第八章 8.6 8.6.2 直线与平面垂直的性质
A级——基础过关练
1．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线( )
A．只有一条 B．有无数条
C．是平面内的所有直线 D．不存在
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为( )
A．1 B．
C．2 D．2
3．如图，在四面体A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝BC＝CD＝1，则AD＝( )
A．1 B．
C． D．2
4．(多选)下列说法正确的有( )
A．过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直
B．过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直
C．过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行
D．过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直
5．(多选)设m，n为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，下列命题正确的是( )
A．若m∥α且n α，则m∥n B．若m⊥α且n⊥α，则m∥n
C．若m∥α且m∥β，则α∥β D．若m⊥α且m⊥β，则α∥β
6．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论错误的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
7．如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，则MN与AB的位置关系是________．
9．如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BDC，∠BDC＝90°，AB＝8，BD＝6，则点B到平面ACD的距离等于________．
10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，DE⊥平面BCC1B1，求证：AB＝AC．
B级——综合运用练
11．已知直线l∩平面α＝O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA＝AB．若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝( )
A．2 B．1
C． D．
12．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，B为垂足，直线a 平面β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．
13．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝CF，∠ABC＝60°，四边形ACFE为平行四边形，FC⊥平面ABCD，M为线段EF的中点．
(1)求证：BC⊥平面ACFE；
(2)若AD＝2，求点A到平面MBC的距离．
C级——创新拓展练
14．在中国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，如图所示．
(1)从三棱锥P－ABC中选择合适的两条棱填空．若________⊥________，则该三棱锥为“鳖臑”．
(2)已知三棱锥P－ABC是一个“鳖臑”，且AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°．若△PAC上有一点D，试在平面PAC内作出一条过点D的直线l，使得l与BD垂直，说明作法，并给予证明．
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】B
【解析】当a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当a α时，在α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直．故选B．
2.【答案】B
【解析】如图，连接AC，DB交于点O，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可得 AC⊥平面BDD1B1，
所以点C到平面BDD1B1的距离为CO，CO＝AC＝．
3.【答案】C
【解析】因为BC⊥CD，AB＝BC＝CD＝1，所以BD＝＝．又因为AB⊥平面BCD，BD 平面BCD，所以AB⊥BD，因此AD＝＝．故选C．
4.【答案】ABC
【解析】由线面垂直的性质及线面平行的性质知A，B，C正确；D错误，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．
5.【答案】BD
【解析】A项，若m∥α且n α，则m，n可能平行或异面，故A错误；B项，若m⊥α且n⊥α，根据垂直于同一平面的两直线互相平行，故B正确；C项，若m∥α且m∥β，根据面面的位置关系定义可得α与β可能平行也可能相交，故C错误；D项，若m⊥α且m⊥β，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故D正确．故选BD．
6.【答案】C
【解析】PA⊥平面ABCD PA⊥BD，D正确； BC⊥平面PAB BC⊥PB，故A正确；同理，B正确；C错误．
7.【答案】6
【解析】因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE．因为AF＝DE，所以四边形ADEF是平行四边形，所以EF＝AD＝6．
8.【答案】垂直
【解析】如图，易知AB⊥平面BCC1B1，又因为MN在平面BCC1B1内，所以MN⊥AB．
9.【答案】4.8
【解析】∵AB⊥平面BDC，∴AB⊥BD，AB⊥CD．∵∠BDC＝90°，∴CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB 平面ABD，BD 平面ABD，∴CD⊥平面ABD．∵AD 平面ABD，∴CD⊥AD．∵AB＝8，BD＝6，∴AD＝＝10，∴S△BDC＝×6×CD＝3CD，S△ACD＝×10×CD＝5CD．设点B到平面ACD的距离为h，∵V三棱锥A－BCD＝V三棱锥B－ACD，∴×3CD×8＝×5CD×h，解得h＝4.8．
10.证明：如图，取BC的中点F，连接EF，则EF∥B1B且EF＝B1B．
从而EF∥DA且EF＝DA．
连接AF，则四边形ADEF为平行四边形，从而AF∥DE．
又DE⊥平面BCC1B1．
故AF⊥平面BCC1B1，
从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，故AB＝AC．
【B级——能力提升练】
11.【答案】A
【解析】因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD．连接OD，如图所示，所以＝．因为OA＝AB，所以＝．因为AC＝1，所以BD＝2．
12.【答案】平行
【解析】∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，即l α，∴l⊥EA．同理，l⊥EB．又∵EA∩EB＝E，EA，EB 平面EAB，∴l⊥平面EAB．∵EB⊥β，a 平面β，∴EB⊥a．又∵a⊥AB，EB∩AB＝B，EB，AB 平面EAB，∴a⊥平面EAB，∴a∥l．
13.(1)证明：设AD＝m，则DC＝CB＝AD＝m，在梯形ABCD中，
因为AB∥CD，∠ABC＝60°，
所以AB＝2m，
所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 60°＝3m2，
所以AB2＝AC2＋BC2，所以BC⊥AC．
因为FC⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以FC⊥BC．
又因为AC∩FC＝C，AC 平面ACFE，FC 平面ACFE，
所以BC⊥平面ACFE．
(2)解：由(1)可知BC⊥AC，又因为AD＝2，
则DC＝CB＝AD＝FC＝2，所以AC＝2，
所以S△ABC＝·AC·BC＝×2×2＝2，V四面体MACB＝×2·S△ABC＝．
因为BC⊥平面ACFE，CM 平面ACFE，所以BC⊥CM，
又因为MC＝＝，
所以S△MBC＝·MC·BC＝××2＝．
设点A到平面MBC的距离为d，
则·S△MBC·d＝×·d＝＝V四面体MACB，
解得d＝．
所以点A到平面MBC的距离为．
【C级——创新拓展练】
14.解：(1)这两条棱可选AB与BC．理由如下．
因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC，
所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC．
因此△PAC，△PAB是两个直角三角形．
当AB⊥BC时，显然△BAC是直角三角形．
因为PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，而PB 平面PAB．
所以BC⊥PB，因此△BPC是直角三角形．
所以该三棱锥为“鳖臑”．(答案不唯一)
(2)连接CD，如图，在△PAC内，过点D作l⊥CD，即可得l为所求直线．证明如下：
在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC＝4＋1－2×2×1×＝3．
因为BC2＋AC2＝AB2，所以BC⊥AC．
又因为PA⊥底面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC．
又因为PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
又因为l 平面PAC，所以l⊥BC．
因为l⊥CD，CD∩BC＝C，CD，BC 平面BCD，
所以l⊥平面BCD．
又因为BD 平面BCD，所以l⊥BD．
