4.1 一元二次函数
［学习目标］ 1.理解函数y=ax2（a≠0）与y=a（x-h）2+k（a≠0）及y=ax2+bx+c（a≠0）的图象之间的关系.2.能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的重要性质.
一、一元二次函数的图象
问题1 一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式Δ有什么关系？
知识梳理
1.一元二次函数的定义
一般地，把形如 （a，b，c是常数）的函数叫作一元二次函数，其中a，b，c分别称为 、一次项系数和 .通常把一元二次函数的图象叫作 .
2.一元二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
一元二次函数y=ax2 +bx+c（a>0）的图象
一元二次方程ax2+ bx+c=0（a>0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1
（2）由函数y=x2的图象如何得到y=x2-2x+3的图象？
反思感悟 处理一元二次函数y=a（x-h）2+k的图象问题，主要是考虑其图象特征，如开口、顶点、与x轴交点、与y轴交点、对称轴等与系数a，b，c之间的关系.在图象变换中，记住“h正右移，h负左移，k正上移，k负下移”.
跟踪训练1 将一元二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到一元二次函数y=x2-2x+1的图象，则b= ，c= .
二、求一元二次函数的解析式
知识梳理
一元二次函数的解析式的三种不同形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）.
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）.
（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.
例2 用待定系数法求下列一元二次函数的解析式：
（1）已知一元二次函数的图象过点（-2，20），（1，2），（3，0）；
（2）已知一元二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），且图象过点（2，25）；
（3）已知一元二次函数的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），且图象过点（-1，8）.
反思感悟 一元二次函数常见解析式的形式有三种：一般式、顶点式、两根式.一般地，若已知函数图象经过三点，常设一般式；若题目中给出顶点坐标、最大值、对称轴等信息，常考虑顶点式；若题目中给出函数图象与x轴的交点坐标，可设两根式.
跟踪训练2 一元二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3），且函数的最大值是5，则函数f（x）= .
三、一元二次函数的性质
问题2 你能找出一元二次函数y=2（x-1）2+5的对称轴和顶点坐标吗？你能找出函数值y随x的增大而减小，函数值y随x的增大而增大所对应的区间吗？你能求出函数的最值吗？
知识梳理
函数y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0）
a>0（开口向上） a<0（开口向下）
图象
性 质 对称轴 直线
顶点
x的取 值范围 R
y的取 值范围 ［k，+∞） （-∞，k］
函数值 的变化 趋势 在区间（-∞，h］上，y随x的增大而减小，在区间［h，+∞）上，y随x的增大而增大 在区间（-∞，h］上，y随x的增大而增大，在区间［h，+∞）上，y随x的增大而减小
最值 当x=h时，y有最小值，ymin=k 当x=h时，y有最大值，ymax=k
例3 （1）已知函数y=x2-3x-.
①求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值；
②若x∈［1，4］，求函数值的取值范围.
（2）已知函数y=-x2+2ax+1-a在x∈［0，1］上有最大值2，求a的值.
反思感悟 一元二次函数最值问题的解法
抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合对称轴的位置，根据函数的变化趋势及分类讨论的思想即可完成.
跟踪训练3 已知函数y=ax2+2ax+1在区间［-1，2］上有最大值4，求实数a的值.
1.知识清单：
（1）一元二次函数解析式的三种形式.
（2）一元二次函数的图象及变换.
（3）一元二次函数的性质.
2.方法归纳：配方法、数形结合、图象变换.
3.常见误区：
（1）易忽视一元二次函数的开口方向.
（2）二次项含参时，要注意是否需要对二次项系数进行讨论.
1.将y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为 （ ）
A.y=（x+2）2+1 B.y=（x-2）2+1
C.y=（x-2）2-1 D.y=（x+2）2-1
2.关于一元二次函数y=-2x2+1，下列说法中正确的是 （ ）
A.它的图象开口方向是向上
B.当x<-1时，y随x的增大而增大
C.它的顶点坐标是（-2，1）
D.当x=0时，y有最大值是2
3.一元二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象顶点坐标为（2，1），并且图象过点（0，0），则a等于 （ ）
A. B.-
C. D.-
4.函数y=x2-4x+3，x∈［1，4］的最小值为 .
答案精析
问题1 ①当Δ>0时，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根x1，x2，此时，一元二次函数与x轴有两个不同的交点，x1，x2即为两交点的横坐标.
②当Δ=0时，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根x1=x2，此时，一元二次函数与x轴有1个交点，x1（x2）即为交点的横坐标.
③当Δ<0时，ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根，此时，一元二次函数与x轴没有交点.
知识梳理
1.y=ax2+bx+c（a≠0） 二次项系数
常数项 抛物线
例1 （1）D
（2）解 y=x2-2x+3=（x-1）2+2.
由y=x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得到y=x2-2x+3的图象.
跟踪训练1 -6 6
例2 解 （1）设所求一元二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）.
将（-2，20），（1，2），（3，0）分别代入解析式，
得解得
∴所求一元二次函数的解析式为
y=x2-5x+6.
（2）∵一元二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），
∴设一元二次函数的解析式为
y=a（x+1）2-2（a≠0）.
∵图象过点（2，25），
∴a（2+1）2-2=25，解得a=3，
∴所求一元二次函数的解析式为
y=3（x+1）2-2，
即y=3x2+6x+1.
（3）∵一元二次函数的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），
∴设所求一元二次函数的解析式为y=a（x+2）（x-3）（a≠0）.
又∵图象过点（-1，8），
∴8=a（-1+2）×（-1-3），
解得a=-2，
∴所求一元二次函数的解析式为
y=-2（x+2）（x-3），
即y=-2x2+2x+12.
跟踪训练2 -2x2+4x+3
问题2 对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，5）.函数值y随x的增大而减小的区间是（-∞，1］，函数值y随x的增大而增大的区间是［1，+∞）.当x=1时，ymin=5，无最大值.
知识梳理
x=h （h，k）
例3 （1）解 ①配方，得
y=x2-3x-
=（x-3）2-，
所以函数图象的顶点坐标为，
对称轴方程为x=3，最小值为-，无最大值.
②由于3∈［1，4］，所以函数值在区间［1，3］上随x的增大而减小，在区间［3，4］上随x的增大而增大，
所以当x=3时，ymin=-，
当x=1时，ymax=×4-=-，
所以当x∈［1，4］时，函数值的取值范围为.
（2）解 函数y=-x2+2ax+1-a=-（x-a）2+a2-a+1，对称轴为直线x=a.
当a<0，x=0时，ymax=1-a，
所以1-a=2，所以a=-1；
当0≤a≤1时，ymax=a2-a+1，
所以a2-a+1=2，
所以a2-a-1=0，
所以a=（舍去）；
当a>1，x=1时，ymax=a，
所以a=2.
综上可知，a=-1或a=2.
跟踪训练3 解 y=a（x+1）2+1-a.
当a=0时，函数在区间［-1，2］上的值不变，恒为常数1，不符合题意，舍去；
当a>0时，函数值在区间［-1，2］上随x的增大而增大，最大值为8a+1=4，解得a=；
当a<0时，函数值在区间［-1，2］上随x的增大而减小，最大值为1-a=4，解得a=-3.
综上，a的值为-3或.
随堂演练
1.C 2.B 3.B 4.-1(共63张PPT)
第一章
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4.1 一元二次函数
1.理解函数y=ax2(a≠0)与y=a(x-h)2+k(a≠0)及y=ax2+bx+c(a≠0)的图象之间的关系.
2.能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的重要性质.
学习目标
古希腊数学家梅内克缪斯偶然发现,把圆锥按不同角度切开,会出现不同的形状.当与圆锥侧线平行切开时,出现了一种从未见过的优美曲线.直到中世纪,大物理学家伽利略才发现了它在实际生活中的重大意义.伽利略注意到,把物体斜着抛出去之后,其运动的轨迹正是当初梅内克缪斯切圆锥得到的那条曲线,而且还是自然界中普遍的物体运动轨迹.这时,笛卡尔把数和形结合了起来,开创了解析几何,这样各种各样的几何图形都可以用方程来表示.后来,随着函数概念的不断发展,人们又发现,一元二次函数的图象正是那条让数学家们魂牵梦萦了一千多年的曲线——抛物线.
导 语
一、一元二次函数的图象
二、求一元二次函数的解析式
随堂演练
三、一元二次函数的性质
内容索引
课时对点练
一
一元二次函数的图象
一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)的判别式Δ有什么关系
问题1
提示 ①当Δ>0时,ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根x1,x2,此时,一元二次函数与x轴有两个不同的交点,x1,x2即为两交点的横坐标.
②当Δ=0时,ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x1=x2,此时,一元二次函数与x轴有1个交点,x1(x2)即为交点的横坐标.
③当Δ<0时,ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根,此时,一元二次函数与x轴没有交点.
1.一元二次函数的定义
一般地,把形如 (a,b,c是常数)的函数叫作一元二次函数,其中a,b,c分别称为 、一次项系数和 .通常把一元二次函数的图象叫作 .
y=ax2+bx+c(a≠0)
二次项系数
常数项
抛物线
2.一元二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
一元二次函数y=ax2+ bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx +c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2 (x1
(2)一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.
注 意 点
<<<
(1)设abc>0,一元二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是
例 1
√
A图,a<0,c<0,-<0,∴b<0,∴abc<0,不符合题意;
B图,a<0,c>0,->0,∴b>0,∴abc<0,不符合题意;
C图,a>0,c<0,-<0,∴b>0,∴abc<0,不符合题意;
D图,a>0,c<0,->0,∴b<0,此时abc>0满足题意.
(2)由函数y=x2的图象如何得到y=x2-2x+3的图象
y=x2-2x+3=(x-1)2+2.
由y=x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,可得到y=x2-2x+3的图象.
反
思
感
悟
处理一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象问题,主要是考虑其图象特征,如开口、顶点、与x轴交点、与y轴交点、对称轴等与系数a,b,c之间的关系.在图象变换中,记住“h正右移,h负左移,k正上移,k负下移”.
将一元二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到一元二次函数y=x2-2x+1的图象,则b= , c= .
跟踪训练 1
-6
6
y=x2-2x+1=(x-1)2,其图象顶点坐标为(1,0).
将一元二次函数y=x2-2x+1的图象向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度后的图象的顶点坐标为(3,-3),
得到的抛物线方程为y=(x-3)2-3,即y=x2+bx+c,
∴(x-3)2-3=x2+bx+c,
即x2-6x+6=x2+bx+c,
∴b=-6,c=6.
二
求一元二次函数的解析式
一元二次函数的解析式的三种不同形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).
(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
用待定系数法求下列一元二次函数的解析式:
(1)已知一元二次函数的图象过点(-2,20),(1,2),(3,0);
例 2
设所求一元二次函数的解析式为
y=ax2+bx+c(a≠0).
将(-2,20),(1,2),(3,0)分别代入解析式,
得
∴所求一元二次函数的解析式为y=x2-5x+6.
(2)已知一元二次函数图象的顶点坐标为(-1,-2),且图象过点(2,25);
∵一元二次函数图象的顶点坐标为(-1,-2),
∴设一元二次函数的解析式为y=a(x+1)2-2(a≠0).
∵图象过点(2,25),∴a(2+1)2-2=25,解得a=3,
∴所求一元二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2,
即y=3x2+6x+1.
(3)已知一元二次函数的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),(3,0),且图象过点
(-1,8).
∵一元二次函数的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),(3,0),
∴设所求一元二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-3)(a≠0).
又∵图象过点(-1,8),
∴8=a(-1+2)×(-1-3),解得a=-2,
∴所求一元二次函数的解析式为y=-2(x+2)(x-3),即y=-2x2+2x+12.
反
思
感
悟
一元二次函数常见解析式的形式有三种:一般式、顶点式、两根式.一般地,若已知函数图象经过三点,常设一般式;若题目中给出顶点坐标、最大值、对称轴等信息,常考虑顶点式;若题目中给出函数图象与x轴的交点坐标,可设两根式.
一元二次函数f(x)的图象经过两点(0,3),(2,3),且函数的最大值是5,则函数f(x)= .
跟踪训练 2
-2x2+4x+3
由于点(0,3),(2,3)在y=f(x)图象上,
所以f(x)的图象关于直线x=1对称,
又f(x)的最大值为5,
设f(x)=a(x-1)2+5(a<0),
由f(0)=f(2)=3,得3=a+5,所以a=-2,
因此f(x)=-2(x-1)2+5=-2x2+4x+3.
三
一元二次函数的性质
你能找出一元二次函数y=2(x-1)2+5的对称轴和顶点坐标吗 你能找出函数值y随x的增大而减小,函数值y随x的增大而增大所对应的区间吗 你能求出函数的最值吗
问题2
提示 对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,5).函数值y随x的增大而减小的区间是(-∞,1],函数值y随x的增大而增大的区间是[1,+∞).当x=1时,ymin=5,无最大值.
函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数,a≠0)
a>0(开口向上) a<0(开口向下)
图象
性 质 对称轴 直线_____
顶点 _____
x的取值范围 R
y的取值范围 [k,+∞) (-∞,k]
x=h
(h,k)
a>0(开口向上) a<0(开口向下)
性 质 函数值的变化趋势 在区间(-∞,h]上,y随x的增大而减小,在区间[h,+∞)上,y随x的增大而增大 在区间(-∞,h]上,y随x的增大而增大,在区间[h,+∞)上,y随x的增大而减小
最值 当x=h时,y有最小值,ymin=k 当x=h时,y有最大值,ymax=k
解决一元二次函数的单调性与最值问题时要注意数形结合法的应用.
注 意 点
<<<
(1)已知函数y=x2-3x-.
①求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值;
例 3
配方,得
y=x2-3x-=(x-3)2-,
所以函数图象的顶点坐标为,
对称轴方程为x=3,最小值为-,无最大值.
②若x∈[1,4],求函数值的取值范围.
由于3∈[1,4],所以函数值在区间[1,3]上随x的增大而减小,在区间[3,4]上随x的增大而增大,
所以当x=3时,ymin=-,
当x=1时,ymax=×4-=-,
所以当x∈[1,4]时,函数值的取值范围为.
(2)已知函数y=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]上有最大值2,求a的值.
函数y=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴为直线x=a.
当a<0,x=0时,ymax=1-a,所以1-a=2,
所以a=-1;
当0≤a≤1时,ymax=a2-a+1,
所以a2-a+1=2,所以a2-a-1=0,
所以a=(舍去);
当a>1,x=1时,ymax=a,所以a=2.
综上可知,a=-1或a=2.
反
思
感
悟
抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合对称轴的位置,根据函数的变化趋势及分类讨论的思想即可完成.
一元二次函数最值问题的解法
已知函数y=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.
跟踪训练 3
y=a(x+1)2+1-a.
当a=0时,函数在区间[-1,2]上的值不变,恒为常数1,不符合题意,舍去;
当a>0时,函数值在区间[-1,2]上随x的增大而增大,最大值为8a+1=4,解得a=;
当a<0时,函数值在区间[-1,2]上随x的增大而减小,最大值为1-a=4,解得a=-3.
综上,a的值为-3或.
1.知识清单:
(1)一元二次函数解析式的三种形式.
(2)一元二次函数的图象及变换.
(3)一元二次函数的性质.
2.方法归纳:配方法、数形结合、图象变换.
3.常见误区:
(1)易忽视一元二次函数的开口方向.
(2)二次项含参时,要注意是否需要对二次项系数进行讨论.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.将y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为
A.y=(x+2)2+1 B.y=(x-2)2+1
C.y=(x-2)2-1 D.y=(x+2)2-1
√
2.关于一元二次函数y=-2x2+1,下列说法中正确的是
A.它的图象开口方向是向上
B.当x<-1时,y随x的增大而增大
C.它的顶点坐标是(-2,1)
D.当x=0时,y有最大值是2
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2
3
4
√
1
2
3
4
∵一元二次函数y=-2x2+1,∴a=-2,∴该函数图象开口向下,故选项A错误;
当x<0时,y随x的增大而增大,故选项B正确;
它的顶点坐标为(0,1),故选项C错误;
当x=0时,y有最大值1,故选项D错误.
3.一元二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象顶点坐标为(2,1),并且图象过点(0,0),则a等于
A. B.-
C. D.-
1
2
3
4
设f(x)=a(x-2)2+1(a≠0),代入(0,0)可得4a+1=0,a=-.
√
4.函数y=x2-4x+3,x∈[1,4]的最小值为 .
1
2
3
4
因为函数y=x2-4x+3,x∈[1,4]在[1,2]上函数值随x的增大而减小,在[2,4]上函数值随x的增大而增大,所以在x=2时函数y=x2-4x+3,x∈[1,4]取得最小值为-1.
-1
课时对点练
五
1.若函数y=x2+mx的图象关于直线x=2对称,则
A.m=-4 B.m=4
C.m=-2 D.m=2
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基础巩固
√
一元二次函数y=x2+mx图象的对称轴为直线x=-,于是-=2,解得m=-4.
2.已知抛物线与x轴交于点(-1,0),(1,0),并且与y轴交于点(0,1),则抛物线的解析式为
A.y=-x2+1 B.y=x2+1
C.y=-x2-1 D.y=x2-1
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√
设y=a(x-1)(x+1),
代入(0,1),得a(0-1)(0+1)=-a=1,
∴a=-1,∴y=-x2+1.
3.函数y=-x2+2x-3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为
A.0,-2 B.-2,-6
C.-2,-3 D.-3,-6
∵y=-(x-1)2-2,∴当x=1时有最大值-2,当x=3时有最小值-6.
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16
4.已知一元二次函数y=x2+2x+5,它的图象可以由函数y=x2的图象经过怎样的变换得到
A.向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
B.向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
C.向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度
D.向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度
√
y=x2+2x+5=(x+2)2+3,显然C正确.
5.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是
1
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3
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5
6
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15
16
√
∵a>b>c,且a+b+c=0,∴a>0,c<0.
∴函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,且图象交y轴于负半轴,结合选项知D正确.
6.若y=(m-1)x2+2mx+3关于y轴对称,则该函数的函数值在区间(-3,1)上
A.随x的增大而增大
B.随x的增大而减小
C.随x的增大先增大后减小
D.随x的增大先减小后增大
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√
y=(m-1)x2+2mx+3关于y轴对称,所以m=0,此时y=-x2+3,所以该函数的图象是开口向下的抛物线,函数值在区间(-3,1)上先增大后减小.
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7.已知函数y=(m2-3m)是一元二次函数,则m= ,此时函数的最大值为 .
2
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由题意得
∴
∴m=2,此时y=-2x2,函数的最大值为0.
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8.一元二次函数的图象过点(0,1),对称轴为直线x=2,最小值为-1,则它的解析式是 .
y=x2-2x+1
依题意可设y=a(x-2)2-1(a>0),
又其图象过点(0,1),∴4a-1=1,∴a=.
∴y=(x-2)2-1=x2-2x+1.
9.已知抛物线y=ax2+6x-8与直线y=-3x相交于点A(1,m).
(1)求抛物线的解析式;
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由题意得,点A(1,m)在直线y=-3x上,
∴m=-3×1=-3.把x=1,y=-3代入y=ax2+6x-8,得a+6-8=-3,解得a=-1.
∴抛物线的解析式是y=-x2+6x-8.
(2)(1)中的抛物线经过怎样的平移可以得到y=ax2的图象.
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∵y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1,∴顶点坐标为(3,1).∴把抛物线y=-x2+6x-8向左平移3个单位长度后得到y=-x2+1的图象,再把y=-x2+1的图象向下平移1个单位长度得到y=-x2的图象.
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10.已知函数y=-x2+4x-2.
(1)试述该函数的变化趋势及最大值或最小值;
y=-x2+4x-2=-(x-2)2+2.
该函数的图象开口向下,对称轴为直线x=2,
在区间(-∞,2]上函数值y随自变量x的增大而增大,在区间[2,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而减小;函数值y在x=2处取得最大值,即ymax=2.
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(2)若x∈[0,3],求该函数的最大值和最小值.
若x∈[0,3],画出函数图象,如图所示.由图可知,
当x=2时,ymax=2;
当x=0时,ymin=-2.
11.一元一次函数y=ax+b(a≠0)与一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是
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综合运用
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选项A,y=ax+b中,a>0,而y=ax2+bx+c的图象开口向下,矛盾;
选项B,y=ax+b中,a>0,b>0,而y=ax2+bx+c的图象的对称轴x=->0,矛盾;
选项C,y=ax+b中,a<0,b<0,y=ax2+bx+c的图象开口向下,且对称轴x=
-<0,满足题意;
选项D,y=ax+b中,a<0,但y=ax2+bx+c的图象开口向上,矛盾.
12.函数y=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上函数值y随着自变量x的增大而减小,则a的取值范围是
A.[-3,+∞) B.(-∞,-3]
C.(-∞,5) D.[3,+∞)
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√
函数图象的对称轴是直线x=1-a,开口向上,则1-a≥4,解得a≤-3.
13.已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是
A.当a=1时,函数图象经过点(1,1)
B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a<0,则函数图象的顶点始终在x轴的下方
D.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大
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A中,当a=1时,函数解析式为y=x2-2x-1,过点(1,-2),所以A不正确;
B中,当a=-2时,函数解析式为y=-2x2+4x-1,令y=-2x2+4x-1=0,则Δ=42-4×(-2)×(-1)=8>0,所以当a=-2时,函数图象与x轴有两个不同的交点,所以B不正确;
C中,y=ax2-2ax-1=a(x-1)2-1-a,所以一元二次函数图象的顶点坐标为(1,-1-a),所以C不正确;
D中,因为y=ax2-2ax-1=a(x-1)2-1-a,所以一元二次函数图象的对称轴为直线x=1,若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大,所以D正确.
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14.函数y=x2-2x,当-1≤x≤t时,该函数的最大值为3,则t的最大值为 .
令y=3,则x2-2x=3,解得x=-1或x=3.
由图可知,t的最大值为3.
3
15.(多选)如图是一元二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1.给出下面四个选项,正确的是
A.b2>4ac B.2a-b=1
C.a-b+c=0 D.5a
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√
√
因为图象与x轴交于两点,
所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确;
对称轴为直线x=-1,
即-=-1,2a-b=0,B错误;
结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,C错误;
由对称轴为直线x=-1知,b=2a.
又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a
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16.求函数y=-x(x-a)在[-1,1]上的最大值.
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函数y=-+图象的对称轴方程
为x=,应分<-1,-1≤≤1,>1,
即a<-2,-2≤a≤2和a>2这三种情形讨论.
①当a<-2时,函数大致图象如图1所示,
由图可知ymax=-a-1;
②当-2≤a≤2时,函数大致图象如图2所示,
由图可知ymax=;
图1
图2
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③当a>2时,函数大致图象如图3所示,
由图可知ymax=a-1.
综上,当a<-2时,ymax=-a-1,
当-2≤a≤2时,ymax=,
当a>2时,ymax=a-1.
图3作业13 一元二次函数
（分值：100分）
单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分
1.若函数y=x2+mx的图象关于直线x=2对称，则 （ ）
A.m=-4 B.m=4
C.m=-2 D.m=2
2.已知抛物线与x轴交于点（-1，0），（1，0），并且与y轴交于点（0，1），则抛物线的解析式为 （ ）
A.y=-x2+1 B.y=x2+1
C.y=-x2-1 D.y=x2-1
3.函数y=-x2+2x-3在闭区间［0，3］上的最大值、最小值分别为 （ ）
A.0，-2 B.-2，-6
C.-2，-3 D.-3，-6
4.已知一元二次函数y=x2+2x+5，它的图象可以由函数y=x2的图象经过怎样的变换得到 （ ）
A.向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D.向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
5.已知函数y=ax2+bx+c，如果a>b>c且a+b+c=0，则它的图象可能是 （ ）
A. B. C. D.
6.若y=（m-1）x2+2mx+3关于y轴对称，则该函数的函数值在区间（-3，1）上 （ ）
A.随x的增大而增大
B.随x的增大而减小
C.随x的增大先增大后减小
D.随x的增大先减小后增大
7.已知函数y=（m2-3m）是一元二次函数，则m= ，此时函数的最大值为 .
8.一元二次函数的图象过点（0，1），对称轴为直线x=2，最小值为-1，则它的解析式是
9.（10分）已知抛物线y=ax2+6x-8与直线y=-3x相交于点A（1，m）.
（1）求抛物线的解析式；（5分）
（2）（1）中的抛物线经过怎样的平移可以得到y=ax2的图象.（5分）
10.（12分）已知函数y=-x2+4x-2.
（1）试述该函数的变化趋势及最大值或最小值；（6分）
（2）若x∈［0，3］，求该函数的最大值和最小值.（6分）
11.一元一次函数y=ax+b（a≠0）与一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一坐标系中的图象大致是 （ ）
A. B. C. D.
12.函数y=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4）上函数值y随着自变量x的增大而减小，则a的取值范围是 （ ）
A.［-3，+∞） B.（-∞，-3］
C.（-∞，5） D.［3，+∞）
13.已知函数y=ax2-2ax-1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是 （ ）
A.当a=1时，函数图象经过点（1，1）
B.当a=-2时，函数图象与x轴没有交点
C.若a<0，则函数图象的顶点始终在x轴的下方
D.若a>0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
14.函数y=x2-2x，当-1≤x≤t时，该函数的最大值为3，则t的最大值为 .
15.（多选）如图是一元二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为直线x=-1.给出下面四个选项，正确的是 （ ）
A.b2>4ac B.2a-b=1
C.a-b+c=0 D.5a
答案精析
1.A 2.A 3.B 4.C 5.D 6.C
7.2 0 8.y=x2-2x+1
9.解 （1）由题意得，点A（1，m）在直线y=-3x上，
∴m=-3×1=-3.把x=1，y=-3代入y=ax2+6x-8，
得a+6-8=-3，解得a=-1.
∴抛物线的解析式是y=-x2+6x-8.
（2）∵y=-x2+6x-8=-（x-3）2+1，∴顶点坐标为（3，1）.
∴把抛物线y=-x2+6x-8向左平移3个单位长度后得到y=-x2+1的图象，再把y=-x2+1的图象向下平移1个单位长度得到y=-x2的图象.
10.解 y=-x2+4x-2
=-（x-2）2+2.
（1）该函数的图象开口向下，对称轴为直线x=2，
在区间（-∞，2］上函数值y随自变量x的增大而增大，在区间［2，+∞）上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数值y在x=2处取得最大值，即ymax=2.
（2）若x∈［0，3］，画出函数图象，如图所示.由图可知，
当x=2时，ymax=2；
当x=0时，ymin=-2.
11.C
12.B ［函数图象的对称轴是直线x=1-a，开口向上，则1-a≥4，
解得a≤-3.］
13.D ［A中，当a=1时，函数解析式为y=x2-2x-1，过点（1，-2），所以A不正确；
B中，当a=-2时，函数解析式为y=-2x2+4x-1，令y=-2x2+4x-1=0，则Δ=42-4×（-2）×（-1）=8>0，所以当a=-2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，所以B不正确；
C中，y=ax2-2ax-1=a（x-1）2-1-a，所以一元二次函数图象的顶点坐标为（1，-1-a），所以C不正确；
D中，因为y=ax2-2ax-1=a（x-1）2-1-a，所以一元二次函数图象的对称轴为直线x=1，若a>0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，所以D正确.］
14.3
解析 令y=3，
则x2-2x=3，
解得x=-1或x=3.
由图可知，t的最大值为3.
15.AD ［因为图象与x轴交于两点，
所以b2-4ac>0，
即b2>4ac，A正确；
对称轴为直线x=-1，
即-=-1，2a-b=0，B错误；
结合图象，当x=-1时，y>0，即a-b+c>0，C错误；
由对称轴为直线x=-1知，b=2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a
应分<-1，-1≤≤1，>1，
即a<-2，-2≤a≤2和a>2这三种情形讨论.
①当a<-2时，函数大致图象如图1所示，
由图可知ymax=-a-1；
②当-2≤a≤2时，函数大致图象如图2所示，
由图可知ymax=；
③当a>2时，函数大致图象如图3所示，
由图可知ymax=a-1.
图1 图2 图3
综上，当a<-2时，ymax=-a-1，
当-2≤a≤2时，ymax=，
当a>2时，ymax=a-1.
