2.3平行线的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图， ，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC中，点D是BC延长线上一点，且∠CAD=90°﹣∠BAC，过点C作CE∥AD交AB于点E，且∠ACE=3∠BCE，AC=3，BE=2，则CD的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．（教材变式）如图所示的是一段自来水管道的示意图，经过多次拐弯后，管道仍保持平行（， ）．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知，过边上一点作直线，经测量，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，，则，与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，AC是⊙O的直径，弦AB//CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于（ ）
A．64° B．48° C．32° D．76°
8．如图，若为的平分线，则与相等的角有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：
①和都是等腰三角形；②；
③的周长等于与的和；④．
其中正确的有（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
10．如图，直线过点A，且，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．在物理实验中，一位同学研究一个小木块在斜坡上滑下时的运动状态．如图，在中，，，小木块（斜坡上，且，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，于点，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，，，，则的值为 .
14．如图，在中，是两条直径，弦，若所对圆心角的度数是，则 ．
15．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则 ．
16．如图，直线，将一把含角的直角三角尺按图中方式放置，其中，两点分别落在直线，上．若，则的度数为 ．
17．一把直尺和一把含角的直角三角板按如图所示的方式叠放在一起．若，则的度数为 ．
三、解答题
18．已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的周长．
19．如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数．
20．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
21．如图，分别是上的点，．试说明：．
22．如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E．
(1)过点E作交于点F，求证：．
(2)若，求的度数．
23．如图，D为三角形的边上一点，交于点E，的延长线交的平行线于点F，试说明：．
24．如图，点B，D在上，点C，E在上，，图中有几对相似三角形？你是怎样判断的？
《2.3平行线的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B D B A D C C
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】可求，再由，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
2．C
【分析】利用平行线的性质求得，利用对顶角性质求，再利用三角形外角定理即可解决问题．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质、对顶角性质和三角形的外角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质找到角与角之间的关系．
3．A
【分析】运用等腰三角形的性质，平行线的性质，得到∠B=2∠BCE；作AF⊥CE，垂足为F，延长AF交BC于点M，作EG∥AF，交BC于点G，由垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，以及平行线的性质，求出BC的长度，即可得到答案．
【详解】解：∵∠CAD=90°﹣∠BAC，
∴，
∵，
∴，
∵CE∥AD，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵∠ACE=3∠BCE，
∴∠AEC=3∠BCE=∠B+∠BCE，
∴∠B=2∠BCE；
作AF⊥CE，垂足为F，延长AF交BC于点M，作EG∥AF，交BC于点G，如图：
∵△ACE是等腰三角形，
∴AF是CE的垂直平分线，
∴CM=EM，
∴∠MCE=∠MEC，
∴∠BME=2∠MCE=∠B，
∴BE=ME=MC=2，
∵EG∥AF，
∴∠GEC=90°，
∴MG=ME=MC=2，
∵，即，
∴，
∴，
∵，即，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
4．B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求解即可，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了旋转角以及平行线的判定定理的运用，掌握平行线的判定方法是关键．如图，根据要使，运用同位角相等，两直线平行，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数．
【详解】要使，由同位角相等，两直线平行可知
即直线绕点按逆时针方向至少旋转
故选择：D
6．B
【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案．
【详解】过点E作，过点F作，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
7．A
【分析】由AB//CD，∠BAC＝32°，根据平行线的性质，即可求得∠ACD的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOD的度数．
【详解】解：∵弦AB//CD，∠BAC=32°，
∴∠ACD＝∠BAD＝32°，
∴ ∠AOD=2∠ACD＝2×32°＝64°.
故选：A
【点睛】此题考查了圆周角定理与平行线的性质．解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．D
【分析】根据角平分线定义可得∠BAC=∠DAC，利用平行线性质与对顶角性质可得∠DCA=∠FOA=∠BAC=∠COE，∠BCA=∠DAC，即可得出结论．
【详解】解：∵为的平分线，
∴∠BAC=∠DAC，
∵，
∴∠DCA=∠FOA=∠BAC=∠COE，∠BCA=∠DAC，
∴∠AOF=∠DCA=∠BAC=∠COE=∠BCA=∠DAC．
故选项D．
【点睛】本题考查角平分线定义，平行线性质，对顶角性质，掌握角平分线定义，平行线性质，对顶角性质是解题关键．
9．C
【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得，，从而得到，都是等腰三角形；②同①有，，所以；③由②得：的周长；④因为不一定等于，所以不一定等于，所以与不一定相等．
【详解】解：∵，
∴，，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∵，，
∴，都是等腰三角形．故①正确；
∴，，即有，故②正确；
∴的周长=，故③正确；
∵不一定等于，
∴不一定等于，
∴与不一定相等，故④错误；
①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．
10．C
【分析】根据两直线平行，内错角相等或两直线平行，同旁内角互补，逐个排除选项即可得出结果．
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【详解】解：∵，
∴，（两直线平行，内错角相等），
,（两直线平行，同旁内角互补），
∴．
故A，B，D正确，C错误．
故选：C．
11．C
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，由三角形的内角和可得 再由平行线的性质即可求的度数，解答的关键是明确三角形的内角和为熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
【详解】解：∵，，
，
故选：．
12．C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，利用垂直的定义得出，再利用平行线的性质得出的度数．
【详解】解：∵于点C，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
13．
【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
过点作，过点作，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，然后根据即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作，过点作，
，
，
，，，
，
故答案为：．
14．/110度
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，平行线的性质，等边对等角，连接，则，根据等边对等角和平行线的性质推出，则由平角的定义可得．
【详解】解：如图所示，连接，
∵所对圆心角的度数是
∴，
∵，
∵，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．/82度
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和定理等．过F作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，利用四边形内角和为360度，可得，再结合即可求出的度数．
【详解】解：如图，过F作，
∵，
∴，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，
∴可设，，
∴，，
∴四边形中，
，
即，①
又∵，
∴，②
∴，
解得，
故答案为：．
16．/45度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角的定义，由已知可得，，利用，可得，可得，用，结论可求．
【详解】解：如图，由题意可得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
17．/62度
【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，由题意可知，，，可求出，再根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图：
由题意可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等．
（1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得；
（2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
，
平分，
，
，
，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
，
平分，
，
，
，
∵，，
∴的周长为：
．
19．
【分析】根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，根据平行线的性质求出是解题的关键．
20．（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解．
【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝×60°＝30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．
21．见解析
【分析】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，综合运用定理是解答此题的关键．证明得，等量代换得，证明可证结论成立．
【详解】解：因为，
所以，
所以．
又因为，
所以，
所以，
所以．
22．(1)证明见解答
(2)的度数是
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．
（1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证；
（2）易得，根据三角形的内角和定理，即可解答．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，D是边上的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴的度数是．
23．见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据平行线的性质得出，然后根据平行线的传递性得出，再根据平行线的性质得出，然后根据角的和差即可得证．
【详解】解：因为，
所以．
因为，，
所以，
所以．
因为，
所以．
24．3对，判断见解析．
【分析】根据平行线的性质，得，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可得结论．
【详解】解：∵，
∴，，
∵是公共角，
∴，，．
【点睛】本题考查了平行线的性质和相似三角形的判定，解题关键是掌握平行线的性质和相似三角形的判定方法．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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