m＝6，b＝6；
（2）设C（t，），
由（1）知A（2，4），B（6，0），而O（0，0），
①当AC，BO为对角线时，AC，BO的中点重合，
∴，
解得，
经检验，t＝4，k＝﹣16符合题意，
此时点C的坐标为（4，﹣4）；
②当CB，AO为对角线时，CB，AO的中点重合，
∴，
解得，
经检验，t＝﹣4，k＝﹣16符合题意，
此时点C的坐标为（﹣4，4）；
③当CO，AB为对角线时，CO，AB的中点重合，
∴，
解得，
∵k＝32＞0，
∴这种情况不符合题意；
综上所述，C的坐标为（4，﹣4）或（﹣4，4），k的值为﹣16；
（3）设点D（t，0），则点E（﹣t，0），
∵△DAE∽△DBA，
∴AD2＝DE DB，即：16+（2﹣t）2＝﹣2t（6﹣t），
解得：t1＝﹣2，t2＝10（不合题意，舍去），
∴点D（﹣2，0），
设直线AD解析式为y＝px+q，
将点A（2，4）、点D（﹣2，0）代入y＝px+q，
，
解得，
∴直线AD解析式为y＝x+2，
∵过AD两点的直线与双曲线有且只有一点C，
∴x+2，
化简得x2+2x﹣k＝0，
∵方程x2+2x﹣k＝0有且只有一个解，
∴Δ＝4+4k＝0，
得k＝﹣1．
6．【解答】解：（1）由题意可得：4＝﹣0+b，6＝﹣n+b，
∴b＝4，n＝﹣2，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+4，点A（﹣2，6），
∵直线y＝﹣x+4与反比例函数y的图象交于点A（﹣2，6），
∴k＝6×（﹣2）＝﹣12；
（2）令y＝0，则y＝﹣x+4＝4，
∴C（4，0），
∴OC＝4，
∴△AOC的面积OC yA4×6＝12；
（3）当点Q在y轴上时，设点Q（0，c），点D（m，），
∵以A，B，D，Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴BQ和AD是对角线，且互相平分，
∴，
∴m＝2，
∴点D（2，﹣6），
∴，
∴c＝﹣4，
∴点Q（0，﹣4）；
当点Q在x轴上时，设点Q（t，0），点D（m，），
若AQ，BD为对角线，
则，，
∴m＝﹣6，t＝﹣4，
∴点Q（﹣4，0）；
若AD，BQ为对角线，
则，，
∴m＝6，t＝4，
∴点Q（4，0），
此时点Q在AB的延长线上，不合题意舍去，
当AB，PQ为对角线时，同理可求点P（﹣1.2，10），点Q（﹣0.8，0），
综上所述：点Q（﹣4，0）或（0，﹣4）或（﹣0.8，0）．
7．【解答】解：（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点B的坐标为（5，1），将点B的坐标代入得：
，
解得：，
∴，m＝5；
（2）由（1）可知反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
设，
∵PD∥y轴交反比例函数的图象于点D，
∴．
∵DP＝6，
∴，
解得：t1＝1，t2＝﹣10（不合题意，舍去），
∴D（1，5）．
联立得，
解得：或，
∴，
∴S△ADPDP （xD﹣xA）6×[1﹣（﹣2）]＝9；
（3）如图，
∵将直线AB向下平移a（a＞0）个单位长度，
∴平移后的直线解析式为，
由（2）可知P（1，﹣1），
∴直线OP的解析式为y＝﹣x．
联立得：，
解得：，
∴．
∵平移后的直线与射线OP交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，
∴AB∥EF．
∵四边形ABEF是平行四边形，，B（5，1），
∴，
∴．
∵点E在反比例函数图象上，
∴，
解得：（不合题意，舍去），a2＝3，
∴a的值为3．
8．【解答】解：（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．把x＝a，y＝3代入得：
，
解得：a＝4，
把x＝4，y＝3代入得：
，
解得：k＝12；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，点A（4，3），D点的纵坐标是0，
∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，把y＝6代入，得x＝2，
∴C（2，6），
①如图，作CF⊥x轴于F，交AB于E，作AM⊥y轴于M，
当x＝2时，，
∴E（2，2），
∵C（2，6），A（4，3），
∴CE＝6﹣2＝4，AM＝4，
∴；
②由图象可得，当x≥4时，一次函数的图象在反比例函数的图象上或上方，
∴当x≥4时，；
③设，Q（n，0），
∵A（4，3），B（0，1）．
当AB为对角线时，，
∴，
∴P（3，4）；
当AP为对角线时，
解得，
∴P（﹣6，﹣2），
∵﹣6＜0，
∴不合题意，舍去；
当AQ为对角线时，
解得：，
∴P（6，2），
综上P点坐标为（3，4）或（6，2）．
9．【解答】解：（1）∵矩形ABCO的顶点C，A分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），
∴BA⊥y轴，BC⊥x轴，A（0，2），
∵D是AB的中点，
∴D（2，2），
∵，反比例函数的图象经过AB的中点D，与BC交于点E，将点D的坐标代入得：
，
解得：k＝4，
∴反比例函数解析式为，
在中，当x＝4时，，
∴E（4，1），
故答案为：4；（4，1）；
（2）设点M（0，m），
∵B（4，2），D（2，2），E（4，1），
∴，，
当△MBO的面积等于△ODE的面积时，3＝2m，
解得：，
∴；
（3）存在点P，Q，使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形；理由如下：
设点P（p，0），
∵点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形，
∴当以DE为对角线时，
，
∴Q（6﹣p，3），
∵点Q在反比例的图象上，
∴，
解得：，
∴；
当以PE为对角线时，
，
∴Q（2+p，﹣1），
∵点Q在反比例的图象上，
∴，
解得：p＝﹣6，
∴Q2（﹣4，﹣1）；
当以PD为对角线时，
，
即Q（p﹣2，1），
∵点Q在反比例的图象上，
∴，
解得：p＝6，
∴Q3（4，1），与点E重合，不符合题意舍去；
综上所述：存在Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形；点Q的坐标为或（﹣4，﹣1）．
10．【解答】解：（1）一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于点A（﹣1，4），B（n，﹣1），把点A，点B的坐标代入得：
，
解得：k＝﹣4，
∴反比例函数的表达式为；
将点B（n，﹣1）代入得：
∴，
解得：n＝4，
∴点B（4，﹣1），
把点A，点B的坐标代入一次函数y＝ax+b（a≠0）得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+3，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+3；
（2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），
当一次函数y＝ax+b的图象在反比例函数的图象上时，，
∴当x＜﹣1或0＜x＜4时，．
（3）∵点D在x轴上，点C在反比例函数图象，
∴设点D（a，0），，
∵四边形ABCD是平行四边形，分三种情况讨论：
∴①当AC，BD是对角线，
依题意得：，
解得：，
∴点C的坐标为；
②当BC，AD是对角线时，
依题意得：，
解得：，
∴点C的坐标为；
③当AB，CD是对角线时，
依题意得：，
解得：，
∴点C的坐标为；
综上所述，点C的坐标为或或时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
11．【解答】解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝2x+1上，
∴a＝2×1+1＝3，
∴A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴y；
（2）①由（1）知，y，
当y＝1时，x＝3，
∴D（3，1），
∴BD＝AC＝3，
∴C（4，3），
当x＝4时，y，
∴EF，CF＝3，
∴CE，
∴3；
②设点N（m，n），
若AD为对角线，∵四边形ACDN是平行四边形，A（1，3），D（3，1），C（4，3），
∴4+m＝1+3，3+1＝3+n，
∴m＝0，n＝1，
∴点N（0，1）；
若AC为对角线，∵四边形ADCN是平行四边形，A（1，3），D（3，1），C（4，3），
∴3+m＝1+4，3+3＝1+n，
∴m＝2，n＝5，
∴点N（2，5）；
若AN为对角线，∵四边形ADNC是平行四边形，A（1，3），D（3，1），C（4，3），
∴1+m＝3+4，3+n＝1+3，
∴m＝6，n＝1，
∴点N（6，1）；
综上所述：点N的坐标为（0，1）或（6，1）或（2，5）．
12．【解答】解：（1）∵一次函数yx+b的图象过点B（﹣8，﹣2），
∴﹣2＝﹣4+b，
∴b＝2．
∵反比例函数y的图象过点B（﹣8，﹣2），
∴k＝（﹣8）×（﹣2）＝16．
当x＝4时，a4，
∴点A的坐标为（4，4）；
（2）设直线yx+2与x的交点为D，
令y＝0时，0x+2，
解得x＝﹣4，
∴D（﹣4，0）
设点C的坐标为（t，0），
∴CD＝|x+4），
∵△ABC的面积为15，
∴A△ABC＝S△ACD+S△BCD，
∴|x+4| 4|x+4| 2＝15，
解得x＝﹣9或1，
∴点C的坐标为（﹣9，0）或（1，0）；
（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，）．
分两种情况考虑：
①AB为边，如图2所示．
当四边形AP1Q1B为平行四边形时，，
解得，
∴点P1的坐标为（0，）；
当四边形ABP2Q2为平行四边形时，，
解得，
∴点P2的坐标为（0，）；
②AB为对角线，如图3所示．
∵四边形APBQ为平行四边形，，
解得，
∴点P的坐标为（0，6）．
综上所述：当A，B，P，Q恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点P的坐标为（0，），（0，）或（0，6）．
13．【解答】解：（1）∵反比例函数y的图象经过点A（﹣4，1），
∴1，
∴k2＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y，
把点B（m，4）代入得：4，
解得：m＝﹣1，
∴B（﹣1，4），
把A（﹣4，1），B（﹣1，4）代入y＝k1x+b，得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+5；
（2）如图1，
当﹣4＜x＜﹣1时，直线AB位于反比例函数图象的上方，
∴由图象可知，不等式k1xb的解集为﹣4＜x＜﹣1；
（3）设P（m，n），又A（﹣4，1），B（﹣1，4），O（0，0），
当AP、OB为平行四边形的对角线时，
则，
解得：，
∴P（3，3）；
当BP、OA为平行四边形的对角线时，
则，
解得：，
∴P（﹣3，﹣3）；
当OP、AB为平行四边形的对角线时，
则，
解得：，
∴P（﹣5，5）；
综上所述，P点的坐标为（3，3）或（﹣3，﹣3）或（﹣5，5）．
14．【解答】解：（1）把点A（﹣4，0），点B（0，3）代入y＝kx+b得，，
解得，
∴直线的表达式为yx+3；
把x＝2代入yx+3得y2+3，
∴C（2，），
把C（2，）代入得m＝9，
∴双曲线的表达式为y；
（2）如图，设P（a，a+3），则Q（a，），
∵点P作x轴的垂线，交双曲线于点Q，
∴PQ∥OB，
∵四边形PQOB为平行四边形，
∴PQ＝OB，
∴a+33，
解得a＝﹣2（正值舍去），
∴点P的横坐标a的值为﹣2．
15．【解答】解：（1）过点A作AH⊥y轴于H，
对于一次函数yx+1，
当x＝0时，y＝1，
∴OC＝1，
∵△AOC的面积为1．
∴OC AH＝1，
∴AH＝2，
当x＝2时，y2+1＝2，
∴A（2，2），
将点A（2，2）代入反比例函数y得：
k＝2×2＝4，
∴反比例函数解析式为y；
（2）当x+1时，
解得x＝2或﹣4，
经检验，x＝2或﹣4都是方程的根，
∴B（﹣4，﹣1），
设P（m，，则D（m，），
∴PD，PE＝﹣m，
∵PD+PE＝6，
∴，
解得，
∵点P在直线AB下方的双曲线上，
∴﹣4＜m＜0，
∴当时，y，
∴；
（3）所有符合条件的点N的坐标为（4，1）或（，3）或N（，﹣3）；理由如下：
设M（m，0），，
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，A（2，2），B（﹣4，﹣1），
∴当AB、MN为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
∴N（4，1）；
当AM为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
∴N（，3）；
当AN为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
∴N（，﹣3）；
综上所述，点N的坐标为（4，1）或（，3）或N（，﹣3）．
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