2025年九年级数学中考三轮冲刺训练解直角三角形
一、选择题
1．第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（ ）
A． B． C． D．
2．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（ ）
A． B． C． D．
3．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为（ ）
A．msinα B．mcosα C．mtanα D．
5．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ，则梯子顶端上升了（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
6．如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
7．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（ ）
A．1 B．sin2α+1 C．1 D．cos2α+1
二、解答题
8．中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据1.73）
（1）求PQ的长；
（2）该充电站有20个停车位，求PN的长．
9．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）
（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）
10．如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CBE＝30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得∠CDE＝45°．
（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）
（2）若从D点继续沿DE的方向走（1212）米到达P点．求tan∠CPE的值．
11．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A，B之间的距离．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
12．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）
13．知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25）
如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上．
（1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；
（2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算∠ABO等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？
14．已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：．
（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB，求景观桥CD的长度．
15．如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，1.4，1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？
16．如图1，通海桥是西宁市海湖新区地标建筑，也是我省首座大规模斜拉式大桥，通海桥主塔两侧斜拉链条在夜间亮灯后犹如天鹅之翼，优雅非凡．某数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图2所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠A＝30°，∠B＝45°，斜拉主跨度AB＝260米．
（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（取1.7）；
（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价800元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A C C C D A
1．【解答】解：根据题意，设EF＝x，则AH＝3x，
∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形，
∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x，
∴AE＝4x，
∵∠AEB＝90°，
∴，
∴，
故选：C．
2．【解答】解：过点D作ND⊥GE交GE的延长线于点N，
由题意知，两个正方形之间是4个相等的三角形，
设△ABG的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为x，小正方形的边长为x，
即ED＝BG＝HC＝AF＝b，AG＝BH＝CE＝DF＝a，EGb，
由题意得：，解得：，
在△GDE中，EGGHb，则NE＝NDEDbx，EGGH（a﹣b）x，
则tan∠DGE，
则sin∠DGE，
故选：A．
3．【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，
∵tanα，tanβ，tanα＝tan2β，
∴，
∴（b﹣a）2＝ab，
∴a2+b2＝3ab，
∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，
∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，
∴n＝3．
故选：C．
4．【解答】解：由题意得：
PT⊥PQ，
∴∠APQ＝90°，
在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，
∴PT＝PQ tanα＝mtanα（米），
∴河宽PT的长度是mtanα米，
故选：C．
5．【解答】解：如图所示，
在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB6（米）；
在Rt△DEC中，DC＝cosβ×DE6（米），EC8（米）；
∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．
故选：C．
6．【解答】解：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，
∴小正方形的边长为 1，大正方形的边长为5，
设直角三角形中较短的直角边为a，则较长的直角边是a+1，其中a＞0，
由勾股定理得：a2+（a+1）2＝52，
整理得：a2+a﹣12＝0
解得：a1＝3，a2＝﹣4（不合题意，舍去）．
∴a+1＝4，
∴．
故选：D．
7．【解答】解：∵AB＝BC＝1，
在Rt△OAB中，sinα，
∴OB，
在Rt△OBC中，
OB2+BC2＝OC2，
∴OC2＝（）2+12．
故选：A．
二、解答题
8．【解答】解：（1）∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q＝∠P＝90°，
在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m，
∴AQ＝AB sin，∠QAB＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝30°，
∴，
∴，
∵∠PAD＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴，
∴；
（2）在Rt△BCE中，，
在Rt△ABQ中，BQ＝AB cos∠ABQ＝2.7m，
∵该充电站有20个停车位，
∴QM＝QB+20BE＝66.7m，
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN＝QM＝66.7m．
9．【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m，
∴AB（m），
即AB的长约为600m；
（2）延长BC交DF于G，
∵BC∥AE，
∴∠CBE＝90°，
∵DF⊥AF，
∴∠AFD＝90°，
∴四边形BEFG为矩形，
∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，
∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°，
∴CG＝CD cos∠DCG＝600×cos45°＝600（m），
∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+501049（m），
即AF的长为1049m．
10．【解答】解：如图，过点C作CH⊥EF于点H，
在Rt△CHB中，
∵tan∠CBH，
∴HBCH，
在Rt△CHD中，∠CDH＝45°，
∴CH＝DH，
又∵BH﹣DH＝BD＝40，
∴CH﹣CH＝40，
解得CH＝2020，
即河两岸之间的距离是（2020）米；
（2）在Rt△CHP中，HP＝HD＝PD＝2020﹣（1212）＝88，
∴tan∠CPE
．
11．【解答】解：（1）如图，过点C作CF⊥DE于点F，
∵CD＝CE＝5cm，∠DCE＝40°．
∴∠DCF＝20°，
∴DF＝CD sin20°≈5×0.34≈1.7（cm），
∴DE＝2DF≈3.4cm，
∴线段DE的长约为3.4cm；
（2）∵横截面是一个轴对称图形，
∴延长CF交AD、BE延长线于点G，
连接AB，
∴DE∥AB，
∴∠A＝∠GDE，
∵AD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠GDF+∠FDC＝90°，
∵∠DCF+∠FDC＝90°，
∴∠GDF＝∠DCF＝20°，
∴∠A＝20°，
∴DG1.8（cm），
∴AG＝AD+DG＝10+1.8＝11.8（cm），
∴AB＝2AG cos20°≈2×11.8×0.94≈22.2（cm）．
∴点A，B之间的距离22.2cm．
12．【解答】解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，
设CE＝x米，
∵CD＝60米，
∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝CE tan45°＝x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴tan30°，
∴x＝3030，
经检验：x＝3030是原方程的根，
∴AE＝（3030）米，
∴河的宽度为（3030）米；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，
则CE＝AE＝BF＝（3030）米，AB＝EF，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，
在Rt△BCF中，CF（30+10）米，
∴AB＝EF＝CE﹣CF＝3030﹣（30+10）＝20（米），
∴古树A、B之间的距离为20米．
13．【解答】解：（1）53°≤α≤72°，当α＝72°时，AO取最大值，
在Rt△AOB中，sin∠ABO，
∴AO＝AB sin∠ABO＝4×sin72°＝4×0.95＝3.8（米），
∴梯子顶端A与地面的距离的最大值为3.8米；
（2）在Rt△AOB中，cos∠ABO1.64÷4＝0.41，
∵cos66°≈0.41，
∴∠ABO＝66°，
∵53°≤α≤72°，
∴人能安全使用这架梯子．
14．【解答】解：（1）∵∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵，
∴，
∴b＝2；
（2）∵，
∴，
∴sinB，
∴∠B＝60°，
∴tanB，
∴BDCD，
∵AC2＝CD2+AD2，
∴196＝CD2+（10CD）2，
∴CD＝8，CD＝﹣3（舍去），
∴CD的长度为8米．
15．【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°，BC＝100千米，
∴CD＝BC sin30°＝10050（千米），
BD＝BC cos30°＝10050（千米），
在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），
AC50（千米），
∴AB＝（50+50）（千米），
∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC﹣AB＝50100﹣（50+50）＝50+505035（千米）．
答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；
（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，
50，
解得x0.54，
经检验x＝0.54是原分式方程的解．
答：施工队原计划每天大约修建0.54千米．
16．【解答】解：（1）∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
设CD＝x，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝30°，
∴，即，
∴，
在Rt△BDC中，∠B＝45°，
∴CD＝BD＝x，
∵AB＝AD+BD．
∴，
∴，
∴，
∴CD＝91（米）．
（2）在Rt△ADC中∠ADC＝90°，∠A＝30°，
∴AC＝2CD（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴AC＝182米，
∵LED节能灯带每米造价为800元，
∴800×182＝145600（元），
答：斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元．
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