2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷
考试范围：第1章相交线与平行线+第2章二元一次方程组
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 达州期末）下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是
A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④
【答案】
【解析】方程是二元一次方程的是①；⑤，
故选．
2．（2024秋 沂源县期末）如图所示，甲、乙是两张画有图形的透明胶片，把其中一张向右平移到另一张上，形成的图形是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据平移的性质可得：把其中一张向右平移到另一张上，形成的图形是．
故选．
3．（2024秋 社旗县期末）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直
D．两钉子固定木条
【答案】
【解析】、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
故选．
4．（2024秋 徐汇区校级期末）下列说法中正确的有
①相等的角是对顶角；
②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角互为邻补角；
③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
⑤如图，和是同旁内角．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】
【解析】①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，因此①不正确；
②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角不一定是互为邻补角；
如图：，，
此时，但不是邻补角，
因此②不正确；
③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，因此③正确；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，因此④不正确；
⑤如图，和不是同旁内角，因此⑤不正确．
综上所述，正确的结论有③，共1个，
故选．
5．（2024秋 祥符区期末）若关于，的方程组的解满足，则的值是
A． B． C．0 D．
【答案】
【解析】，
①②得：，
解得：，
代入已知等式得：，
解得：．
故选．
6．（2024秋 碧江区 期末）已知是方程组的解，则的值是
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
【答案】
【解析】由题意将代入方程组得：
，
①②③得：，
即，
则．
故选．
7．（2024春 广阳区期末）如图，直线，与直线相交，给出下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能判断的是
A．①②⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①③④⑤
【答案】
【解析】①，由同位角相等，两直线平行判定，故①符合题意；
②和不是同位角也不是内错角，不能判定，故②不符合题意；
③，由同旁内角互补，两直线平行判定，故③符合题意；
④由，，得到，由同旁内角互补，两直线平行判定，故④符合题意；
⑤由，，得到，由同位角相等，两直线平行判定，故⑤符合题意．
其中能判定的是①③④⑤．
故选．
8．（2024秋 湖北期末）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤两，半斤两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，可列方程组
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】根据银两相同，且银两，人数，余两之间的关系得：
，
故选．
9．（2024春 崇川区校级月考）已知关于，的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中的值为0，则．其中正确的说法有
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
【答案】
【解析】，
由②得，
把代入①得，
整理得，
当时，方程组无解；
当时，方程组有唯一解；
如果，则，解得，
观察四种说法，①②错误，③④正确，
故选．
10．（2024秋 衡东县期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】延长，交于．
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
①；②正确，
平分，
，
，
，
，
可见，的值未必为，未必为，只要和为即可，
③平分，④平分不一定正确．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 灵武市校级期中）在同一平面内，两条直线的位置关系有 平行 和 两种．
【答案】平行，相交．
【解析】在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种．
故答案为：平行，相交．
12．（2024秋 镇海区期末）如图，直线，相交于点，于点．若，则的度数为 ．
【答案】．
【解析】，，
，
，
，
，
故答案为：．
13．（2024秋 叶县期末）在解关于、的二元一次方程组时，若①②可以直接消去一个未知数，则、之间的数量关系可以用等式表示为 ．
【答案】．
【解析】方程组，
①②，得．
①②可以直接消去一个未知数，
．
故答案为：．
14．（2024秋 衡阳期末）如图，已知，，，则 ．
【答案】．
【解析】如图，过作．
，
．
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
15．（2024秋 临澧县期末）若关于，的二元一次方程组的解是，那么关于，的二元一次方程组的解是 ．
【解析】方法一：
的解是，
，
解得：
把代入，
化简可得：
解得：，
故答案为：
方法二：
二元一次方程组的解是，
关于，的二元一次方程组中，
解得，
故答案为：
16．（2024秋 如皋市月考）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行（沿虚线箭头）加起来，得2397．如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则的值等于 2 ．
【答案】2．
【解析】由题意得，如图，
设的十位数字是，个位数字是，
则，
，
的值为2，
故答案为：2．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 阳谷县校级开学）解下列方程组：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】（1），
将①代入②得：，
整理得：，
解得：，
将代入①得：，
故原方程组的解为；
（2），
②①得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为；
（3），
①②得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为；
（4）原方程组整理得，
①②得：，
将代入②得：，
解得：，
故原方程组的解为．
18．（2024秋 汉台区期末）如图，，分别是线段，上一点，点在的延长线上，连接，，，若，，，求证：．
【解析】证明：，，
，
，
，
．
19．（2024秋 道外区期末）作图题
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点、分别是点、的对应点．
（1）请画出平移后的三角形；
（2）连接和；
（3）直接写出三角形的面积为 ．
【解析】（1）由题意得，三角形向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形，
如图，三角形即为所求．
（2）如图，线段，即为所求．
（3）三角形的面积为．
故答案为：．
20．（2024秋 安宁区校级期末）在解方程组时，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是．
（1）求原方程组中、的值各是多少？
（2）求出原方程组中的正确解．
【解析】（1）将代入②得，
将代入①得；
（2）原方程组为，
①②得：，
解得：，
①②得：，
解得：，
即原方程组的解为：．
21．（2024秋 靖江市期末）如图1，点在线段上，点在线段上，，．
（1）试说明：；
（2）如图2所示，延长到，在，内部有一点，连接，．若，，求的度数．
【解析】（1）如图：
，，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，，
，，
，
．
22．（2024春 井研县期末）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例：由，得：、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出方程的正整数解 ．
（2）若为自然数，则满足条件的正整数的值有 ．
．3个
．4个
．5个
．6个
（3）关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．
【解析】（1）方程的正整数解为，
故答案为；
（2）正整数有9，6，5，4，共4个，
故选；
（3）
①②得：，
解得：，
，是正整数，是整数，
，2，4，8，
，2，0，，
但时，不是正整数，故，0，．
23．（2023春 昌平区期末）如图1，对于两条直线，被第三条直线所截的同旁内角，满足，则称是的关联角．
（1）已知是的关联角．
①当时， 80 ；
②当时，直线，的位置关系为 ；
（2）如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点．
①求证：是的关联角；
②过点的直线分别交直线，于点，，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为 ．
【解析】（1）①是的关联角，，
．
故答案为：80．
②由题意可得方程组，解得，
，
．
故答案为：平行．
（2）①证明：是的关联角，
，
又，，
，
，
是的关联角．
②当直线位于如图所示位置时：
是的关联角，，
．
若是的关联角，则．
若是的关联角，则，得．
当直线位于如图所示位置时：
，，
，
若是的关联角，则．
，
（舍去）．
若是的关联角，则，得．
故答案为：、或．
24．（2024秋 雁塔区校级期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为．
因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）
【任务一】拟定裁切方案
（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板 30 块．
（2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案：
方案一：裁切靠背板 块和座板 块．
方案二：裁切靠背板 块和座板 块．
方案三：裁切靠背板 块和座板 块．
【任务二】确定搭配数量
（3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材．
【解析】任务一：（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图，
则可裁切靠背板块．
故答案为：30；
（2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图，
余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块，
根据题意得：，
，
，为正整数，
或或，
方案一：裁切靠背板23块和座板2块；
方案二：裁切靠背板16块和座板4块；
方案三：裁切靠背板9块和座板6块；
故答案为：23，2；16，4；9，6；
（3）设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，
根据题意得：，
解得：，
张，
需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块．
设用张板材裁切靠背23块和座板2块．用张板材裁切靠背9块和座板6块，
根据题意得：，
解得：，
张，
需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块．
设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，根
据题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块．
2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷
考试范围：第1章相交线与平行线+第2章二元一次方程组
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 达州期末）下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是
A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④
2．（2024秋 沂源县期末）如图所示，甲、乙是两张画有图形的透明胶片，把其中一张向右平移到另一张上，形成的图形是
A． B． C． D．
3．（2024秋 社旗县期末）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直
D．两钉子固定木条
4．（2024秋 徐汇区校级期末）下列说法中正确的有
①相等的角是对顶角；
②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角互为邻补角；
③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
⑤如图，和是同旁内角．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2024秋 祥符区期末）若关于，的方程组的解满足，则的值是
A． B． C．0 D．
6．（2024秋 碧江区 期末）已知是方程组的解，则的值是
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
7．（2024春 广阳区期末）如图，直线，与直线相交，给出下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能判断的是
A．①②⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①③④⑤
8．（2024秋 湖北期末）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤两，半斤两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，可列方程组
A． B．
C． D．
9．（2024春 崇川区校级月考）已知关于，的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中的值为0，则．其中正确的说法有
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
10．（2024秋 衡东县期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 灵武市校级期中）在同一平面内，两条直线的位置关系有 和 两种．
12．（2024秋 镇海区期末）如图，直线，相交于点，于点．若，则的度数为 ．
13．（2024秋 叶县期末）在解关于、的二元一次方程组时，若①②可以直接消去一个未知数，则、之间的数量关系可以用等式表示为 ．
14．（2024秋 衡阳期末）如图，已知，，，则 ．
15．（2024秋 临澧县期末）若关于，的二元一次方程组的解是，那么关于，的二元一次方程组的解是 ．
16．（2024秋 如皋市月考）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行（沿虚线箭头）加起来，得2397．如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则的值等于 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 阳谷县校级开学）解下列方程组：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（2024秋 汉台区期末）如图，，分别是线段，上一点，点在的延长线上，连接，，，若，，，求证：．
19．（2024秋 道外区期末）作图题
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点、分别是点、的对应点．
（1）请画出平移后的三角形；
（2）连接和；
（3）直接写出三角形的面积为 ．
20．（2024秋 安宁区校级期末）在解方程组时，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是．
（1）求原方程组中、的值各是多少？
（2）求出原方程组中的正确解．
21．（2024秋 靖江市期末）如图1，点在线段上，点在线段上，，．
（1）试说明：；
（2）如图2所示，延长到，在，内部有一点，连接，．若，，求的度数．
22．（2024春 井研县期末）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例：由，得：、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出方程的正整数解 ．
（2）若为自然数，则满足条件的正整数的值有 ．
．3个
．4个
．5个
．6个
（3）关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．
23．（2023春 昌平区期末）如图1，对于两条直线，被第三条直线所截的同旁内角，满足，则称是的关联角．
（1）已知是的关联角．
①当时， ；
②当时，直线，的位置关系为 ；
（2）如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点．
①求证：是的关联角；
②过点的直线分别交直线，于点，，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为 ．
24．（2024秋 雁塔区校级期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为．
因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）
【任务一】拟定裁切方案
（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板 块．
（2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案：
方案一：裁切靠背板 块和座板 块．
方案二：裁切靠背板 块和座板 块．
方案三：裁切靠背板 块和座板 块．
【任务二】确定搭配数量
（3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材．
