2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
［学习目标］ 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.
一、必要条件
问题1 观察下面几个命题，你能把它们变成“若p，则q”的形式吗？
（1）平行四边形的两组对边分别相等；
（2）平行四边形的一组对边平行且相等.
问题2 问题1中的两个命题中，条件和结论有什么关系？
知识梳理
1.命题的概念及结构形式
可以判断 ，用 表述的陈述句叫作命题.一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式.当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的 ，q是命题的 .当命题“若p，则q”是真命题时，就说 ，记作 .
2.必要条件
一般地，当命题“若p，则q”是 命题时，称q是p的必要条件，也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是 的.
3.性质定理与必要条件的关系
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件.
例1 指出下列各题中，哪些q是p的必要条件？
（1）p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
（2）p：A B，q：A∩B=A；
（3）p：-2≤x≤5，q：-1≤x≤5.
反思感悟 必要条件的两种判断方法
（1）定义法
（2）命题判断方法
如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；
如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件.
跟踪训练1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）p：|x|=|y|，q：x=y；
（2）p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
（3）p：△ABC是等边三角形，q：△ABC是等腰三角形.
二、 充分条件
知识梳理
1.充分条件
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的 条件.
2.判定定理与充分条件的关系
数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件.
3.必要条件与充分条件
对于真命题“若p，则q”，即p q时，称q是p的 条件，也称p是q的 条件.
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若a，b为无理数，则ab为无理数；
（2）在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC；
（3）已知a，b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0.
反思感悟 充分条件的两种判断方法
（1）定义法
（2）命题判断方法
如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；
如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件.
跟踪训练2 （多选）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有 （ ）
A.若x<1，则x<2
B.若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似
C.若|x|≠1，则x≠1
D.若ab>0，则a>0，b>0
三、由必要条件、充分条件求参数的范围
例3 已知p：实数x满足3a
反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧
（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.
（2）求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解.
跟踪训练3 已知集合P=｛x|x2+x-6=0｝，集合Q=｛x|mx+1=0｝，且“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则m的取值集合是_____________.
1.知识清单：
（1）必要条件、充分条件的概念.
（2）必要性、充分性的判断.
（3）必要条件与性质定理、充分条件与判定定理的关系.
（4）必要条件与充分条件的应用.
2.方法归纳：反例法.
3.常见误区：
（1）必要条件、充分条件不唯一.
（2）求参数范围能否取到端点值.
1.下列是“四边形是矩形”的充分条件的是 （ ）
A.四边形的对角线相等
B.四边形的两组对边分别相等
C.四边形有两个内角都为直角
D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补
2.（多选）下列各选项中，p是q的充分条件的是 （ ）
A.p：a是无理数，q：a2是无理数
B.p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C.p：x>2，q：x≥1
D.p：a>b，q：ac2>bc2
3.“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的 条件.（用“充分”“必要”填空）
4.若p：2-x>0，q：x
问题1 （1）若四边形是平行四边形，则四边形的两组对边分别相等.
（2）若四边形是平行四边形，则四边形的一组对边平行且相等.
问题2 命题（1）中，只要满足条件“四边形是平行四边形”，就有结论“四边形的两组对边分别相等”.同理命题（2）中也成立.
知识梳理
1.真假 文字或符号 条件 结论
由p推出q p q
2.真 必要
3.必要
例1 解 （1）因为矩形的对角线相等，所以p q，
所以q是p的必要条件.
（2）因为p q，
所以q是p的必要条件.
（3）因为p推不出q，
所以q不是p的必要条件.
跟踪训练1 解 （1）若|x|=|y|，则x=y或x=-y，因此p不能推出q，所以q不是p的必要条件.
（2）直角三角形不一定是等腰三角形，因此p不能推出q，所以q不是p的必要条件.
（3）等边三角形一定是等腰三角形，所以p q，所以q是p的必要条件.
知识梳理
1.充分
2.充分
3.必要 充分
例2 解 （1），2为无理数，
但×2=4，为有理数，因此p不能推出q，所以p不是q的充分条件.
（2）由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC，因此p q，所以p是q的充分条件.
（3）因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，由a2+b2=0，可推出a=b=0，
即p q，所以p是q的充分条件.
跟踪训练2 ABC
例3 解 p：3a
设集合B=｛x|-2≤x≤3｝.
因为p q，所以A B，
所以解得-≤a<0，
所以实数a的取值范围是
.
延伸探究 解 p：a
q：-2≤x≤3，
设集合B=｛x|-2≤x≤3｝.
因为q p，所以B A，
所以无解，
所以实数a的取值范围为 .
跟踪训练3
解析 由题意得P=｛-3，2｝，
∵“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，
∴Q P.
∴Q= ，或｛-3｝或｛2｝.
当m=0时，Q= ，满足题意.
当m≠0时，若Q=｛-3｝，
则-3m+1=0，
解得m=，
若Q=｛2｝，则2m+1=0，
解得m=-.
综上可得，m的取值集合是
.
随堂演练
1.D 2.BC 3.必要 4.［2，+∞）(共59张PPT)
第一章
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第1课时 必要条件与充分条件
1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.
学习目标
唐朝边塞诗人王昌龄的《从军行》中有两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,由诗意可知,返回家乡,那么肯定已经攻破楼兰.攻破楼兰,但不一定要返回家乡.那么攻破楼兰是返回家乡的什么条件呢
导 语
一、必要条件
二、充分条件
随堂演练
三、由必要条件、充分条件求参数的范围
内容索引
课时对点练
一
必要条件
观察下面几个命题,你能把它们变成“若p,则q”的形式吗
(1)平行四边形的两组对边分别相等;
问题1
提示 若四边形是平行四边形,则四边形的两组对边分别相等.
(2)平行四边形的一组对边平行且相等.
问题1
提示 若四边形是平行四边形,则四边形的一组对边平行且相等.
问题1中的两个命题中,条件和结论有什么关系
问题2
提示 命题(1)中,只要满足条件“四边形是平行四边形”,就有结论“四边形的两组对边分别相等”.同理命题(2)中也成立.
1.命题的概念及结构形式
可以判断 ,用 表述的陈述句叫作命题.一个命题通常可以表示为“若p,则q”和“p是q”两种形式.当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的 ,q是命题的 .当命题“若p,则q”是真命题时,就说______
____,记作 .
2.必要条件
一般地,当命题“若p,则q”是 命题时,称q是p的必要条件,也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是 的.
真假
文字或符号
条件
结论
由p推
出q
p q
真
必要
3.性质定理与必要条件的关系
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件.
必要
(1)前提p q,有方向,条件在前,结论在后.
(2)只有“若p,则q”为真命题时,才有“p q”.
(3)“q是p的必要条件”还可以换种说法“p的必要条件是q”.
注 意 点
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指出下列各题中,哪些q是p的必要条件
(1)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等;
例 1
因为矩形的对角线相等,所以p q,
所以q是p的必要条件.
(2)p:A B,q:A∩B=A;
因为p q,
所以q是p的必要条件.
(3)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.
因为p推不出q,
所以q不是p的必要条件.
(1)定义法
反
思
感
悟
必要条件的两种判断方法
(2)命题判断方法
如果命题“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件;
如果命题“若p,则q”是假命题,则q不是p的必要条件.
反
思
感
悟
下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件
(1)p:|x|=|y|,q:x=y;
跟踪训练 1
若|x|=|y|,则x=y或x=-y,因此p不能推出q,所以q不是p的必要条件.
(2)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形;
直角三角形不一定是等腰三角形,因此p不能推出q,所以q不是p的必要条件.
(3)p:△ABC是等边三角形,q:△ABC是等腰三角形.
等边三角形一定是等腰三角形,所以p q,所以q是p的必要条件.
二
充分条件
1.充分条件
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的 条件.
2.判定定理与充分条件的关系
数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件.
3.必要条件与充分条件
对于真命题“若p,则q”,即p q时,称q是p的 条件,也称p是q的_____
条件.
充分
充分
必要
充分
(1)叙述充分、必要条件时,注意p和q的前后顺序.
(2)“p是q的充分条件”还可以换种说法“q的充分条件是p”.
注 意 点
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下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件
(1)若a,b为无理数,则ab为无理数;
例 2
,2为无理数,但×2=4,为有理数,因此p不能推出q,所以p不是q的充分条件.
(2)在△ABC中,若∠A>∠B,则BC>AC;
由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,则BC>AC,因此p q,所以p是q的充分条件.
(3)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0.
因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p q,所以p是q的充分条件.
反
思
感
悟
(1)定义法
充分条件的两种判断方法
反
思
感
悟
(2)命题判断方法
如果命题“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件;
如果命题“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件.
(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的有
A.若x<1,则x<2
B.若两个三角形的三边对应成比例,则这两个三角形相似
C.若|x|≠1,则x≠1
D.若ab>0,则a>0,b>0
跟踪训练 2
√
√
√
由x<1可以推出x<2,所以选项A符合题意;
由两个三角形的三边对应成比例,可以推出这两个三角形相似,所以选项B符合题意;
由|x|≠1可以推出x≠1,所以选项C符合题意;
由ab>0不一定能推出a>0,b>0,比如a=b=-1,所以选项D不符合题意.
三
由必要条件、充分条件求参数的范围
已知p:实数x满足3a
p:3a
因为p q,所以A B,
所以解得-≤a<0,
所以实数a的取值范围是.
将本例中条件p改为“实数x满足a
延伸探究
p:a
q:-2≤x≤3,设集合B={x|-2≤x≤3}.
因为q p,所以B A,
所以无解,所以实数a的取值范围为 .
反
思
感
悟
(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤:先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解.
充分条件与必要条件的应用技巧
已知集合P={x|x2+x-6=0},集合Q={x|mx+1=0},且“x∈P”是
“x∈Q”的必要条件,则m的取值集合是 .
跟踪训练 3
由题意得P={-3,2},
∵“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,∴Q P.
∴Q= ,或{-3}或{2}.
当m=0时,Q= ,满足题意.
当m≠0时,若Q={-3},则-3m+1=0,
解得m=,
若Q={2},则2m+1=0,解得m=-.
综上可得,m的取值集合是.
1.知识清单:
(1)必要条件、充分条件的概念.
(2)必要性、充分性的判断.
(3)必要条件与性质定理、充分条件与判定定理的关系.
(4)必要条件与充分条件的应用.
2.方法归纳:反例法.
3.常见误区:
(1)必要条件、充分条件不唯一.
(2)求参数范围能否取到端点值.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.下列是“四边形是矩形”的充分条件的是
A.四边形的对角线相等
B.四边形的两组对边分别相等
C.四边形有两个内角都为直角
D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补
√
1
2
3
4
四边形的对角线相等且平分才是矩形,故A错误;
四边形的两组对边分别相等为平行四边形,故B错误;
四边形有三个内角为直角才是矩形,故C错误;
四边形两组对边分别平行则为平行四边形,则相邻两角互补,又有一组对角互补,故相邻两角相等,又相邻两角之和为180°,故相邻两角均为直角,故该平行四边形是矩形,故D正确.
2.(多选)下列各选项中,p是q的充分条件的是
A.p:a是无理数,q:a2是无理数
B.p:四边形为等腰梯形,q:四边形对角线相等
C.p:x>2,q:x≥1
D.p:a>b,q:ac2>bc2
1
2
3
4
√
A中,a=是无理数,a2=2是有理数,所以p不是q的充分条件;
B中,因为等腰梯形的对角线相等,所以p是q的充分条件;
C中,x>2 x≥1,所以p是q的充分条件;
D中,当c=0时,ac2=bc2,所以p不是q的充分条件.
√
3.“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的 条件.(用“充分”“必要”填空)
1
2
3
4
因为当a+b为偶数时,a,b可以都为奇数.
所以“a+b是偶数”不能推出“a和b都是偶数”,显然“a和b都是偶数” “a+b是偶数”.
所以“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件.
必要
4.若p:2-x>0,q:x
2
3
4
p:x<2,若p是q的充分条件,则p q,即p对应集合是q对应集合的子集,故a≥2.
[2,+∞)
课时对点练
五
1.若p是q的充分条件,则q是p的
A.充分条件 B.必要条件
C.不充分条件 D.不必要条件
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基础巩固
√
因为p是q的充分条件,所以p q,
所以q是p的必要条件.
2.下列各题中,p是q的充分条件的是
A.p:ab≠0,q:a≠0
B.p:a2+b2≥0,q:a≥0且b≥0
C.p:a2>1,q:a>1
D.p:a>b,q:>
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3
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√
3.使x>1成立的一个必要条件是
A.x>0 B.x>3
C.x>2 D.x<2
√
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2
3
4
5
6
7
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15
16
只有x>1 x>0,其他选项均不可由x>1推出,故选A.
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16
4.(多选)对任意实数a,b,c,下列命题中,假命题是
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
√
a=b a-b=0 (a-b)c=0 ac=bc,∴“ac”=“bc”是“a=b”的必要条件.
√
√
5.下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是
A.若=,则x=y B.若x=1,则x2=1
C.若x=y,则= D.若x
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当x=y=0时,,无意义;
当x2=1时,x=±1;
当x2
√
6.已知条件p:2k-1≤x≤3,q:-5≤x≤3,若p是q的必要条件,则实数k的取值范围是
A.-2
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3
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16
√
p:2k-1≤x≤3,q:-5≤x≤3,
设集合A={x|2k-1≤x≤3},B={x|-5≤x≤3},
因为p是q的必要条件,所以B A,
所以2k-1≤-5,解得k≤-2.
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7.“a>2且b>2”是“a+b>4,ab>4”的 条件.(用“充分”“必要”填空)
充分
由a>2且b>2 a+b>4,ab>4,
所以是充分条件.
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8.已知p:x>a,q:x+2>0,且p是q的必要条件,则实数a的取值范围是 .
因为p是q的必要条件,则q p,所以q对应的集合是p对应集合的子集,又q:x>-2,
故a≤-2.
9.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件
(1)若x=y,则x2=y2;
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显然p q,所以p是q的充分条件,
即q是p的必要条件.
(2)若x=1,则x-1=;
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2
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16
显然p q,所以p是q的充分条件,
即q是p的必要条件.
(3)若x>1,则x2>1.
显然p q,所以p是q的充分条件,
即q是p的必要条件.
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10.(1)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件
欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件,
则只要 {x|x<-1或x>3},
即只需-≤-1,所以m≥2.
故存在实数m≥2,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件.
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(2)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件
欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件,
则只要{x|x<-1或x>3} ,
这是不可能的.
故不存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件.
11.设x,y是两个实数,命题“x,y中至少有一个数大于1”的充分条件是
A.x+y=2 B.x+y>2
C.x2+y2>2 D.xy>1
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√
综合运用
对于选项A,当x=1,y=1时,满足x+y=2,但命题不成立;
对于选项C,D,当x=-2,y=-3时,满足x2+y2>2,xy>1,但命题不成立,也不符合题意;
显然选项B符合题意.
12.(多选)如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么
A.丙是甲的充分条件 B.丙不是甲的充分条件
C.丙是甲的必要条件 D.丙不是甲的必要条件
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√
因为甲是乙的必要条件,所以乙 甲.又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙 乙,但乙不能推出丙,
综上,有丙 甲,但甲不能推出丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
√
13.集合A={x|-1
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A={x|-1
所以-1≤b-1<1或-1
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14.已知p:-4
15.已知p:x<-1或x>3,q:x<-m+1或x>m+1(m>0),若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是 .
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16
拓广探究
{m|0
所以解得m≤2,
又m>0,所以实数m的取值范围是{m|0
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16.已知全集U=R,非空集合A={x|2
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∵A≠ ,∴3a+1>2,即a>.
∵q是p的必要条件,∴A B,
∴
［学习目标］ 1.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明.
一、充要条件的判断
问题1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0；
（4）若A∪B是空集，则A与B均是空集.
问题2 你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？
知识梳理
1.一般地，如果 ，且 ，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的 条件，记作 . p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”.
2.条件与结论的等价性：当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件.
例1 指出下列各题中，p是q的什么条件.（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）
（1）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
（2）p：m<0，q：一元二次方程x2+（m-3）x+m=0有一正根和一负根；
（3）p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
（4）p：|ab|=ab，q：ab>0.
反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
（1）定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
（2）集合法：即利用集合之间的包含关系判断.
（3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性.
跟踪训练1 指出下列各题中，p是q的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）.
（1）p：-1≤x≤5，q：x≥-1且x≤5；
（2）p：x+2≠y，q：（x+2）2≠y2；
（3）p：a=-3，q：|a|=3.
二、充要条件的证明
例2 求证：一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
反思感悟 充要条件证明的两个思路
（1）直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性.
（2）集合思想：记p：A=｛x|p（x）｝，q：B=｛x|q（x）｝，若A=B，则p与q互为充要条件.
跟踪训练2 求证：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过原点的充要条件是b=0.
三、充分、必要条件的应用
例3 已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m（m>0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
延伸探究
1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
2.本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
反思感悟 利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.
跟踪训练3 设集合A=｛x|x2-x-2=0｝，B=｛x|mx-2=0｝，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是 （ ）
A.m∈ B.m∈
C.m∈ D.m∈
1.知识清单：
（1）充要条件概念的理解.
（2）充要条件的证明.
（3）根据条件求参数范围.
2.方法归纳：等价转化法.
3.常见误区：
（1）条件和结论辨别不清.
（2）充分、必要条件问题转化为集合之间的关系易颠倒.
1.“x<2”是“<0”的 （ ）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设a∈R，则“a>4”的一个必要不充分条件是 （ ）
A.a>1 B.a<1 C.a>5 D.a<5
3.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的 条件.
4.已知p：x<-2或x>3，q：4x+m<0，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 .
答案精析
问题1 不难发现，上述命题中的命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题.
问题2 首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题.
判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.
知识梳理
1.p q q p 充要 p q
例1 解 （1）∵p q，q不能推出p，
∴p是q的充分不必要条件.
（2）记一元二次方程x2+（m-3）x+m=0的两根为x1，x2，则x1x2=m，
∴方程有一正根和一负根等价于x1x2<0，
x1x2<0 m<0，
故p是q 的充要条件.
（3）∵p不能推出q，q p，
∴p是q的必要不充分条件.
（4）∵ab=0时，|ab|=ab，
∴“|ab|=ab”不能推出“ab>0”，
即p不能推出q.
而当ab>0时，有|ab|=ab，即q p.
∴p是q的必要不充分条件.
跟踪训练1 解 （1）因为-1≤x≤5 x≥-1且x≤5，
所以p是q的充要条件.
（2）由q：（x+2）2≠y2，
得x+2≠y，且x+2≠-y，
又p：x+2≠y，
故p是q的必要不充分条件.
（3）a=-3 |a|=3；
|a|=3 a=±3.
所以p是q的充分不必要条件.
例2 证明 必要性：由于方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一正实根和一负实根，
∴Δ=b2-4ac>0，且x1x2=<0，∴ac<0.
充分性：由ac<0可推出Δ=b2-4ac>0及x1x2=<0，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一正一负两实根.
∴原命题得证.
跟踪训练2 证明 ①充分性：如果b=0，那么y=kx，
当x=0时，y=0，函数图象过原点.
②必要性：因为y=kx+b（k≠0）的图象过原点，
所以当x=0时，y=0，
得0=k·0+b，所以b=0.
综上，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过原点的充要条件是b=0.
例3 解 p：-2≤x≤10，
q：1-m≤x≤1+m（m>0）.
设A=｛x|-2≤x≤10｝，
B=｛x|1-m≤x≤1+m｝（m>0），
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
所以BA，
故有或
解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为
｛m|0
1.解 p：-2≤x≤10，
q：1-m≤x≤1+m（m>0）.
设A=｛x|-2≤x≤10｝，
B=｛x|1-m≤x≤1+m｝（m>0），
因为p是q的充分不必要条件，
所以AB.
所以或
解得m≥9，
即实数m的取值范围是｛m|m≥9｝.
2.解 因为p：-2≤x≤10，
q：1-m≤x≤1+m（m>0）.
若p是q的充要条件，
则无解.
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
跟踪训练3 B
随堂演练
1.A 2.A 3.充要 4.｛m|m≥8｝(共55张PPT)
第一章
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第2课时 充要条件
1.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.
2.会判断一些简单的充要条件问题.
3.能对充要条件进行证明.
学习目标
同学们,上节课,我们学习了充分条件与必要条件,让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一,同样的条件也可能得出不同的结论,但生活中还有一些实例,比如:“人不犯我,我不犯人,人若犯我,我必犯人”,像这种条件和结论唯一的结构,其实在我们数学上,也有很多类似的问题,让我们一探究竟吧!
导 语
一、充要条件的判断
二、充要条件的证明
随堂演练
三、充分、必要条件的应用
内容索引
课时对点练
一
充要条件的判断
下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等;
(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等;
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则ac<0;
(4)若A∪B是空集,则A与B均是空集.
问题1
提示 不难发现,上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题;
命题(2)是真命题,但它的逆命题是假命题;
命题(3)是假命题,但它的逆命题是真命题.
你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p,q的关系吗
问题2
提示 首先原命题和逆命题都是成对出现的,不能说单独的一个命题是逆命题.
判断p是q的什么条件,其实质是判断“若p,则q”及其逆命题“若q,则p”是真是假,原命题为真而逆命题为假,p是q的充分不必要条件;原命题为假而逆命题为真,则p是q的必要不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则p是q的充要条件;原命题为假,逆命题为假,则p是q的既不充分也不必要条件.
1.一般地,如果 ,且 ,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的
条件,记作 . p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”.
2.条件与结论的等价性:当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.
p q
q p
充要
p q
(1)分类:
①p q,q不能推出p p是q的充分不必要条件;
②q p,p不能推出q p是q的必要不充分条件;
③p q且q p p是q的充要条件;
④p不能推出q且q不能推出p p是q的既不充分也不必要条件.
(2)传递性:
①p q,q s则p s,即p是s的充分条件;
②q p,s q则s p,即p是s的必要条件;
③p q,q s则p s,即p是s的充要条件.
注 意 点
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指出下列各题中,p是q的什么条件.(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)
(1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除;
例 1
∵p q,q不能推出p,
∴p是q的充分不必要条件.
(2)p:m<0,q:一元二次方程x2+(m-3)x+m=0有一正根和一负根;
记一元二次方程x2+(m-3)x+m=0的两根为x1,x2,则x1x2=m,
∴方程有一正根和一负根等价于x1x2<0,
x1x2<0 m<0,
故p是q 的充要条件.
(3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;
∵p不能推出q,q p,
∴p是q的必要不充分条件.
(4)p:|ab|=ab,q:ab>0.
∵ab=0时,|ab|=ab,
∴“|ab|=ab”不能推出“ab>0”,即p不能推出q.
而当ab>0时,有|ab|=ab,即q p.
∴p是q的必要不充分条件.
(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:即利用集合之间的包含关系判断.
(3)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1 p2 … pn,可得p1 pn;充要条件也有传递性.
反
思
感
悟
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
1 指出下列各题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).
(1)p:-1≤x≤5,q:x≥-1且x≤5;
跟踪训练 1
因为-1≤x≤5 x≥-1且x≤5,
所以p是q的充要条件.
(2)p:x+2≠y,q:(x+2)2≠y2;
由q:(x+2)2≠y2,
得x+2≠y,且x+2≠-y,又p:x+2≠y,
故p是q的必要不充分条件.
(3)p:a=-3,q:|a|=3.
a=-3 |a|=3;
|a|=3 a=±3.
所以p是q的充分不必要条件.
二
充要条件的证明
求证:一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
例 2
必要性:由于方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正实根和一负实根,
∴Δ=b2-4ac>0,且x1x2=<0,∴ac<0.
充分性:由ac<0可推出Δ=b2-4ac>0及x1x2=<0,
∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正一负两实根.
∴原命题得证.
反
思
感
悟
(1)直接法:证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p q是证明充分性,推证q p是证明必要性.
(2)集合思想:记p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},若A=B,则p与q互为充要条件.
充要条件证明的两个思路
求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.
跟踪训练 2
①充分性:如果b=0,那么y=kx,
当x=0时,y=0,函数图象过原点.
②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点,
所以当x=0时,y=0,得0=k·0+b,所以b=0.
综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.
三
充分、必要条件的应用
已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
例 3
p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
设A={x|-2≤x≤10},B={x|1-m≤x≤1+m}(m>0),
因为p是q的必要不充分条件,
所以q是p的充分不必要条件,
所以B A,
故有
解得m≤3.
又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0
延伸探究
p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
设A={x|-2≤x≤10},
B={x|1-m≤x≤1+m}(m>0),
因为p是q的充分不必要条件,
所以A B.
所以
解得m≥9,即实数m的取值范围是{m|m≥9}.
2.本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件 若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
因为p:-2≤x≤10,
q:1-m≤x≤1+m(m>0).
若p是q的充要条件,则无解.
故不存在实数m,使得p是q的充要条件.
反
思
感
悟
利用充分条件和必要条件求参数的取值范围,主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系,将问题转化为集合之间的关系,建立关于参数的不等式或不等式组求解.
设集合A={x|x2-x-2=0},B={x|mx-2=0},则B是A的真子集的一个充分不必要条件是
A.m∈ B.m∈
C.m∈ D.m∈
跟踪训练 3
√
A={x|x2-x-2=0}={2,-1},
若m=0,则B= ,B A.
若m=1,则B={2} A.
若m=-2,则B={-1} A,
∴B A的一个充分不必要条件是m∈.
1.知识清单:
(1)充要条件概念的理解.
(2)充要条件的证明.
(3)根据条件求参数范围.
2.方法归纳:等价转化法.
3.常见误区:
(1)条件和结论辨别不清.
(2)充分、必要条件问题转化为集合之间的关系易颠倒.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.“x<2”是“<0”的
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
√
1
2
3
4
由<0,得x-2<0,得x<2,
又由x<2得,x-2<0,得<0,
即“x<2”是“<0”的充要条件.
2.设a∈R,则“a>4”的一个必要不充分条件是
A.a>1 B.a<1
C.a>5 D.a<5
1
2
3
4
√
由题意,当a>4成立时,a>1成立,当a>1成立时,a>4不一定成立,所以a>1是a>4的必要不充分条件.
3.若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的 条件.
1
2
3
4
因为p q,q r,所以p r,所以p是r的充要条件.
充要
4.已知p:x<-2或x>3,q:4x+m<0,若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是 .
1
2
3
4
设A={x|x<-2或x>3},B=,
因为p是q的必要不充分条件,
所以B A,所以-≤-2,即m≥8.
所以实数m的取值范围为{m|m≥8}.
{m|m≥8}
课时对点练
五
1.设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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基础巩固
√
当x=1时,x3=x成立.若x3=x,x(x2-1)=0,得x=-1,0,1,不一定得到x=1.
2.荀子曰:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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√
由名言可得大意为如果不“积跬步”,便不能“至千里”,
荀子的名言表明积跬步未必能至千里,但要至千里必须积跬步,
所以“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.
3.设p是q的充分不必要条件,r是q的必要不充分条件,s是r的充要条件,则s是p的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
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16
因为p是q的充分不必要条件,所以p q且q p,因为r是q的必要不充分条件,所以q r且r q.
因为s是r的充要条件,所以s r且r s,如图,所以p s且s
p,故s是p的必要不充分条件.
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4.(多选)下列选项中正确的是
A.点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在☉O外的充要条件
B.两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件
C.A∪B=A是B A的必要不充分条件
D.x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件
√
√
5.p:-1≤x<2的一个充分不必要条件是
A.-1≤x<3 B.-1≤x<2
C.0≤x<2 D.0≤x<3
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集合{x|0≤x<2}是集合{x|-1≤x<2}的真子集,
故0≤x<2是p的一个充分不必要条件.
而-1≤x<2是p的充要条件,-1≤x<3是p的必要不充分条件,0≤x<3是p的既不充分也不必要条件.
√
6.(多选)设U是全集,A,B是U的两个子集,则“A∩B=A”的充要条件是
A.A B B.B A
C. UA UB D. UA UB
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√
由A∩B=A可知A B,反过来A B,则A∩B=A,对选项C来说,实际上也是A B.
√
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7.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m= .
-2
函数y=x2+mx+1的对称轴为直线x=-,
令-=1,解得m=-2,
所以函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.
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8.已知A={x|-1
9.求证:方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
1
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必要性:∵关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.
∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
充分性:∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)·(ax+a+b)=0.
因此,方程有一个根为x=1,故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
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10.已知p:A={x|2a-1
集合A={x|2a-1
当A= 时,有2a-1≥3a+1,解得a≤-2,满足题意;
当A≠ 时,要使A B成立,需满足解得0≤a≤1,
综上,实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[0,1].
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(2)是否存在实数a,使得p是q的充要条件 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
假设存在实数a,使得p是q的充要条件,
那么A=B,
则必有无解.
故不存在实数a,使得A=B,
即不存在实数a,使得p是q的充要条件.
11.已知p:(x-1)(y-2)=0,q:(x-1)2+(y-2)2=0,则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
综合运用
由(x-1)(y-2)=0,解得x=1或y=2,
由(x-1)2+(y-2)2=0,
解得则p所表示的集合真包含q所表示的集合,故p是q的必要不
充分条件.
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12.(多选)“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的必要不充分条件是
A.m≤ B.m<0
C.m≤1 D.m<2
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√
由“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”可得Δ=1-4m≥0,解得m≤,设M=,选项中m的范围构成集合N,则M N,C,D选项符合要求.
√
13.当x>0时,函数y=ax2+2x-1中的变量y随x的增大而增大的充要条件是 .
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若a=0,则y=2x-1,变量y随x的增大而增大,符合条件;
若a≠0,则必有得a>0.
综上,所求的充要条件是a≥0.
a≥0
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14.若集合A={x|x>-2},B={x|x≤b,b∈R},则A∪B=R的一个必要不充分条件是 ; A∪B=R的一个充分不必要条件是 .
若A∪B=R,则b≥-2,故A∪B=R的一个充要条件是b≥-2.
所以A∪B=R的一个必要不充分条件可以是b≥-3.
所以A∪B=R的一个充分不必要条件可以是b≥-1.
b≥-3
b≥-1(答案不唯一)
15.(多选)设计如图所示的四个电路图,p:“开关S闭合”;q:“灯泡L亮”,则p是q的充要条件的电路图是
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拓广探究
√
√
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由题图知,电路图A中,开关S闭合,灯泡L亮,而灯泡L亮开关S不一定闭合,故A中p是q的充分不必要条件;
电路图B中,开关S闭合,灯泡L亮,且灯泡L亮,则开关S闭合,故B中p是q的充要条件;
电路图C中,开关S闭合,灯泡L不一定亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故C中p是q的必要不充分条件;
电路图D中,开关S闭合,则灯泡L亮,灯泡L亮则一定有开关S闭合,故D中p是q的充要条件,故选BD.
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16.求证:关于x的方程ax2+2x+1=0只有一个负实数根的充要条件是a=1或a≤0.
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(1)充分性:当a=1时,方程ax2+2x+1=0的实根是x1=x2=-1,只有一个负实数根;
当a=0时,方程ax2+2x+1=0只有一个负实根是x=-;
当a<0时,方程ax2+2x+1=0的判别式Δ=4-4a>0,
且x1x2=<0,方程两根一正一负.
所以当a=1或a≤0时,关于x的方程ax2+2x+1=0只有一个负实数根.
(2)必要性:若方程ax2+2x+1=0只有一个负实数根,则
①当a=0时,x=-,符合题意.
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②当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,
Δ=4-4a≥0,解得a≤1;
当a=1时,方程的根为-1,符合题意;
当a<1且a≠0时,方程有两个不相等的实数根x1,x2,若方程只有一个负实数根,
则x1x2=<0,即a<0.
所以当关于x的方程ax2+2x+1=0只有一个负实数根时,a=1或a≤0.
综上,关于x的方程ax2+2x+1=0只有一个负实数根的充要条件是a=1或a≤0.作业5 必要条件与充分条件
（分值：100分）
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.若p是q的充分条件，则q是p的 （ ）
A.充分条件 B.必要条件
C.不充分条件 D.不必要条件
2.下列各题中，p是q的充分条件的是 （ ）
A.p：ab≠0，q：a≠0
B.p：a2+b2≥0，q：a≥0且b≥0
C.p：a2>1，q：a>1
D.p：a>b，q：>
3.使x>1成立的一个必要条件是 （ ）
A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2
4.（多选）对任意实数a，b，c，下列命题中，假命题是 （ ）
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
5.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是 （ ）
A.若=，则x=y B.若x=1，则x2=1
C.若x=y，则= D.若x
A.-2
8.已知p：x>a，q：x+2>0，且p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 .
9.（10分）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若x=y，则x2=y2；（3分）
（2）若x=1，则x-1=；（3分）
（3）若x>1，则x2>1.（4分）
10.（11分）（1）是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件？（5分）
（2）是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件？（6分）
11.设x，y是两个实数，命题“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是 （ ）
A.x+y=2 B.x+y>2
C.x2+y2>2 D.xy>1
12.（多选）如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么 （ ）
A.丙是甲的充分条件
B.丙不是甲的充分条件
C.丙是甲的必要条件
D.丙不是甲的必要条件
13.集合A=｛x|-1
16.（12分）已知全集U=R，非空集合A=｛x|2
1.B 2.A 3.A 4.ACD 5.C 6.D
7.充分 8.（-∞，-2］
9.解 （1）显然p q，所以p是q的充分条件，
即q是p的必要条件.
（2）显然p q，所以p是q的充分条件，
即q是p的必要条件.
（3）显然p q，所以p是q的充分条件，
即q是p的必要条件.
10.解 （1）欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件，
则只要 ｛x|x<-1或x>3｝，
即只需-≤-1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件.
（2）欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件，则只要｛x|x<-1或x>3｝ ，
这是不可能的.
故不存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件.
11.B
12.AD ［因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙不能推出丙，
综上，有丙 甲，但甲不能推出丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.］
13.C ［A=｛x|-1
所以-1≤b-1<1或-1
解析 由q：2
15.｛m|0
所以解得m≤2，
又m>0，所以实数m的取值范围是｛m|0
∴3a+1>2，即a>.
∵q是p的必要条件，∴A B，
∴得
.作业6 充要条件
（分值：100分）
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分
1.设x∈R，则“x=1”是“x3=x”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，s是r的充要条件，则s是p的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.（多选）下列选项中正确的是 （ ）
A.点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在☉O外的充要条件
B.两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件
C.A∪B=A是B A的必要不充分条件
D.x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件
5.p：-1≤x<2的一个充分不必要条件是 （ ）
A.-1≤x<3 B.-1≤x<2
C.0≤x<2 D.0≤x<3
6.（多选）设U是全集，A，B是U的两个子集，则“A∩B=A”的充要条件是 （ ）
A.A B B.B A
C. UA UB D. UA UB
7.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m= .
8.已知A=｛x|-1
10.（10分）已知p：A=｛x|2a-1
（2）是否存在实数a，使得p是q的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.（5分）
11.已知p：（x-1）（y-2）=0，q：（x-1）2+（y-2）2=0，则p是q的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.（多选）“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的必要不充分条件是 （ ）
A.m≤ B.m<0
C.m≤1 D.m<2
13.当x>0时，函数y=ax2+2x-1中的变量y随x的增大而增大的充要条件是 .
14.若集合A=｛x|x>-2｝，B=｛x|x≤b，b∈R｝，则A∪B=R的一个必要不充分条件是 ；
A∪B=R的一个充分不必要条件是 .
15.（多选）设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”；q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是 （ ）
A. B.
C. D.
16.（11分）求证：关于x的方程ax2+2x+1=0只有一个负实数根的充要条件是a=1或a≤0.
答案精析
1.A 2.B 3.B 4.AD 5.C 6.AC
7.-2 8.｛m|m>2｝
9.证明 必要性：∵关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1，
∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.
∴a×12+b×1+c=0，
即a+b+c=0.
充分性：∵a+b+c=0，∴c=-a-b，
代入方程ax2+bx+c=0中，可得ax2+bx-a-b=0，
即（x-1）·（ax+a+b）=0.
因此，方程有一个根为x=1，故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
10.解 （1）集合A=｛x|2a-1
当A= 时，有2a-1≥3a+1，解得a≤-2，满足题意；
当A≠ 时，要使A B成立，需满足解得0≤a≤1，
综上，实数a的取值范围为
（-∞，-2］∪［0，1］.
（2）假设存在实数a，使得p是q的充要条件，那么A=B，
则必有无解.
故不存在实数a，使得A=B，
即不存在实数a，使得p是q的充要条件.
11.B
12.CD ［由“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”可得Δ=1-4m≥0，解得m≤，设M=，选项中m的范围构成集合N，则MN，C，D选项符合要求.］
13.a≥0
解析 若a=0，则y=2x-1，变量y随x的增大而增大，符合条件；
若a≠0，则必有得a>0.
综上，所求的充要条件是a≥0.
14.b≥-3 b≥-1（答案不唯一）
解析 若A∪B=R，则b≥-2，故A∪B=R的一个充要条件是b≥-2.
所以A∪B=R的一个必要不充分条件可以是b≥-3.
所以A∪B=R的一个充分不必要条件可以是b≥-1.
15.BD ［由题图知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件，故选BD.］
16.证明 （1）充分性：当a=1时，方程ax2+2x+1=0的实根是x1=x2=-1，只有一个负实数根；
当a=0时，方程ax2+2x+1=0只有一个负实根是x=-；
当a<0时，方程ax2+2x+1=0的判别式Δ=4-4a>0，
且x1x2=<0，方程两根一正一负.
所以当a=1或a≤0时，关于x的方程ax2+2x+1=0只有一个负实数根.
（2）必要性：若方程ax2+2x+1=0只有一个负实数根，则
①当a=0时，x=-，符合题意.
②当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，
Δ=4-4a≥0，解得a≤1；
当a=1时，方程的根为-1，符合题意；
当a<1且a≠0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2，若方程只有一个负实数根，
则x1x2=<0，即a<0.
所以当关于x的方程ax2+2x+1=0只有一个负实数根时，a=1或a≤0.
综上，关于x的方程ax2+2x+1=0只有一个负实数根的充要条件是a=1或a≤0.
