2025年江苏省南通市数学中考模拟试卷
注意事项:
1.本试卷共8页，满分150分，考试用时120分钟;
2.答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相对应的位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符合;
3.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案;答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题;
4.考生答题必须答在答题卡上，答在试卷和草稿纸上一律无效。
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的。）
1．在数轴上，把表示的点沿着数轴移动7个单位长度得到的点所表示的数是（ ）
A．5 B． C． D．5或
2．若，，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
3．港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（ ）
A．1269×108 B．1.269×108 C．1.269×1010 D．1.269×1011
4．下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C．6 D．12
9．图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（ ）米．
A． B． C． D．
10．已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题每小题4分，共30分。）
11．因式分解： = ．
12．如图，是⊙O的直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是 °．
13．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
14．对于实数，定义运算“※”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
15．把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则k的值为 ．
17．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，2为半径的上，Q是的中点，已知长的最大值为3，则的值为 ．
18．对于反比函数，称，为反比例函数图象的两个“焦点”，若点为反比例函数图象上的任意一点，则恒有．如图，已知点为反比例函数在第三象限的图象上的一个动点，点为反比例函数的两个焦点，若平分，过点作的垂线，垂足为，连接，则的长为 ．
三、解答题（本大题共8题，共90分。）
19．计算：．
解方程：．
先化简，再求值：，其中．
22．今年郑州市受疫情影响，中小学生在家进行线上学习.为了了解学生在家主动锻炼身体的情况，某校随机抽查了部分学生，对他们每天的运动时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天运动时间t≤30分钟的学生记为A类，30分钟
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽取了 名学生进行调查统计；
（2）扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）学校要求在家主动锻炼身体的时间超过30分钟才达标，若该校共有2000名学生，请你估计该校达标的学生约有多少人
23．如图1，是的直径，点A、D在上，连接、，，，．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）如图2，连接，作的角平分线交于，求的长度．
24．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，请完成下列问题：
（1）降价元后的月销售量为___________件：（用含的式子表示）
（2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
25．在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对相好点．
（1）如图1，已知点A（1，3），B（4，3）．
①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值为 ，最大值为 ．
②在P1（2.5，0），P2（2，4），P3（－2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是 ．
直线平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线的距离都是1，若点C（x，y）是直线上的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围．
26．如图，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）如图（1），抛物线上有点，在第三象限的抛物线上存在点M，且，求点M的坐标；
（3）如图（2），在第一象限的抛物线上有一点E，过点E作的平行线交抛物线于另一点F，直线，交于点P，若点P的纵坐标为t，的面积记为S，试探究S与t之间数量关系．
27．[模型建立]
如图①、②，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离．
[问题解决]
请就图①中为何最长进行证明．
[初步应用]
（1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为．则的半径为 ▲ ．
（2）如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是 ▲ ．
[拓展延伸]
如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为 ▲ ．
参考答案
1-5DCDAB 6-10BCAAA
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】4或1
15．【答案】
16．【答案】12
17．【答案】
18．【答案】解：如图，延长相交于点，如图所示：∵平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵点，关于原点对称，∴，∴为的中位线，∴，∵，∴.
19．【答案】解：
20．【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
去括号，得，
去括号，得，
两边同除以，得．
21．【答案】解：
，
当，时，
原式
．
22．【答案】（1）50
（2）36°
（3）解：补图如下：
（4）解：（人）
∴估计该校达标的学生约有1400人.
23．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
在中，，
在中，，
∴，即，
解得：，
∵，
∴点是的中点，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴；
（3）解：连接，，过点C作于点F，
∵是的直径，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
24．【答案】（1）
（2）当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元
25．【答案】（1）；5；
（2）解：∵直线平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线的距离都是1，
∴直线l为y=4或y=2，
∵点C与点O是线段AB的一对相好点，，，
当，，即，，
设，当点C在y=4上时，
则，
解得，
当，即，，
则，
解得，
同理，当点C在y=2上时，或，
综上所述，x的取值范围或．
26．【答案】（1）
（2）
（3）
27．【答案】（1）解：[问题解决]
如图，点为上任意一点，连接，，
当点与点不重合时，
∵在中，，
又，
∴，即，
当点与点重合时，，
∴综上可得，，
∵点为上任意一点，
∴的长是点到上的点的最长距离．
[初步应用]
若点在外，如图①，
则，，
∴，
∴的半径为；
若点在内，如图②，
则，，
∴，
∴的半径为；
综上所述，的半径为或．
故答案为：或
（2）连接，交于点，由[模型建立]可得的长是点到上的点的最短距离，
的最小值是的长
∵在中，，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
[拓展延伸]如图所示，
取的中点，连接，，过点作
∵点Q是线段的中点，
∴，
∴点在为圆心，为半径的圆上运动，
∴当在上，线段取得最大值，
∵
∴，
∴，
在中，
∴的最大值为
故答案为：．
