第30讲 旋转
A层·基础过关
1.中国的航天事业蓬勃发展,取得了显著的进展和突破.下列航天图标中,其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A.中国探月 B.中国航天
C.中国火箭 D.中国行星探测
2.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A.等边三角形 B.平行四边形
C.矩形 D.正五边形
3.如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C',点B'恰好落在CA的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC'为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
4.如图,△ABC中,∠BAC=55°,将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE,DE交AC于F.当α=40°时,点D恰好落在BC上,此时∠AFE等于( )
A.80° B.85° C.90° D.95°
5.如图,∠CAB=25°,CA,CB是等腰△ABC的两腰,将△ABC绕点A顺时针进行旋转,得到△ADE.当点B恰好在DE的延长线时,则∠EAB的度数为( )
A.155° B.130° C.105° D.75°
6.如图,将一块30°角的直角三角板ACB绕点B顺时针旋转到△A'C'B的位置,点A的对应点为点A',且点C,B,A'三点在一条直线上,连接CC',若BC=1,则CC'的长为 .
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=1,PB=3,PC=2.
(1)把△APC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC,请你画出旋转后的图形.
(2)利用旋转求∠APC的度数.
B层·能力提升
8.如图,在平面直角坐标系中,点B,C,E在y轴上,点C的坐标为(0,1),AC=2,Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的,则正确的变换是( )
A.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移1个单位
B.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移1个单位
C.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移3个单位
D.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3个单位
9.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=6,点P在线段BC上运动(含B,C两点),连接AP,以点A为中心,将线段AP逆时针旋转60°到AQ,连接DQ,则线段DQ的最小值为( )
A. B.5 C. D.3
10.如图,在平面直角坐标系中,△OAB为等腰三角形,OA=AB=5,点B到x轴的距离为4,若将△OAB绕点O逆时针旋转90°,得到△OA'B',则点B'的坐标为 .
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=1,将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°,得到△AB'C'.连接BB',交AC于点D,则的值为 .
12.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,∠BAC=∠DAE=40°,将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度,当AD∥BC时,∠BAE的度数是 .
C层·素养挑战
13.数学活动课上,同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置,固定一个顶点,然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转,来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中,AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°.
【初步感知】
(1)如图1,连接BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中,试探究的值.
【深入探究】
(2)如图2,在纸片ADE绕点A旋转过程中,当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时,延长ED交AC于点F,求CF的长.
【拓展延伸】
(3)在纸片ADE绕点A旋转过程中,试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能,直接写出所有直角三角形CDE的面积;若不能,请说明理由.第30讲 旋转
A层·基础过关
1.中国的航天事业蓬勃发展,取得了显著的进展和突破.下列航天图标中,其文字上方的图案是中心对称图形的是(C)
A.中国探月 B.中国航天
C.中国火箭 D.中国行星探测
2.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(C)
A.等边三角形 B.平行四边形
C.矩形 D.正五边形
3.如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C',点B'恰好落在CA的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC'为(B)
A.90° B.60° C.45° D.30°
4.如图,△ABC中,∠BAC=55°,将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE,DE交AC于F.当α=40°时,点D恰好落在BC上,此时∠AFE等于(B)
A.80° B.85° C.90° D.95°
5.如图,∠CAB=25°,CA,CB是等腰△ABC的两腰,将△ABC绕点A顺时针进行旋转,得到△ADE.当点B恰好在DE的延长线时,则∠EAB的度数为(C)
A.155° B.130° C.105° D.75°
6.如图,将一块30°角的直角三角板ACB绕点B顺时针旋转到△A'C'B的位置,点A的对应点为点A',且点C,B,A'三点在一条直线上,连接CC',若BC=1,则CC'的长为 .
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=1,PB=3,PC=2.
(1)把△APC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC,请你画出旋转后的图形.
(2)利用旋转求∠APC的度数.
【解析】(1)如图,△BDC即为所求.
(2)连接PD,由旋转可得,CD=CP=2,∠DCP=90°,∠APC=∠CDB,BD=AP=1,
∴∠CDP=45°,PD==2,
∵12+=32,
∴BD2+PD2=PB2,∴∠BDP=90°,
∴∠CDB=∠APC=∠CDP+∠BDP=135°,即∠APC的度数为135°.
B层·能力提升
8.如图,在平面直角坐标系中,点B,C,E在y轴上,点C的坐标为(0,1),AC=2,Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的,则正确的变换是(D)
A.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移1个单位
B.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移1个单位
C.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移3个单位
D.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3个单位
9.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=6,点P在线段BC上运动(含B,C两点),连接AP,以点A为中心,将线段AP逆时针旋转60°到AQ,连接DQ,则线段DQ的最小值为(D)
A. B.5 C. D.3
10.如图,在平面直角坐标系中,△OAB为等腰三角形,OA=AB=5,点B到x轴的距离为4,若将△OAB绕点O逆时针旋转90°,得到△OA'B',则点B'的坐标为 (-4,8) .
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=1,将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°,得到△AB'C'.连接BB',交AC于点D,则的值为 5 .
12.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,∠BAC=∠DAE=40°,将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度,当AD∥BC时,∠BAE的度数是 30°或150° .
C层·素养挑战
13.数学活动课上,同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置,固定一个顶点,然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转,来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中,AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°.
【初步感知】
(1)如图1,连接BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中,试探究的值.
【深入探究】
(2)如图2,在纸片ADE绕点A旋转过程中,当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时,延长ED交AC于点F,求CF的长.
【拓展延伸】
(3)在纸片ADE绕点A旋转过程中,试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能,直接写出所有直角三角形CDE的面积;若不能,请说明理由.
【解析】(1)∵AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°,
∴△ADE≌△ABC(SAS),AC=AE==5,∴∠DAE=∠BAC,∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC,
即∠CAE=∠BAD,∵==1,
∴△ADB∽△AEC,∴=,
∵AB=3,AC=5,∴=;
(2)连接CE,延长BM交CE于点Q,连接AQ交EF于点P,延长EF交BC于点N,如图:
同(1)得△ADB∽△AEC,
∴∠ABD=∠ACE,
∵BM是中线,∴BM=AM=CM=AC=,
∴∠MBC=∠MCB,
∵∠ABD+∠MBC=90°,
∴∠ACE+∠MCB=90°,即∠BCE=90°,
∴AB∥CE,∴∠BAM=∠QCM,∠ABM=∠CQM,
又AM=CM,∴△BAM≌△QCM(AAS),
∴BM=QM,∴四边形ABCQ是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCQ是矩形,
∴AB=CQ=3,BC=AQ=4,∠AQC=90°,PQ∥CN,∴EQ===3,∴EQ=CQ,
∴PQ是△CEN的中位线,∴PQ=CN,
设PQ=x,则CN=2x,AP=4-x,
∵∠EPQ=∠APD,∠EQP=90°=∠ADP,EQ=AD=3,∴△EQP≌△ADP(AAS),
∴EP=AP=4-x,
∵EP2=PQ2+EQ2,∴(4-x)2=x2+32,
解得:x=,∴AP=4-x=,CN=2x=,
∵PQ∥CN,∴△APF∽△CNF,
∴=,∴==,
∵AC=5,∴=,∴CF=;
(3)C,D,E三点能构成直角三角形,理由如下:
①当AD在AC上时,DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形,如图,
∴S△CDE=CD·DE=×(5-3)×4=4;
②当AD在CA的延长线上时,DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形,如图,
∴S△CDE=CD·DE=×(5+3)×4=16;
③当DE⊥EC时,△CDE是直角三角形,过点A作AQ⊥EC于点Q,如图,
∵AQ⊥EC,DE⊥EC,DE⊥AD,
∴四边形ADEQ是矩形,
∴AD=EQ=3,AQ=DE=4,
∵AE=AC=5,∴EQ=CQ=CE,
∴CE=3,∴CE=6,
∴S△CDE=DE·CE=×4×6=12;
④当DC⊥EC时,△CDE是直角三角形,过点A作AQ⊥EC于点Q,交DE于点N,如图,
∵DC⊥EC,AQ⊥EC,∴AQ∥DC,
∵AC=AE,AQ⊥EC,∴EQ=CQ,
∴NQ是△CDE的中位线,
∴ND=NE=DE=2,CD=2NQ,
∵∠AND=∠ENQ,∠ADN=∠EQN=90°,∴∠DAN=∠QEN,
∴tan∠DAN=tan∠QEN,∴=,
∴=,∴NQ=EQ,
∵NQ2+EQ2=NE2,∴(EQ)2+EQ2=22,
解得EQ=,
∴CE=2EQ=,NQ=EQ=,
∴CD=2NQ=,∴S△CDE=CD·CE=××=.
综上所述,直角三角形CDE的面积为4或16或12或.
