几何辅助线进阶训练——构造等腰三角形
一、阶段一（较易）
1．如图，在 ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，AE平分∠FAD，交CD于中点E，连接EF．若∠FAD＝60°，AD＝5，CF＝3，则EF＝ ．
2．如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，已知，，平分，于点，为中点．求的长．
4．如图，中，平分，，垂足为D，E为中点，若，，则的长为 ．
5．如图，在中，，，，点D在外，连接、，点E是的中点，，，则线段的长 ．
6．如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE。
7．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF、CF；
（1）求证：EF=CF；
（2）若∠BAC=45°，AD=6，求C、E两点间的距离．
8．如图，在中，，，，其中，，，（ ）
A． B． C． D．
9．如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是 °.
10．如图，D为内一点，平分，，，若，．则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
11．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，于点P，连接PC，若△PAB的面积为，△PBC的面积为，则△PAC的面积为（ ）.
A．2 B．2.5 C．3 D．4
二、阶段二（中等）
12．如图，在中，∠BAC=120°，点D为BC的中点，点E是AC上的一点，且．若，则AB的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
13．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，对角线AC=8，点E，F，O分别为AD，AB，BD的中点，且EF=5，则点O到AC的距离为 ．
14．如图，在中，，是斜边上的中点，、分别是、边上的点，且
（1）若，，求四边形的面积.
（2）求证：.
15．如图，正方形中，P为边上一点，点E与B关于直线对称，射线与的延长线相交于点F.若，，则的长为 .
16．如图，在中，，是边上的高线，过点D作交于点E.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连结交于点H，若，求的长.
17．如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CEMN交AD于E，连接EM，CN，DN.
（1）求证：DM＝MN；
（2）求证：EMCN.
18．如图，在中，，，平分，，为边的垂直平分线且分别交、于点、，若，，则的长是（ ）
A．2 B． C． D．
19．已知：在等边中，点是边所在直线上的一个动点（与、两点均不重合），点在的延长线上，且.
（1）如图①，当是边的中点时，求证：；
（2）如图②，当是线段边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；
（3）若点是线段的延长线上任一点，，，，求的长.
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，AD是边BC上的高线，过点D作DE∥AC交AB于点E.
（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）连结CE交AD于点H，若∠DCE＝45°，求EH的长.
三、阶段三（较难）
21．请阅读下列材料，并完成相应的任务.
三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图（1），任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点，交DA的延长线于点F.若，则射线BF是∠ABC的一条三等分线.
证明：如图（2），取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，∴，ADBC.在Rt△AEF中，点G是EF的中点，∴……
（1）任务一：上面证明过程中得出“”的依据是 ；
（2）任务二：完成材料证明中的剩余部分；
（3）任务三：如图（3），在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与∠CBE的平分线交于点F，若，，请直接写出BF的长.
22．
（1）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，，点E，F分别在上，若，求证：.
（2）【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形.已知，道路上分别有景点M，N，且m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少几m？（结果取整数，参考数据：）
23．如图
（1）发现：如图1，点是线段上的一点，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，，相交于点.
①线段与的数量关系为： ；的度数为 .
②可看作经过怎样的变换得到的？ .
（2）应用：如图2，若点，，不在一条直线上，中的结论①还成立吗？请说明理由；
（3）拓展：在四边形中，，，，若，，请直接写出，两点之间的距离.
24．请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若.探究线段三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2）当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3）已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数.
25．
（1）【探究发现】（1）如图1，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，则、、之间满足的数量关系是 .
（2）【类比应用】如图2，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由.
（3）【拓展延伸】在中，，，点为的中点，、分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长.
26．平行四边形中，，点E在边上，连接.
（1）如图1，交于点G，若平分，且，，请求出四边形的面积；
（2）如图2，点F在对角线上，且，连接，过点F作于H，连接，求证：.
（3）如图3，线段在线段上运动，点R在边上，连接.若平分，，，，.请直接写出线段的和的最小值以及此时的面积.
27．如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：；为等腰三角形；；；，其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
28．如图1、在△ABC中，E、D是BC边上的点，且AE是∠BAD的平分线，∠CAE+∠BEA=180°
（1）若∠CAD=25°，∠C=38°，求∠DAE的度数
（2）当BE=AC时，请猜想线段AB、AD之间的数量关系；并证明你的猜想.
（3）如图2，在（2）的条件下，过D作DF⊥AE，垂足为F，交AB于G，如果，请直接写出四边形AFDC的面积.
29．
（1）如图1，等腰的直角顶点在正方形的边上，斜边交于点Q，连接，求证：．请利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明．
（2）如图2，若等腰的直角顶点在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交的延长线于点Q，连接，猜想线段，，满足怎样的数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，中，，，P为内部一点，且，则 ．
30．如图，在正方形中，是上一点（不与端点，重合），连接过点作的垂线，分别交，于点，延长到点，使得，连接，．
（1）求证：≌；
（2）①若，则 ；
改变的度数，的度数是否会发生改变？若发生改变，请写出与之间的关系，若不改变，请说明理由；
（3）如图2，若，求与的长．
答案解析部分
1．【答案】4
2．【答案】B
3．【答案】解：如图，延长交于点．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，．
∴是的中点．
∵，，
∴．
∵为的中点，
∴为的中位线．
∴．
4．【答案】6
5．【答案】
6．【答案】证明：如图，连接EM、DM，
∵∠BEC=90°，
∴EM=BC，
同理DM=BC，
∴EM=DM，
∴△DME为等腰三角形，
∵F是DE的中点，
∴FM⊥DE.
7．【答案】（1）证明：∵ DB⊥AB，
， 在 和 中，
∵点F是斜边AD的中点，
（2）解：连接CE，由（1）得
∴
∴
即C，E两点间的距离是
8．【答案】C
9．【答案】75
10．【答案】B
11．【答案】A
12．【答案】B
13．【答案】3
14．【答案】（1）解：连接，如图1，
在中，，为边的中线，
，，，
又，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
所以
，
（2）证明：延长至点，使得，连接，，如图，
，，
垂直平分，
，
是中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
，
15．【答案】
16．【答案】（1）证明：在中，，
是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：作，交于G，交于点F，连接，则，
是等腰三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又
，
又
，
是等腰直角三角形，
，，
又，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
，
，
，
的长为.
17．【答案】（1）证明：在线段AD上截取DF＝MB，连接FM，如图所示：
在正方形ABCD中，AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，
∵DF＝BM，
∴AF＝AM，
∴△FAM是等腰直角三角形，
∴∠AFM＝45°，
∴∠MFD＝135°，
∵BN平分∠CBP，∠CBP＝90°，
∴∠CBN＝45°，
∴∠MBN＝135°，
∴∠DFM＝∠MBN，
∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD＝90°，
∵∠AMD+∠ADM＝90°，
∴∠NMB＝∠MDF，
在△MDF和△NMB中，
，
∴△MDF≌△NMB（ASA），
∴DM＝MN；
（2）证明：∵CEMN，DM⊥MN，
∴DM⊥CE，
∴∠DEC+∠EDM＝90°，
∵∠AMD+∠EDM＝90°，
∴∠DEC＝∠AMD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝AD，∠EDC＝∠MAD＝90°，
在△EDC和△MAD中，
，
∴△EDC≌△MAD（ASA），
∴EC＝DM，
∵DM＝MN，
∴EC＝MN，
∵ECMN，
∴四边形EMNC为平行四边形，
∴EMCN.
18．【答案】D
19．【答案】（1）证明：∵为等边三角形，点E为的中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：当点E为线段上任意一点时，（1）中的结论成立，理由如下：
如图②，过E作交AC于F，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图③，过E作交的延长线于F，
则为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴.
20．【答案】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴AE＝BE，
∴DE＝ AB＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）解：作EG∥BC，交AD于G，
∵AE＝BE，
∴AG＝DG，
∴EG＝ BD＝ CD，
∵EG∥BC，
∴ ＝ ，
∴GH＝ DH，EH＝ CH，
∵AD⊥BC，∠DCE＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴DH＝DC，
∴AD＝3DC，
∵AB＝AC＝2 ，AC2＝AD2+DC2，
∴40＝9DC2+DC2，
∴DC＝2，
∴DH＝DC＝2，
∴CH＝ ＝2 ，
∴EH＝ CH＝ ，
∴EH的长为 .
21．【答案】（1）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
（2）解：任务二：如图，取EF的中点G，连接AG，
∵四边形BCAD是矩形，
∴∠DAC＝90°，.
在Rt△AEF中，点G是EF的中点，
∴AG＝EG=FG=EF.
∵EF＝2AB，
∴AB＝AG.
∴∠ABG＝∠AGB.
∴∠ABG＝∠AGB＝∠F＋∠GAF＝2∠F.
∵，
∴∠F＝∠CBF，
∴∠ABG＝2∠CBF，
∴∠ABC＝3∠CBF，
∴射线BF是∠ABC的一条三等分线
（3）解：.
22．【答案】（1）证明：延长到点M，使，连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长交于点G，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴ 是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
∵（m）.
∴路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m.
23．【答案】（1）AE=CD；60°；可看作绕点b顺时针旋转60°得到的
（2）解：若点，，不在一条直线上，（1）中的结论①依然成立；理由如下：
、都为等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，，
，
；
（3）解：.
24．【答案】（1）解：，
（2）解：关系式仍然成立.
证明：将沿直线对折，得，连接
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴在中，，
即；
解法二：将绕点A顺时针旋转得到.连接.
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴；
（3）解：当时，线段能构成一个等腰三角形.
如图，与（2）类似，以为一边，作，在上截取，
可得.
∴.
∴.
若使为等腰三角形，只需，
即，
∴当时，线段能构成一个等腰三角形，且顶角为.
25．【答案】AB=AF+AE【类比应用】（2）如图2，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由.【答案】解：.理由是：取中点G，连接，如图2∵点G是斜边中点，∴，∵，，点D为的中点，∴，∴，即，又∵，∴，∵，，∴为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴；【拓展延伸】（3）在中，，，点为的中点，、分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长.【答案】解：的长为或
（1）AB=AF+AE
（2）解：.理由是：
取中点G，连接，如图2
∵点G是斜边中点，
∴，
∵，，点D为的中点，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：的长为或
26．【答案】（1）解：如图，过点G作于点K，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴
；
（2）证明：如图，过点A作于点A，交延长线于点J，
∵，，，
∴，，
∴点A，B，F，H四点共圆，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴
（3）解：；
27．【答案】D
28．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
在AB上截取，连接ME，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
29．【答案】（1）证明：如图1，将绕点顺时针旋转到，
，≌，
∴，
∴
∴点E，点C，点D三点共线，
∵，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（2）解：理由如下：
如图2，将绕点B顺时针旋转到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
即；
（3）15°
30．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：①45；
②改变的度数，的度数不会发生改变，理由如下： 设，则， 由①知：， ，， ， ；
（3）解：如图2，过点作于，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由知：≌，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
．
