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2024-2025学年九年级下册期中考试（浙教版）
数学
考试范围：第1章-第二章 考试时间：100分钟 分值;120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 某种零件的尺寸标准是200±5(单位： mm)，则以下列数据为尺寸的零件不合格的是( )
A．195 mm B．198 mm C．204 mm D．210 mm
2．举世瞩目的杭州第19届亚运会圆满落幕，场馆中的颁奖台如图所示，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosB＝
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，的顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，，则的度数是（ ）
A．18° B．20° C．28° D．30°
6．如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝，则点C的坐标为（ ）
A．（，1） B．（1，1） C．（1，） D．（+1，1）
7．方程的解是
A．x1=2，x2= 3 B．x1=2，x2=1 C．x=2 D．x=3
8．美术课上，小梅同学利用如图所示直径为1dm的圆形材料裁剪出一个扇形图案，已知扇形的圆心角，则扇形图案的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．则上述结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．因式分解： .
12．盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ．
13．如图，已知AB是半圆的直径，弦，则CD与AB之间的距离是 .
14．“x的2倍减去y的差是非正数”用不等式表示为
15．如图，在一张直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=，P是边AB上的一动点，将△ACP沿着CP折叠至△A1CP，CA1交AB于点D．当△A1PD为直角三角形时，则AP的长度为 ．
16．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）计算：．
（2）先化简再求值：，其中，．
18．a取何值时，关于x的方程只有一个实数根，并求此实数根．
19．学习二十大，争做新少年，某初中学校团委加强对“二十大”知识的宣传与学习，决定从七、八、九三个年级随机抽取若干名学生进行关于“二十大”相关知识的考查，并将成绩（百分制）汇总，制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．（每组数据包含最大值，不包含最小值）
（1）填空： ．
（2）补全频数分布直方图；
（3）若得分超过70分为及格，该校有3000名学生求该学校学生对“二十大”相关知识掌握及格的学生人数．
20．如图，已知，，．
（1）求证：；
（2）连接，那么相等吗？请说明理由．
21．为了能够更好地进行电路实验学习，某校八年级（1）班在电商平台上购买小电动机和小灯泡．已知该平台上一个小电动机与一个小灯泡的价格之和是12元，同学们决定用30元购买小灯泡，45元购买小电动机，其中购买的小灯泡数量正好是小电动机数量的2倍．
（1）分别求出每个小灯泡和小电动机的价格；
（2）若八年级（1）班决定购买小灯泡和小电动机共计90个，且满足小灯泡数量不超过小电动机数量的一半，请求出总费用的最小值．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）如果该抛物线的顶点恰好在轴上，求它的表达式；
（3）如果，，三点均在抛物线上，且总有，结合图象，直接写出的取值范围．
23．
（1）问题情境：如图1，∠AOB=90 ，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗 请你给出证明；
（2）变式拓展：如图2，已知∠AOB=120 ，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF=60 ，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F.试解决下列问题：
①PE与PF还相等吗 为什么
②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由．
24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是 的中点，连接AE，DE，CE.
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积.
答案解析部分
1．D
解：由题意可得：
该零件的尺寸范围为195≤x≤205
故答案为：D
求出该零件的尺寸范围，再比较即可求出答案.
2．B
解：这个颁奖台的左视图为：
故答案为：B．
根据简单几何体的三视图即可求出答案.
3．A
4．C
解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B.，故此选项计算错误，不符合题意；
C.，计算正确，符合题意；
D.与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
故答案为：C
根据二次根式的加法，同底数幂的除法，积的乘方和合并同类项逐项进行判断即可求出答案.
5．A
解：∵，∴
∵，
由M模型得：
故答案为：A．
根据“猪蹄”模型：已知AB//CD，得出∠B+∠D=∠E，可得，代数求解即可.
6．B
解：作CD⊥x轴于点D，
则∠CDO=90°，
∵四边形OABC是菱形，OA=，
∴OC=OA=，
又∵∠AOC=45°，
∴∠OCD=90°-∠AOC=90°-45°=45°，
∴∠DOC=∠OCD，
∴CD=OD，
在Rt△OCD中，OC=，CD2+OD2=OC2，
∴2OD2=OC2=2，
∴OD2=1，
∴OD=CD=1（负值舍去），
则点C的坐标为（1，1）.
故答案为：B.
作CD⊥x轴于点D，根据菱形的性质可得OC=OA=，根据余角的性质可得∠OCD=45°，则CD=OD，在Rt△OCD中，根据勾股定理可得OD的值，进而可得点C的坐标.
7．A
8．C
解：连接BC，如图所示：
∵∠BAC=90°，
∴BC经过圆心O，
∵AB=AC，BC=1dm，
∴，
∴，
故答案为：C
连接BC，先根据圆周角定理即可得到BC经过圆心O，再根据题意结合等腰直角三角形的性质即可得到，进而根据扇形面积的计算公式即可求解。
9．C
解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵点，，都在反比例函数的图象上，且，
∴，
故答案为：C．
根据反比例函数的性质即可求出答案.
10．B
11．a（x+y）（x-y）
解：原式= ，
故答案为：a（x+y）（x-y）.
首先提取公因式a，然后利用平方差公式进行分解.
12．
13．3
解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图所示：
则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为：3
过点O作OH⊥CD于H，连接OC，进而根据垂径定理结合题意得到CH＝DH＝CD＝4，根据勾股定理即可求出OH，从而根据平行线间的距离即可求解。
14．
解：“x的2倍减去y的差是非正数”用不等式表示为：，
故答案为：.
根据题意直接列不等式即可.
15．或1
16．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴-＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，-2），
∴c=-2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c=0，
∴a+b=2，b=2-a，
∴y=ax2+（2-a）x-2，
当x=-1时，y=a+a-2-2=2a-4
∵b=2-a＞0，
∴0＜a＜2，
∴-4＜2a-4＜0，
故答案为：-4＜m＜0．
根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
17．（1）0；（2）；
18．当时，方程的实数根为．
19．（1）20；10
（2）解：由（1）得：80-90分的人数为15名，90-100分的人数为5名，补全频数分布直方图如下：
（3）解：由题意得：3000×（30%+10%+24%）＝1920（名），
答：该学校学生对“二十大”相关知识掌握及格的学生人数约为1920名．
解：（1）8÷16%=50（名），
∴，
∴m=20，
根据题意，得80-90分的学生为50×30%=15（名），
∴90-100分的学生为50-（8+10+12+15）=5（名），
∴，
∴n=10，
故答案为：20，10.
（1）先根据50-60分的学生人数及所占百分比求出总人数为50人，从而求出m的值，然后根据题意求出90-100分的学生人数，进而求出n的值；
（2）由（1）中所求的数据补全频数分布直方图即可；
（3）用样本估计总体，用样本中符合条件的所占比乘总人数3000，即可求解.
20．（1）证明：∵，
∴，即
∵，
∴，
∵，
∴
在和中
∴；
（2）解：相等．理由如下：如图，
∵
∴，，
∴
∴四边形是平行四边形
∴．
（1）根据等式性质由推出，由二直线平行，内错角相等得，进而根据等角的补角相等可得，再用边角边证明其全等即可；
（2）由全等三角形的对应边相等，对应角相等得，，由内错角相等两直线平行得，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形即可．
21．（1）每个小灯泡的价格是3元，每个小电动机的价格为9元
（2）630元
22．（1）解：将抛物线解析式化为顶点式可得．
所以对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（3）
（3）根据题意可得：对称轴为，，开口向上，分两种情况进行讨论：
①当时，
∵，
∴可得：，
不等式组无解；
②当时，可得：
，
解得：，
综合可得：．
（1）将抛物线解析式化为顶点式，利用对称轴的方程可直接得出；
（2）根据题意抛物线的顶点恰好在x轴上及（1）中结论可得，求解然后代入抛物线解析式即可得；
（3）由（1）中结论对称轴为，，开口向上，考虑，分两种情况进行讨论：①当时；②当时；根据距离抛物线对称轴越远，函数值越大，列出不等式求解即可得．
（1）解：由题意得．
对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，
，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（3）解：根据题意可得：对称轴为，，开口向上，
分两种情况进行讨论：
①当时，
∵，
∴可得：，
不等式组无解；
②当时，可得：
，
解得：，
综合可得：．
23．（1）证明：过点作于，于，如图所示：
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①结论：．理由如下：
过点作于，于，如图所示：
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②结论：．理由如下：
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
（1）过点作于，于，先根据角平分线的性质得到，进而结合题意进行角的运算证明，从而根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）①过点作于，于，先根据角平分线的性质得到，进而结合题意即可得到，再证明即可求解；
②先根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而得到，再结合题意运用含30°角的直角三角形的性质即可得到，从而即可求解。
24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴ ＝ ，
∵E是 的中点，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，即 ＝ ，
∴AE＝DE.
（2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠AED＝ ∠AOD＝45°，
∴∠AED＝∠F＝45°，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EF＝ DE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DE＝ DE，
∴DE＝ +1，
∴S四边形AECD＝S△DEF＝ DE2＝ + .
（1）由正方形的性质可得AB＝CD，则＝，根据中点的概念可得＝，进而推出＝，据此证明；
（2）连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F，由正方形的性质得∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，推出DE＝DF，由圆周角定理得∠AED＝45°，由同角的余角相等可得∠ADE＝∠CDF，证明△ADE≌△CDF，得到AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，推出S四边形AECD＝S△DEF，据此求解.
