第10讲 一次函数的图象与性质
A层·基础过关
1.已知正比例函数y=3x的图象经过点(1,m),则m的值为(B)
A.
B.3
C.-
D.-3
2.若一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而增大,则k的值可以是(D)
A.-2
B.-1
C.0
D.1
3.在平面直角坐标系中,一次函数y=2x-3的图象是(D)
4.如图,用绳子围成周长为10 m的矩形,记矩形的一边长为x m,它的邻边长为y m,当x在一定范围内变化时,y随x的变化而变化,则y与x满足的函数关系是(A)
A.一次函数关系
B.二次函数关系
C.正比例函数关系
D.反比例函数关系
5.直线y=ax+b(a≠0)过点A(0,1),B(2,0),则关于x的方程ax+b=0的解为(C)
A.x=0
B.x=1
C.x=2
D.x=3
6.某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系,当投入10万元时销售额1 000万元,当投入90万元时销售量5 000万元.则投入80万元时,销售量为 4 500 万元.
7.一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据,通过对数据的整理和分析,发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系,部分数据如表:
脚长x(cm) … 23 24 25 26 27 28 …
身高y(cm) … 156 163 170 177 184 191 …
(1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y);
【解析】(1)描点如图所示:
(2)根据表中数据,从y=ax+b(a≠0)和y=(k≠0)中选择一个函数模型,使它能近似地反映身高和脚长的函数关系,并求出这个函数的解析式(不要求写出x的取值范围);
【解析】(2)由(1)中图象可知,
y与x的函数关系不可能是y=,
故选一次函数y=ax+b(a≠0),将点(23,156),(24,163)代入解析式得:,
解得,
∴一次函数解析式为y=7x-5.
(3)如图2,某场所发现了一个人的脚印,脚长约为25.8 cm,请根据(2)中求出的函数解析式,估计这个人的身高.
【解析】(3)当x=25.8时,y=7×25.8-5=175.6(cm).
答:估计这个人的身高为175.6 cm.
B层·能力提升
8.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax和y=x+a(a≠0)的图象可能是(D)
9.在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A,B,则△AOB的面积为(B)
A.2
B.3
C.4
D.6
10.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是一次函数y=(a-2)x+1图象上不同的两个点,若(x1-x2)(y1-y2)<0,则a的取值范围是(C)
A.a<0
B.a>0
C.a<2
D.a>2
11.点(-,m)和点(2,n)在直线y=2x+b上,则m与n的大小关系是 m
13.如图,已知点A(-2,3),B(2,1),直线y=kx+k经过点P(-1,0).试探究:直线与线段AB有交点时k的变化情况,猜想k的取值范围是 k≤-3或k≥ .
14.如图,一束光线从点A(-2,5)出发,经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n),则2m-n的值是 -1 .
15.如图,一次函数y=kx+b的图象经过A(3,6),B(0,3)两点,交x轴于点C,则△AOC的面积为 9 .
16.定义:我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.数轴上表示数a,b的点A,B之间的距离AB=a-b(a≥b).特别地,当a≥0时,表示数a的点与原点的距离等于a-0.当a<0时,表示数a的点与原点的距离等于0-a.
应用:如图,在数轴上,动点A从表示-3的点出发,以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时,动点B从表示12的点出发,以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动.
(1)经过多长时间,点A,B之间的距离等于3个单位长度
【解析】(1)设经过x秒,点A,B之间的距离等于3个单位长度,则:|(-3+x)-(12-2x)|=3,解得x=4或x=6,
答:经过4秒或6秒,点A,B之间的距离等于3个单位长度;
(2)求点A,B到原点距离之和的最小值.
【解析】(2)设经过x秒,点A,B到原点距离之和为y,则y=|-3+x|+|12-2x|,
当x≤3时,y=|-3+x|+|12-2x|=3-x+12-2x=-3x+15,
当x=3时,y值最小,为6.
当3
当x>6时,y=|-3+x|+|12-2x|=-3+x-12+2x=3x-15,
当x=6时,y有最小值,为3.
综上所述,点A,B到原点距离之和的最小值为3.
C层·素养挑战
17.定义:对于函数y=f(x),如果当a≤x≤b时,m≤y≤n,且满足n-m=k(b-a)(k是常数),那么称此函数为“k级函数”.如:正比例函数y=-3x,当1≤x≤3时,-9≤y≤-3,则-3-(-9)=k(3-1),求得k=3,所以函数y=-3x为“3级函数”.如果一次函数y=2x-1(1≤x≤5)为“k级函数”,那么k的值是 2 . 第10讲 一次函数的图象与性质
A层·基础过关
1.已知正比例函数y=3x的图象经过点(1,m),则m的值为( )
A.
B.3
C.-
D.-3
2.若一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而增大,则k的值可以是( )
A.-2
B.-1
C.0
D.1
3.在平面直角坐标系中,一次函数y=2x-3的图象是( )
4.如图,用绳子围成周长为10 m的矩形,记矩形的一边长为x m,它的邻边长为y m,当x在一定范围内变化时,y随x的变化而变化,则y与x满足的函数关系是( )
A.一次函数关系
B.二次函数关系
C.正比例函数关系
D.反比例函数关系
5.直线y=ax+b(a≠0)过点A(0,1),B(2,0),则关于x的方程ax+b=0的解为( )
A.x=0
B.x=1
C.x=2
D.x=3
6.某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系,当投入10万元时销售额1 000万元,当投入90万元时销售量5 000万元.则投入80万元时,销售量为 万元.
7.一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据,通过对数据的整理和分析,发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系,部分数据如表:
脚长x(cm) … 23 24 25 26 27 28 …
身高y(cm) … 156 163 170 177 184 191 …
(1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y);
(2)根据表中数据,从y=ax+b(a≠0)和y=(k≠0)中选择一个函数模型,使它能近似地反映身高和脚长的函数关系,并求出这个函数的解析式(不要求写出x的取值范围);
(3)如图2,某场所发现了一个人的脚印,脚长约为25.8 cm,请根据(2)中求出的函数解析式,估计这个人的身高.
B层·能力提升
8.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax和y=x+a(a≠0)的图象可能是( )
9.在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A,B,则△AOB的面积为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
10.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是一次函数y=(a-2)x+1图象上不同的两个点,若(x1-x2)(y1-y2)<0,则a的取值范围是( )
A.a<0
B.a>0
C.a<2
D.a>2
11.点(-,m)和点(2,n)在直线y=2x+b上,则m与n的大小关系是 .
12.若直线y=x向上平移3个单位长度后经过点(2,m),则m的值为 .
13.如图,已知点A(-2,3),B(2,1),直线y=kx+k经过点P(-1,0).试探究:直线与线段AB有交点时k的变化情况,猜想k的取值范围是 .
14.如图,一束光线从点A(-2,5)出发,经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n),则2m-n的值是 .
15.如图,一次函数y=kx+b的图象经过A(3,6),B(0,3)两点,交x轴于点C,则△AOC的面积为 .
16.定义:我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.数轴上表示数a,b的点A,B之间的距离AB=a-b(a≥b).特别地,当a≥0时,表示数a的点与原点的距离等于a-0.当a<0时,表示数a的点与原点的距离等于0-a.
应用:如图,在数轴上,动点A从表示-3的点出发,以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时,动点B从表示12的点出发,以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动.
(1)经过多长时间,点A,B之间的距离等于3个单位长度
(2)求点A,B到原点距离之和的最小值.
C层·素养挑战
17.定义:对于函数y=f(x),如果当a≤x≤b时,m≤y≤n,且满足n-m=k(b-a)(k是常数),那么称此函数为“k级函数”.如:正比例函数y=-3x,当1≤x≤3时,-9≤y≤-3,则-3-(-9)=k(3-1),求得k=3,所以函数y=-3x为“3级函数”.如果一次函数y=2x-1(1≤x≤5)为“k级函数”,那么k的值是 .
