第4章三角形单元测试A卷北师大版2024—2025学年七年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，5，11 C．8，7，15 D．13，12，20
2．在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条角平分线都在三角形内部
B．三角形的重心是三角形三条中线的交点
C．三角形的三条高都在三角形内部
D．三角形的中线、角平分线、高都是线段
4．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．如图，把△ABC的一角折叠，若∠A＝65°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．65° B．130° C．115° D．160°
6．如图，若OB＝OC，添加下列一个条件后，仍无法判定△BOD≌△COE的是（ ）
A．∠B＝∠C B．OD＝OE C．BD＝CE D．∠AEB＝∠ADC
7．用尺规作一个角等于已知角：如图，已知∠AOB，求作∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．可以通过以下步骤作图：
①作射线EG；
②以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D；
③以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P，交OB于点Q；
④过点F作射线EF，∠DEF即为所求作的角；
⑤以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F．
则下列排序正确的是（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④
8．小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，若∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，∠1＝50°，则∠2的度数是 ．
10．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y＝ ．
11．△ABC中，若∠B＝∠A+15°，∠C＝2∠B﹣5°，则∠A的度数是 ．
12．如图在△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AC＝8，则BG的长为 ．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知：如图，BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，∠B＝40°．
（1）求证：△BEC≌△DEA；
（2）求∠BAF的度数．
14．如图，校园内有一块四边形草坪ABCD，课外活动小组通过实地测量，得到如下数据：AB＝CD＝2m，BC＝DA＝3m，∠B＝30°．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）求这块草坪的面积．
15．如图，在Rt△ABD和Rt△ACE中，AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝90°，连接CD，BE交于点F，连接AF．
（1）求∠BFD的度数；
（2）求证：FA平分∠DFE．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC上一点，BD＝CE，点E在边AC上．
（1）若∠ADE＝∠B，求证：AB＝CD；
（2）若AB＝CD，∠BAC＝70°，求∠ADE的度数；
（3）若AB＝CD，∠ADE＝∠C，求证：∠DAE＝∠AED．
17．如图，△ABC的两条高线AD，CE相交于点F，点G是AC的中点，连接DG交CE于点H，DB＝DF＝DH．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）求∠ACE的度数；
（3）若AE＝3，求CF的长．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：FC＝AD；
（2）求证：AB＝BC+AD；
（3）若四边形ABCD的面积为32，AB＝8，求点E到BC边的距离．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C D B C B C
1．【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、5+5＜11，不能组成三角形，故本选项不符合题意．
C、8+7＝15，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、13+12＞20，能组成三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．【解答】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有C符合条件，
故选：C．
3．【解答】解：A、三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确，故A不符合题意；
B、三角形的重心是三角形三条中线的交点，正确，故B不符合题意；
C、锐角三角形的三条高都在三角形内部，故C符合题意；
D、三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确，故D不符合题意．
故选：C．
4．【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
＝180°﹣2（∠DBC+∠BCD）
∵∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD），
∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BDC）
∴∠BDC＝90°∠A，
∴∠A＝2（130°﹣90°）＝80°，
故选：D．
5．【解答】解：∵△ADE沿DE折叠得到△FDE，
∴∠A＝∠F＝65°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝115°，∠FDE+∠FED＝180°﹣∠F＝115°，
∴∠1+∠2＝180°×2﹣（∠ADE+∠AED）﹣（∠FDE+∠FED）＝130°，
故选：B．
6．【解答】解：A、添加∠B＝∠C，根据ASA可以判定△BOD≌△COE，不符合题意；
B、添加OD＝OE，根据SAS可以判定△BOD≌△COE，不符合题意；
C、添加BD＝EC，无法判定△BOD≌△COE，符合题意；
D、添加∠AEB＝∠ADC，∠CEO＝∠BDO，则根据AAS可以判定△BOD≌△COE，不符合题意；
故选：C．
7．【解答】解：根据作一个角等于已知角的方法可知，正确的排序为①③②⑤④．
故选：B．
8．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
二、填空题
9．【解答】解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝50°，
∴∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1＝40°，
故答案为：40°．
10．【解答】解：∵两个三角形全等，
∴x＝4，y＝5，
∴x+y＝4+5＝9．
故答案为：9．
11．【解答】解：∵∠B＝∠A+15°，∠C＝2∠B﹣5°，
∴∠C＝2∠A+25°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+15°+2∠A+25°＝180°，
∴∠A＝35°．
故答案为：35°．
12．【解答】解：延长BG交AC于D，延长CG交AB于E，在GD的延长线上取一点F，使DF＝GD，如图所示：
∵G是△ABC的重心，
∴点D，E分别是AC，AB的中点，
∴AD＝CD，
∵∠AG⊥GC，AC＝8，
∴GD为Rt△AGC斜边AC上的中点，
∴GDAC＝4，
∴GF＝2GD＝8，
在△ADF和△CDG中，
，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴∠DAF＝∠DCG，
∴AF∥CG，
即AF∥GE，
∵点E是AB的中点，
∵GE是△ABF的中位线，
∴BG＝GF＝8．
故答案为：8．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEA＝90°，
在Rt△BEC和Rt△DEA中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△DEA（HL）．
（2）解：由（1）∠DEA＝90°，得Rt△BEC≌Rt△DEA，
∴∠B＝∠D＝40°，
∴∠BAF＝∠DAE＝90°﹣∠D＝50°，
∴∠BAF的度数是50°．
14．【解答】（1）证明：在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
（2）解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝2米，∠B＝30°，
∴AE＝1米，
∴S△ABC3×1（平方米），
则S△CDA（平方米），
∴草坪的面积为：23（平方米）．
15．【解答】（1）解：设DC交AB于点I，
∵∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠DAC＝∠BAE＝90°+∠BAC，
在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠BFD＝∠BID﹣∠ABE＝∠BID﹣∠ADC＝∠DAB＝90°，
∴∠BFD的度数是90°．
（2）证明：作AH⊥DC于点H，AJ⊥BE于点J，
由（1）得△ADC≌△ABE，
∴S△ADC＝S△ABE，DC＝BE，
∵S△ADCDC AHBE AH，S△ABEBE AJ，
∴BE AHBE AJ，
∴AH＝AJ，
∴点A在∠DFE的平分线上，
∴FA平分∠DFE．
16．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝∠CDE，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴AB＝CD．
（2）解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，且∠B＝∠C，∠BAC＝70°，
∴2∠B+70°＝180°，
∴∠B＝55°，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CDE，
∴∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝∠B＝55°，
∴∠ADE的度数是55°．
（3）证明：∵AB＝AC，AB＝CD，
∴AC＝CD，
∴∠DAE＝∠ADC，
∵∠ADE＝∠C，
∴∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠C＝∠ADC，
∴∠DAE＝∠AED．
17．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠CDF＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵CE是△ABC的高线，
∴∠B+∠FCD＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和△CFD中
∴△ABD≌△CFD（AAS）．
（2）解：由（1）可知△ABD≌△CFD．
∴AD＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝45°，
∵G为AC中点，
∴∠DGC＝90°．
∵DF＝DH，
∴∠DFC＝∠DHF＝∠GHC，
∵∠DFC+∠DCF＝90°，∠GHC+∠ACE＝90°，
∴；
（3）解：∵CE是△ABC的高线，
∴∠AEC＝∠BEC＝90°．
在△AEC和△BEC中，
，
∴△AEC≌△BEC （ASA），
∴AE＝BE＝3，
由（1）可知△ABD≌△CFD，
∴CF＝AB＝2AE＝2×3＝6．
18．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，
又∵点E为CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD；
（2）证明：∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，AD＝FC，
又∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC+FC＝BC+AD，
∴AB＝BC+CF；
（3）解：∵△ADE≌△FCE，
∴S△ADE＝S△FCE，
∵BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝8，S△ABE＝S△BEF，
∴S四边形ABCD＝S△ADE+S△ABE+S△BCE＝S△ABE+S△BEF＝2S△BEF＝32，
即S△BEF＝16，
设点E到BC边的距离为h，
则S△BEFBF h＝4h＝16，
解得h＝4，即点E到BC边的距离为4．
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