第十六章 二次根式(45分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.若式子有意义,则m的取值范围是(C)
A.m≤ B.m≥-
C.m≥ D.m≤-
2.(2024·安徽中考)下列计算正确的是(C)
A.a3+a3=a6 B.a6÷a3=a2
C.(-a)2=a2 D.=a
3.下列运算正确的是(B)
A.=-2 B.|-2|=2-
C.-= D.=3
4.a是任意实数,下列各式中:①;②;③;④;
⑤,一定是二次根式的个数是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.下列二次根式是最简二次根式的是(C)
A. B. C. D.
6.与2+最接近的整数是(C)
A.4 B.5 C.6 D.7
7.(2024·乐山中考)已知1
8.若x<1,则化简+|4-x|的正确结果是(D)
A.2 B.-2 C.6 D.6-2x
9.估计×(-)的值应在(A)
A.4和5之间 B.5和6之间
C.6和7之间 D.7和8之间
10.(2024·德阳中考)将一组数,2,,2,,2,…,,…,按以下方式进行排列,则第八行左起第1个数是(C)
A.7 B.8 C. D.4
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.比较大小: > .
12.若最简二次根式与是可以合并的二次根式,则a= 1 .
13.的小数部分为a,的整数部分为b,则a(a+6)-3b= -2 .
14.对于任意两个不相等的实数a,b,定义一种新运算“”如下:ab=,如:32==.那么124= .
15.如图,从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形,则图中阴影部分的面积为 24 .
16.若m是正整数,m除以13的余数为2,则称m是“阿二数”.例如:15是正整数,15÷13=1……2,则15是“阿二数”;52是正整数,且52÷13=4,则52不是“阿二数”,对于任意四位正整数p,p的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d.有一个四位正整数p是“阿二数”,p的千位数字比百位数字少1,十位数字与个位数字的和为9,且F(p)=为有理数,则满足条件的p的值为 8 972 .
三、解答题(共52分)
17.(8分)计算:(1)÷-2×+;
(2)-22+×+-(π-3)0.
【解析】(1)原式=-2+2=-2+2=3.
(2)原式=-4+6+2-1=3.
18.(8分)计算:(1)(+)(-)+60;
(2)-(+2)(-2).
【解析】(1) 原式=-+-+60×=-6++6=;
(2)原式=2+2+3-(5-4)=2+2+3-1=4+2.
19.(8分)已知x=+2,y=-2,求下列各式的值:
(1)x2-2xy+y2;
(2)x2-y2.
【解析】(1)原式=(x-y)2=(+2-+2)2=16;
(2)原式=(x+y)(x-y)=(+2+-2)(+2-+2)=8.
20.(8分)“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下.
甲:a2-2ab-4+b2 =(a2-2ab+b2)-4(分成两组) =(a-b)2-22(直接运用公式) =(a-b+2)(a-b-2). 乙:a2-ab-a+b =(a2-ab)-(a-b)(分成两组) =a(a-b)-(a-b)(提公因式) =(a-b)(a-1).
请在他们解法的启发下解答下列各题.
(1)已知a,b,c是△ABC的三条边长,且满足ab-ac+b2-bc=0,请判断△ABC的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵ab-ac+b2-bc=a(b-c)+b(b-c)=(b-c)(a+b),
由于a,b,c是△ABC的三条边长,且满足ab-ac+b2-bc=0,
∴(b-c)(a+b)=0,∴b=c,∴△ABC是等腰三角形.
(2)已知a+b=10+,a-b=-2,求多项式a2-b2-8a+12b-20的值.
【解析】(2)a2-b2-8a+12b-20=a2-8a+16-(b2-12b+36)=(a-4)2-(b-6)2
=(a-4+b-6)(a-4-b+6)=(a+b-10)(a-b+2).
∵a+b=10+,a-b=-2,
∴原式=(10+-10)(-2+2)=×=2.
21.(10分)若a,b为实数,且b=++15,试求-的值.
【解析】由二次根式的性质得,
∴3-5a=0,∴a=,∴b=15,∴a+b>0,a-b<0,ab>0.
从而-=-=-=(-)=.
当a=,b=15时,原式==.
22.(10分)【阅读材料】小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探索:若设a+b=(m+n)2=m2+2n2+2mn(其中a,b,m,n均为整数),则有a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
【问题解决】
(1)若a+b=(m+n)2,当a,b,m,n均为整数时,则a= ,
b= .(均用含m,n的式子表示)
(2)若x+4=(m+n)2,且x,m,n均为正整数,分别求出x,m,n的值.
【拓展延伸】
(3)化简= .
【解析】(1)(m+n)2=m2+2mn+5n2,
∵a+b=(m+n)2,且a,b,m,n均为整数,
∴a=m2+5n2,b=2mn;
答案:m2+5n2 2mn
(2)(m+n)2=m2+2mn+3n2,
∵x+4=(m+n)2,
∴,
又∵x,m,n均为正整数,
∴或,
即m=1,n=2,x=13或m=2,n=1,x=7;
(3)原式===+.
答案:+第十六章 二次根式(45分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.若式子有意义,则m的取值范围是( )
A.m≤ B.m≥-
C.m≥ D.m≤-
2.(2024·安徽中考)下列计算正确的是( )
A.a3+a3=a6 B.a6÷a3=a2
C.(-a)2=a2 D.=a
3.下列运算正确的是( )
A.=-2 B.|-2|=2-
C.-= D.=3
4.a是任意实数,下列各式中:①;②;③;④;
⑤,一定是二次根式的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
6.与2+最接近的整数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
7.(2024·乐山中考)已知1
8.若x<1,则化简+|4-x|的正确结果是( )
A.2 B.-2 C.6 D.6-2x
9.估计×(-)的值应在( )
A.4和5之间 B.5和6之间
C.6和7之间 D.7和8之间
10.(2024·德阳中考)将一组数,2,,2,,2,…,,…,按以下方式进行排列,则第八行左起第1个数是( )
A.7 B.8 C. D.4
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.比较大小: .
12.若最简二次根式与是可以合并的二次根式,则a= .
13.的小数部分为a,的整数部分为b,则a(a+6)-3b= .
14.对于任意两个不相等的实数a,b,定义一种新运算“”如下:ab=,如:32==.那么124= .
15.如图,从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形,则图中阴影部分的面积为 .
16.若m是正整数,m除以13的余数为2,则称m是“阿二数”.例如:15是正整数,15÷13=1……2,则15是“阿二数”;52是正整数,且52÷13=4,则52不是“阿二数”,对于任意四位正整数p,p的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d.有一个四位正整数p是“阿二数”,p的千位数字比百位数字少1,十位数字与个位数字的和为9,且F(p)=为有理数,则满足条件的p的值为 .
三、解答题(共52分)
17.(8分)计算:(1)÷-2×+;
(2)-22+×+-(π-3)0.
18.(8分)计算:(1)(+)(-)+60;
(2)-(+2)(-2).
19.(8分)已知x=+2,y=-2,求下列各式的值:
(1)x2-2xy+y2;
(2)x2-y2.
20.(8分)“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下.
甲:a2-2ab-4+b2 =(a2-2ab+b2)-4(分成两组) =(a-b)2-22(直接运用公式) =(a-b+2)(a-b-2). 乙:a2-ab-a+b =(a2-ab)-(a-b)(分成两组) =a(a-b)-(a-b)(提公因式) =(a-b)(a-1).
请在他们解法的启发下解答下列各题.
(1)已知a,b,c是△ABC的三条边长,且满足ab-ac+b2-bc=0,请判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)已知a+b=10+,a-b=-2,求多项式a2-b2-8a+12b-20的值.
21.(10分)若a,b为实数,且b=++15,试求-的值.
22.(10分)【阅读材料】小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探索:若设a+b=(m+n)2=m2+2n2+2mn(其中a,b,m,n均为整数),则有a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
【问题解决】
(1)若a+b=(m+n)2,当a,b,m,n均为整数时,则a= ,
b= .(均用含m,n的式子表示)
(2)若x+4=(m+n)2,且x,m,n均为正整数,分别求出x,m,n的值.
【拓展延伸】
(3)化简= .
