第26讲 圆的认识
A层·基础过关
1.如图,将一根木棒的一端固定在O点,另一端绑一重物.将此重物拉到A点后放开,让此重物由A点摆动到B点.则此重物移动路径的形状为(C)
A.倾斜直线 B.抛物线
C.圆弧 D.水平直线
2.如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点.若∠BOC=66°,则∠A=(B)
A.66° B.33° C.24° D.30°
3.如图,在☉O中,半径OA,OB互相垂直,点C在劣弧AB上.若∠ABC=19°,则∠BAC=(D)
A.23° B.24° C.25° D.26°
4.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.下列叙述正确的是(C)
A.过三点可以作一个圆
B.平分弦的直径垂直于弦
C.圆的直径所在的直线是它的对称轴
D.相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等
6.如图,△ABC是☉O的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A= 62 °.
7.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形.若∠A=50°,则∠BCD的度数是 130° .
8.如图,A,B,C是☉O上的三点,且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A,B,C的另一点,则∠ADC的度数是 60°或120° .
9.已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于点D,BC于E,连接ED.若ED=EC.
(1)求证:AB=AC.
(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.
【解析】(1)∵ED=EC,∴∠C=∠EDC.
又∵∠B+∠ADE=180°,∠EDC+∠ADE=180°,∴∠B=∠EDC=∠C,∴AB=AC.
(2)连接AE.∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,∴CE=BC=.由(1)知AB=AC,∠B=∠EDC,又∵∠C=∠C,
∴△ECD∽△ACB.
∴=,∴=,∴CD=.
B层·能力提升
10.如图,四边形ABCD内接于☉O,AC,BD为对角线,BD经过圆心O.若∠BAC=40°,则∠DBC的度数为(B)
A.40° B.50° C.60° D.70°
11.如图,☉O中,弦AB的长为4,点C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是(C)
A.点P在☉O上 B.点P在☉O内
C.点P在☉O外 D.无法确定
12.如图,AB切☉O于点B,连接OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为(C)
A.25° B.35° C.40° D.45°
13.如图所示,点A,B,C是☉O上不同的三点,点O在△ABC的内部,连接BO,CO,并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A=60°,∠OCD=40°,则∠ODC= 80° .
14.如图,AB是圆的直径,∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上,∠1、∠4的一边分别经过点A、B,则∠1+∠2+∠3+∠4= 90 °.
C层·素养挑战
15.问题提出
(1)如图1,在△ABC中,AB=15,∠C=30°,作△ABC的外接圆☉O,则的长为25π;(结果保留π)
问题解决
(2)如图2所示,道路AB的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点D,E,C,线段AD,AC和BC为观测步道,其中点A和点B为观测步道出入口.已知点E在AC上,且AE=EC,∠DAB=60°,∠ABC=120°,AB=1 200 m,AD=BC=900 m,现要在湿地上修建一个新观测点P,使∠DPC=60°.再在线段AB上选一个新的步道出入口点F,并修建三条新步道PF,PD,PC,使新步道PF经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分.
请问:是否存在满足要求的点P和点F 若存在,求此时PF的长;若不存在,请说明理由.(点A,B,C,P,D在同一平面内,道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计,结果保留根号)
【解析】(1)连接OA,OB,如图1,
∵∠C=30°,∴∠AOB=60°,
∵OA=OB,∴△OAB等边三角形,
∵AB=15,∴OA=OB=15,
∴的长为=25π,
(2)存在满足要求的点P和点F,此时PF的长为(300+1 200)m.理由如下:
∵∠DAB=60°,∠ABC=120°,
∴∠DAB+∠ABC=180°,∴AD∥BC,
∵AD=BC=900 m,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵要在湿地上修建一个新观测点P,使∠DPC=60°,
∴点P在以O为圆心,CD为弦,圆心角为120°的圆上,如图2,
∵AE=EC,∴经过点E的直线都平分四边形ABCD的面积,
∵新步道PF经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分,
∴直线PF必经过CD的中点M,
∴ME是△CAD的中位线,∴ME∥AD,
∵MF∥AD,DM∥AF,
∴四边形AFMD是平行四边形,
∴FM=AD=900 m,
作CN⊥PF于点N,如图3,
∵四边形AFMD是平行四边形,∠DAB=60°,
∴∠PMC=∠DMF=∠DAB=60°,
∵CM=CD=AB=600 m,
∴MN=CM·cos 60°=300 m,
∴CN=CM·sin 60°=300 m,
∵∠PMC=∠DPC=60°,
∴△PMC∽△DPC,
∴=,即=,
∴PC2=720 000,
在Rt△PCN中,PN===300(m),
∴PF=300+300+900=(300+1 200)m,
∴存在满足要求的点P和点F,此时PF的长为(300+1 200)m.第26讲 圆的认识
A层·基础过关
1.如图,将一根木棒的一端固定在O点,另一端绑一重物.将此重物拉到A点后放开,让此重物由A点摆动到B点.则此重物移动路径的形状为( )
A.倾斜直线 B.抛物线
C.圆弧 D.水平直线
2.如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点.若∠BOC=66°,则∠A=( )
A.66° B.33° C.24° D.30°
3.如图,在☉O中,半径OA,OB互相垂直,点C在劣弧AB上.若∠ABC=19°,则∠BAC=( )
A.23° B.24° C.25° D.26°
4.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.下列叙述正确的是( )
A.过三点可以作一个圆
B.平分弦的直径垂直于弦
C.圆的直径所在的直线是它的对称轴
D.相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等
6.如图,△ABC是☉O的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A= °.
7.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形.若∠A=50°,则∠BCD的度数是 .
8.如图,A,B,C是☉O上的三点,且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A,B,C的另一点,则∠ADC的度数是 .
9.已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于点D,BC于E,连接ED.若ED=EC.
(1)求证:AB=AC.
(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.
B层·能力提升
10.如图,四边形ABCD内接于☉O,AC,BD为对角线,BD经过圆心O.若∠BAC=40°,则∠DBC的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
11.如图,☉O中,弦AB的长为4,点C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是( )
A.点P在☉O上 B.点P在☉O内
C.点P在☉O外 D.无法确定
12.如图,AB切☉O于点B,连接OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为( )
A.25° B.35° C.40° D.45°
13.如图所示,点A,B,C是☉O上不同的三点,点O在△ABC的内部,连接BO,CO,并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A=60°,∠OCD=40°,则∠ODC= .
14.如图,AB是圆的直径,∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上,∠1、∠4的一边分别经过点A、B,则∠1+∠2+∠3+∠4= °.
C层·素养挑战
15.问题提出
(1)如图1,在△ABC中,AB=15,∠C=30°,作△ABC的外接圆☉O,则的长为 ;(结果保留π)
问题解决
(2)如图2所示,道路AB的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点D,E,C,线段AD,AC和BC为观测步道,其中点A和点B为观测步道出入口.已知点E在AC上,且AE=EC,∠DAB=60°,∠ABC=120°,AB=1 200 m,AD=BC=900 m,现要在湿地上修建一个新观测点P,使∠DPC=60°.再在线段AB上选一个新的步道出入口点F,并修建三条新步道PF,PD,PC,使新步道PF经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分.
请问:是否存在满足要求的点P和点F 若存在,求此时PF的长;若不存在,请说明理由.(点A,B,C,P,D在同一平面内,道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计,结果保留根号)
