模型综合练七 圆
基础过关
1.如图，在边长为1 的正方形网格中，⊙O 是△ABC的外接圆,点A,B,O 在格点上,则sin∠ACB 的值为 ( )
A.
2. 如图,AB 为⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,∠BOD=2∠BAC,若AC=5,CD=6,则⊙O的半径长为 ( )
A. B. C. 4 D. 5
3.如图，等边△ABC 内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC 的内心成中心对称.若等边△ABC 的边长为8，则圆中的黑色部分的面积是 .
4. 如图,AB是⊙O 的直径,BC是⊙O 的切线,AC与⊙O 交于点 D,若 则⊙O 的半径为 .
5. 如图,△ABC 内接于⊙O,弦AD交BC 于点 E,AB=AC,AE=2,ED=4,则AB 的长为 .
6.如图，在边长为 8 的正方形ABCD 中，对角线AC、BD 交于点 O,点 E 是边 CD 上方一点,且∠CED=90°.若 DE =2,则 EO 的长为 .
7. 如图,在△ABC中,∠ACB=45°,CD 为AB边上的高,若 CD=6,则△ABC 面积的最小值为 .
8.如图，在扇形 CAB中,CD⊥AB 于点 D,⊙E 是△ACD 的内切圆,连接AE,BE.
(1)∠AEB的度数为 ;
(2) 若 ∠EBA = 15°, AD = 1,则 的长为 .
9.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2 与坐标轴交于A，B两点，点C 为坐标平面内一点,BC=2,点 D 为线段AC 的中点,连接OD，当OD 的长度最小时，点C 的坐标为 .
10.如图，P 是正方形ABCD 内一点，且满足∠CBP+∠CDP=45°.若AB=6,则四边形ABPD 面积的最大值为 .
能力提升
11. 如图,⊙O为△ABC的外接圆,点 D 为⊙O上一点，且 连接AD,BD,CD,AD与∠ABC的平分线交于点I.
(1)求证:点I为△ABC的内心;
(2)求证:DI=DB;
(3)若∠BAC=60°,BC=2 连接CI，求∠BIC 的度数及DI的长.
12.如图，点C 是以AB 为直径的⊙O上一点，过点A 作⊙O 的切线交 BC的延长线于点 D，点E 为AD 的中点，连接EC并延长交AB 延长线于点 F.
(1)求证:EF 是⊙O 的切线;
(2)若CF=12,BF=8,求AD的值.
挑战压轴1
13.问题探究：
(1)如图①,点M为⊙O 外一点,点 C为⊙O上异于A,B的一点,则∠M ∠ACB(填“>”, “<”或“=”);
(2)如图②,在矩形ABCD 中,点 E 为 CD上一点，连接BE，请在矩形ABCD 内部用直尺与圆规作出一点 P，使点 P 满足∠BPC=∠BEC,且PB=PC;
问题解决：
(3)如图③，为某仓库库房的平面示意图，其中AD=12米,AB=8米,现需在墙面AD上安装一摄像头 P，使得∠BPC 最大，是否存在这样的点 P，若存在，确定点 P 的位置，并求出此时sin∠BPC 的值，若不存在，请说明理由.
1. C 2. B 3. π 4. 2
5. 2
7. 36 -36 8. (1)135°
(2) π ; 10. 18
11. (1)证明:
∴∠BAD=∠CAD,
∴AD为∠BAC的平分线.
∵AD 与∠ABC的平分线交于点I,
∴点I为△ABC的内心;
(2)证明:由(1)得∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI.
∵∠BID=∠BAI+∠IBA,
∠IBD=∠CBI+∠CBD,∠CBD=∠CAD,
∴∠BID=∠IBD,
∴DI=DB;
(3)解:∵ 点 I 是 △ABC 的内心,∠BAC=60°,
(“双角平分线”模型)；
如解图,过点 D 作DE⊥BC 于点 E,
∴ BD=CD.
∵DE⊥BC,
∵∠BAC=60°,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
∴∠DBC=∠BCD=30°,
∴由(2)得DI=BD=2.
12. (1)证明:如解图,连接OC,EO,
∵ DA 是⊙O 的切线,
∴∠DAB=90°.
∵E为AD的中点,O 为AB的中点,
∴ OE 为△ABD的中位线,
∴OE∥BD.
∴∠AOE=∠ABD,∠EOC=∠OCB.
∵OB=OC,
∴∠ABD=∠OCB,
∴∠AOE=∠COE.
在△AOE 和△COE中,
∴△AOE≌△COE(SAS).
∴ ∠A=∠OCE=90°.
∴OC⊥EF,
∵OC 为⊙O 的半径,
∴ EF是⊙O 的切线;
(2)解:∵ EF 是⊙O 的切线,
(切割线定理)，
∵CF=12,BF=8,
∴FA=18.
∴AB=FA-FB=10,
∵EA,EC 为⊙O 的切线,
∴EA=EC(“双切线”模型),
设EA=EC=x,
则EF=EC+FC=x+12,
在 Rt△AEF中,
解得:x=7.5,∴EA=7.5.
∵E 为AD的中点,∴AD=2EA=15.
13. 解:(1)<;
(2)作图如解图①所示：
【作法提示】作BC 的垂直平分线，交BE 于点O；以点O为圆心，OB长为半径作圆，交BC 的垂直平分线于点 P，则点 P 即为所求.
(3)存在.理由如下：
如解图②所示，作⊙O 使其经过B，C两点，且与AD 相切，在线段AD 上任取一点 P，连接 BP,CP,令 CP 与 ⊙O 交于点 G,连接BG.
∵∠BGC=∠BPC+∠PBG,
∴∠BPC≤∠BGC.
∴当P ,G 两点重合,即. 时,∠BPC 最大(最大张角),
此时点 P 为AD的中点.
∵AD=12米,AB=8米,
米，
在 Rt △ABP 中,由勾股定理得 米，
∴当△BP C 以 BP 为底边时,对应的高h
即当点 P 为AD 的中点时,∠BPC 最大,此时sin∠BPC 的值为
