荷城中学2023-2024学年七年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下面四个图案中，可以看成是由图案自身的一部分经平移后得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，AB，CD交于点O，∠AOE＝90°，若∠AOC：∠COE＝4：5，则∠AOD为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3 a＝2a4 B．（a3）3＝a9 C．（ab）3＝a3b D．a8÷a2＝a4
4．（3分）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路MN旁有一村庄P，现要建一个汽车站，且有A，B，C，D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在（ ）
A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
5．（3分）小苏和小林在如图①所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如图②所示．下列叙述正确的是（ ）
A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次
C．小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程
D．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x2＝x3 B．（2a+b）2＝4a2+b2
C．（x2）3＝x6 D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a+9
7．（3分）周末，小明骑车从家出发去博物馆，途中突然发现钥匙不见了，于是原路折返，在刚才等红绿灯的路口找到了钥匙，便立即前往博物馆．小明从家出发到博物馆的过程中，离家距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小明家到博物馆的距离为2400m
B．小明等红绿灯的时间为6min
C．小明发现钥匙不见后，原路折返找钥匙的骑车速度是120m/min
D．小明从家出发到博物馆的过程中，离家距离y是自变量，时间x是因变量
8．（3分）若2022m＝10，2022n＝5，则20222m﹣n的结果是（ ）
A．10 B．18 C．20 D．25
9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
10．（3分）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和直线平行”的直线．下列依据：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，④两直线平行，同位角相等，其中合理的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）计算x（x+3）的结果为 ．
12．（3分）如图，A是直线l上一点，若AB⊥AC，∠1：∠2＝2：3，则∠3＝ °．
13．（3分）某市新能源出租车的收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费12元，超过3千米后，每超1千米就加收2.2元．若某人乘出租车行驶的距离为x（x＞3）千米，则需付费用y与行驶距离x之间的函数关系式是 ．
14．（3分）如图所示，直线a、直线b被直线c所截，且直线a∥b，∠1＝125°，则∠2＝ ．
15．（3分）如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝ab＝6，则阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：|﹣1|+3﹣2﹣（π﹣4）0．
17．（8分）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．
18．（8分）小明骑自行车上学，某天他从家出发骑行了一段路程，想起要买一本书，于是折回到他刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他在本次上学离家的距离与所用的时间的关系示意图，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）小明在书店停留了 分钟；
（2）本次上学途中，小明骑行的路程一共是 米；
（3）小明骑行过程中哪个时间段的速度最快，最快的速度是多少？
19．（9分）如图，在△ABC中，∠A＝64°，点D为边BC上一点．
（1）尺规作图：在三角形内部作∠CDE＝∠B，点E落在AC边上（只保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）中，过点D作DF∥AC交AB于点F，求∠EDF的度数．
20．（9分）如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．
（1）剩余草坪的面积是多少平方米？
（2）当a＝8，b＝2时，剩余草坪的面积是多少平方米？
21．（9分）小华早起锻炼，往返于家与体育场之间，离家的距离y（米）与时间x（分）的关系如图所示．回答下列问题：
（1）小华家与体育场的距离是 米，小华在体育场休息 分钟；
（2）小华从体育场返回家的速度是 米/分；
（3）小明与小华同时出发，匀速步行前往体育场，假设小明离小华家的距离y（米）与时间x（分）的关系可以用y＝kx+400来表示，而且当小华返回到家时，小明刚好到达体育场．求k的值并在图中画出此函数的图象（用黑水笔描清楚）．
22．（12分）综合运用
已知A＝（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣2y），B＝（x3yxy2﹣3xy3）xy．
（1）化简A和B；
（2）若变量y满足2x﹣A＝B﹣6，求出y与x之间的关系式；
（3）在（2）的条件下，求（x﹣y+2）2﹣x（x﹣2）（x+2）+x（xy﹣x﹣4）的值．
23．（12分）（1）如图1，AC∥BD，点P在AC与BD之间，过P作PE∥AC，探究∠A、∠APB、∠B之间的数量关系；
（2）如图2，变换点P的位置，∠A、∠APB、∠B之间的数量关系发生了怎样的变化；写出关系式，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的基础上，AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，写出∠APB与∠Q之间的关系式，并说明理由．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C B C A C A C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：C选项的图案可以看成自身的一部分经平移得到．
故选：C．
2．解：∵∠AOE＝90°＝∠AOC+∠COE，而∠AOC：∠COE＝4：5，
∴∠AOC＝90°40°，
∴∠AOE＝180°﹣40°＝140°．
故选：C．
3．解：a3 a＝a4，则A不符合题意；
（a3）3＝a9，则B符合题意；
（ab）3＝a3b3，则C不符合题意；
a8÷a2＝a6，则D不符合题意；
故选：B．
4．解：建在点C处，根据垂线段最短，
故选：C．
5．解：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A选项不符合题意；
小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次，说法正确，故B选项符合题意；
由函数图象可知：小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故C选项不符合题意；
小小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故D选项不符合题意；
故选：B．
6．解：A、x6÷x2＝x4，故A不符合题意；
B、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故B不符合题意；
C、（x2）3＝x6，故C符合题意；
D、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，故D不符合题意；
故选：C．
7．解：由题意可得：
A．小明家到博物馆的距离为2400m，说法正确，故本选项符合题意；
B．小明等红绿灯的时间为：6﹣5＝1（min），原说法错误，故本选项不符合题意；
C．小明发现钥匙不见后，原路折返找钥匙的骑车速度是：（1600﹣1000）÷（13﹣9）＝150（m/min），原说法错误，故本选项不符合题意；
D．小明从家出发到博物馆的过程中，离家距离y是因变量，时间x是自变量，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：A．
8．解：20222m﹣n
＝20222m÷2022n
＝（2022m）2÷2022n．
当2022m＝10，2022n＝5时，
原式＝102÷5
＝100÷5
＝20．
故选：C．
9．解：设ID＝y，DJ＝z，
∵两个阴影部分都是正方形，
∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，
∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ，
∴AI+ID＝CJ+DJ，
∵AI＝5，CJ＝3，
∴5+y＝3+z，
∴y＝z﹣2，
：∵阴影部分面积和为60，
∴y2+z2＝60，
方法1：将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得：
（z﹣2）2+z2＝60，
解得：z＝1或z＝1（舍），
∴y＝z﹣21，
∴ID1，DJ＝1，
∴S长方形FJDI＝ID DJ＝（1）×（1）＝28；
方法2：∵z﹣y＝2，
所以（z﹣y）2＝4，
∴y2+z2﹣2yz＝4，
∴60﹣2yz＝4，
yz＝28，
∴S长方形FJDI＝ID DJ＝28．
故选：A．
10．解：如图，由题图（2）的操作可知PE⊥CD，所以∠PEC＝∠PED＝90°．
由题图（3）的操作可知AB⊥PE，
所以∠APE＝∠BPE＝90°，
所以∠PEC＝∠PED＝∠APE＝∠BPE＝90°，
所以可依据结论②，③或④判定AB∥CD，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：x（x+3）＝x2+3x．
故答案为：x2+3x．
12．解：∵∠1：∠2＝2：3，
∴可设∠1＝2α，∠2＝3α，
∵AB⊥AC，
∴∠1+∠2＝90°，
即2α+3α＝90°，
解得：α＝18°，
∴∠2＝3α＝54°，
∴∠3＝180°﹣∠2＝126°．
故答案为：126．
13．解：由题意可得：y＝12+（x﹣3）×2.2
＝12+2.2x﹣6.6
＝5.4+2.2x．
故答案为：y＝2.2x+5.4．
14．解：∵直线a∥b，
∴∠2+∠3＝180°，
又∵∠3＝∠1＝125°，
∴∠2＝180°﹣125°＝55°．
故答案为：55°．
15．解：∵两个正方形边长分别为a，b，
∴BG＝a+b，
∴S△BCDa2，S△BGFb（a+b），S正方形CEFG＝b2，
∴S阴影＝S△BCD+S正方形CEFG﹣S△BGF
a2+b2b（a+b）
（a2+b2﹣ab），
∵a+b＝ab＝6，
∴（a+b）2＝36，
∴a2+2ab+b2＝36，
∴a2+b2＝36﹣2ab＝36﹣2×6＝24，
∴S阴影（24﹣6）＝9．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：|﹣1|+3﹣2﹣（π﹣4）0
＝11
．
17．解：原式＝[4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣b2）]÷2b
＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b
＝（4ab+2b2）÷2b
＝2a+b，
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝2×2﹣1＝3．
18．解：（1）由图象可得，小明在书店停留了12﹣8＝4（分钟），
故答案为：4；
（2）本次上学途中，小明骑行的路程一共是1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）＝2700（米），
故答案为：2700；
（3）当0≤t≤6时，速度为1200÷6＝200（米/分钟），
当6＜t≤8时，速度为（1200﹣600）÷（8﹣6）＝300（米/分钟），
当8＜t≤12时，速度为0，
当12＜t≤14时，速度为（1500﹣600）÷（14﹣12）＝450（米/分钟），
由上可得，小明骑行过程中，12＜x≤14这个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是450米/分钟．
19．解：（1）如图，∠CDE即为所求．
（2）∵∠CDE＝∠B，
∴AB∥DE，
∴∠CED＝∠A＝64°．
∵DF∥AC，
∴∠EDF＝∠CED＝64°．
20．解：（1）由题意可得：
（3a﹣b﹣b）（a+2b﹣b）
＝（3a﹣2b）（a+b）
＝3a2+ab﹣2b2；
（2）当a＝8，b＝2时，
3a2+ab﹣2b2
＝3×82+8×2﹣2×22
＝192+16﹣8
＝200（平方米），
答：剩余草坪的面积是200平方米．
21．解：（1）由图象可知小华家与体育场的距离是2400米，小华在体育场休息25﹣20＝5（分钟）；
故答案为：2400，5；
（2）小华从体育场返回家的速度是2400÷（40﹣25）＝160（米/分）；
故答案为：160；
（3）根据题意知图象经过（40，2400），代入y＝kx+400得：
2400＝40k+400，
∴k＝50，
画出函数的图象如下：
22．解：（1）A＝（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣2y）
＝x2+4xy+4y2﹣（x2﹣xy﹣2y2）
＝x2+4xy+4y2﹣x2+xy+2y2
＝5xy+6y2，
B＝（x3yxy2﹣3xy3）xy
＝2x2﹣5xy+2y﹣6y2．
（2）∵2x﹣A＝B﹣6，
∴2x﹣5xy﹣6y2＝2x2﹣5xy+2y﹣6y2﹣6，
∴y＝﹣x2+x+3．
（3）（x﹣y+2）2﹣x（x﹣2）（x+2）+x（xy﹣x﹣4）
＝x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y﹣x（x2﹣4）+x2y﹣x2﹣4x
＝x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y﹣x3+4x+x2y﹣x2﹣4x
＝﹣x3+x2y﹣2xy+4x+y2﹣4y+4．
把y＝﹣x2+x+3代入上式得，
原式＝﹣x3+x2（﹣x2+x+3）﹣2x（﹣x2+x+3）+4x+（﹣x2+x+3）2﹣4（﹣x2+x+3）+4
＝﹣x3﹣x4+x3+3x2+2x3﹣2x2﹣6x+4x+x4+x2+9﹣2x3﹣6x2+6x+4x2﹣4x﹣12+4
＝9﹣12+4
＝1．
23．解：（1）∵PE∥AC，
∴∠A+∠APE＝180°，
∴PE∥BD，
∴∠B+∠BPE＝180°，
∴∠A+∠B+∠APE+∠BPE＝360°，
即∠A+∠B+∠APB＝360°；
（2）∠A+∠B＝∠APB．理由如下：
如图，过P作PF∥AC，
∵PF∥AC，
∴∠A＝∠APF，
∴PF∥BD，
∴∠B＝∠BPF，
∴∠A+∠B＝∠APF+∠BPF，
即∠A+∠B＝∠APB；
（3）∠APB＝2∠Q．理由如下：
过Q作QG∥AC，如图，
∵QG∥AC，
∴∠CAQ＝∠AQG，
∵QG∥AC，AC∥BD，
∴QG∥BD，
∴∠DBQ＝∠BQG，
∴∠CAQ+∠DBQ＝∠AQG+∠BQG，
即∠CAQ+∠DBQ＝∠AQB，
∵AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，
∴，，
∴，
由（2）得∠PAC+∠PBD＝∠APB，
∴∠APB＝2∠Q．
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