7.2.3平行线的性质（第二课时）培优作业人教版2024—2025学年七年级下册
一.子弹头模型
（点P在EF右侧，在AB、 CD内部）
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
典型习题
1.如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．130° B．140°
C．150° D．160°
2．如图，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，则∠APC的度数为（ ）
A．140° B．130°
C．120° D．110°
3．如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360° B．300°
C．270° D．180°
4．已知AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ．
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3等于多少度？请说明理由．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ ．
5．（1）如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ ；
如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ ；
如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ ；
如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ ；
（2）如图5，MA1∥NAn，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An＝ ；
（3）利用上述结论解决问题：如图6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝100°，求∠BFD的度数．
6．[问题解决]如图1，AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，连接OE、OF，探求∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．
[拓展延伸]如图2，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请写出它们的关系．
[拓展应用]如图3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O．
若∠E1OEn＝m°直接写出∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）的度数．（用含m、n的代数式表示）
二.猪蹄模型
（点P在EF左侧，在AB、 CD内部）
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
典型习题
1.如图，直线a∥b，CD⊥AB于点D，若∠1＝130°，则∠2等于（ ）
A．60° B．50°
C．40° D．30°
2.如图，已知直线l1∥l2，将一块直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠1＝39°，则∠2等于（ ）
A．39° B．45°
C．50° D．51°
3.如图①，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，点P在线段AB上，设∠ACP＝∠1，∠BDP＝∠2，∠CPD＝∠3．
（1）试找出∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，点A在点B的北偏东40°的方向上，在点C的北偏西45°的方向上．应用（1）中的结论求∠BAC的度数；
（3）如果点P在直线l3上且在线段AB外侧运动（点P和A，B两点不重合），其他条件不变，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系．
4.如图1，AB∥CD，G为AB、CD之间任意一点．
（1）若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求证：∠GEF+∠GFE＝90°；
（2）如图2，若，，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点M，EP的延长线交∠CFP的角平分线于点N，猜想∠M+∠N的运算结果并且证明你的结论；
（3）如图3，若点H是射线EB之间一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．
5．（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：∠E＝∠ABE+∠CDE．
（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和∠EDP的平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，不用证明，直接写结论．
6．如图，MN∥OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD，设∠DAB＝α（α为锐角）．
（1）求∠NAD+∠PBD的值；
（2）当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，请求出此时α的值．
7．如图，AB∥CD∥EF，点O在CD上，AO平分∠BAC，EO平分∠CEF．
（1）若CD平分∠ACE，求证：∠BAO＝∠FEO；
（2）若AC⊥CE，求∠AOE的度数．
8．已知直线AB∥CD，点E和点F分别在直线AB和CD上．
（1）如图1，射线FG平分∠EFC交AB于点G，若∠BEF＝128°，求∠EGF的度数；
（2）如图2，射线FG平分∠EFD，点M是射线FC上一点（不包括端点F），点N为∠AEM的平分线上一点（不包括端点E），连结NE，FN，延长NE交射线FG于点H，猜想∠MEF与∠GHE的关系，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，若GA绕点G以每秒转动6°的速度逆时针旋转一周，同时EF绕点F以每秒转动2°的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当GA转动结束时EF也随即停止转动，在整个转动过程中，当GA和EF互相平行时，请直接写出此时t的值．
9．如图1，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB、CD上．
（1）在平行线AB、CD之间有一个动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
探究：∠AEP，∠EPF，∠CFP之间满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间的一个动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图2，当点P在EF的左侧时，请求出∠AEP，∠EPF，∠CFP之间的数量关系．
②如图3，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠EPF，∠CFP满足的数量关系为 ；
（2）如图4，点P在EF的右侧时，∠BEP，∠DFP的角平分线相交于点P1，猜想∠EP1F与∠EPF的数量关系，并说明理由；
（3）如图5，在（2）的条件下，若∠BEP1与∠DFP1的角平分线交于点P2，∠BEP2与∠DFP2的角平分线交于点P3，以此类推，试写出∠EP2024F与∠EPF满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
10．探索匙：
问题1：如图1，已知AB∥CD，点P夹在AB和CD之间，联结AP和CP，形如一个“V”字，那么∠BAP、∠APC和∠PCD之间有怎样的数量关系？请你说明理由．
问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，∠BAP＝x1，∠APQ＝y1，∠PQC＝x2，∠QCD＝x3，求x1+x2+x3﹣y1的值．
问题3：如果在AB和CD之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么x1+x2+x3+…+xn+2﹣（y1+y2+y3+…+yn）的值是 ．
11．已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点E（点E在直线MN的左侧）．
（1）如图1，请写出∠E，∠AME和∠CNE之间的等量关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BME与∠DNE的角平分线相交于点F，请直接写出∠E与∠F之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠AME和∠CNE的角平分线相交于点E1，∠BMF和∠DNF的角平分线相交于点F1，∠AME1和∠CNE1的角平分线相交于点E2，∠BMF1和∠DNF1的角平分线相交于点F2，…，以此类推，则∠En+2∠Fn＝ （用含n的代数式表示）．
12．如图1，已知直线a∥b，且直线c、d与直线a、b分别交于A、B、C、D四点．
（1）如果点P在线段CD上运动时，问∠1、∠2、∠3之间有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）在（1）的基础上，如图2，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA交于点C1；AC2，BC2分别平分∠EAC1，∠FBC1交于点C2；AC3，BC3分别平分∠EAC2，∠FBC2交于点C3；……依此规律，得点 n，则∠C1＝ 度，∠ n＝ 度．
（3）如图3．AB∥EF，∠C＝90°，我们可以类似（1）来求出∠α，∠β，∠γ之间的关系，请直接写出∠α，∠β，∠γ间的关系．
13．[问题解决]如图1，AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，连接OE、OF，探求∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．
[拓展延伸]如图2，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请写出它们的关系．
[拓展应用]如图3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O．
若∠E1OEn＝m°直接写出∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）的度数．（用含m、n的代数式表示）
14．如图，直线MA∥NB．
（1）如图1，你能得到∠APB＝∠A+∠B这个结论正确吗？并说明你的理由；
（2）如图2，请直接写出∠A，∠B，∠P1，∠P2，∠P3之间的关系 ．
（3）如图3，请直接写出∠A，∠B，∠P1……∠P2n+1之间的关系 ．
15．已知：AB∥CD．
（1）如图①，试探究∠B，∠BED，∠D之间的数量关系，并说明理由；
（2）利用上述结论，回答问题．
①如图②，试探究∠E，∠G，∠B，∠F，∠D之间的数量关系，并说明理由；
②如图③，请直接写出∠B，∠D，∠E1，∠E2，…，∠En，∠F1，∠F2，…，∠Fn+1，之间的数量关系．
16．已知，如图，点P在AB、CD两线之间，且在BC所在直线的左侧．
（1）如图1，当AB∥CD，∠BPC＝α时，
①若BO平分∠ABP，CO平分∠DCP，则∠BOC＝ ；
②若∠ABO＝∠ABP，∠DCO＝∠DCP，则∠BOC＝ ；
③若∠ABO＝∠ABP，∠DCO＝∠DCP，则∠BOC＝ ；
（2）如图2，当AB与CD相交，点A、点D重合时，猜想∠BPC、∠B、∠C与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题：
①若BO平分∠ABP，CO平分∠ACP，当∠BPC＝120°，∠BOC＝95°时，求∠A的度数；
②若∠ABO＝∠ABP，∠ACO＝∠ACP，当∠BPC＝α，∠BOC＝β时，求∠A的度数．
17．（1）同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．如图1，AB∥CD，点E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED，你知道∠BED与∠B、∠D有什么关系吗？为什么？
（2）请你利用“猪蹄模型”得到的解题方法，完成下面的两个问题．如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，求∠B+∠C+∠F的度数．
（3）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，则∠H＝ ．
18.（1）如图①，若AB∥CD，易证∠B+∠D＝∠E．不必证明．
（2）反之，在图①中，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请说明理由．
（3）若将点E移至图②的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请说明理由．
（4）在图③中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？（直接写出结论即可）
（5）如图④，AB∥EF，直接写出∠B+∠C+∠D+∠E＝ ．
