第22讲 解直角三角形
A层·基础过关
1.已知∠α为锐角,且sin α=,则∠α=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.如图,从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( )
A.∠BAD B.∠ACB
C.∠BAC D.∠DAC
3.如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为( )
A.3 B.3 C.3 D.6
4.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在DC上,把△ADE沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,则cos∠CEF的值为( )
A. B. C. D.
5.如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°,小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°,则电子厂AB的高度为( )
(参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈)
A.22.7 m B.22.4 m C.21.2 m D.23.0 m
6.2024年6月2日,嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次试验中,如图,该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点,再垂直下降到着陆点C,从B点测得地面D点的俯角为36.87°,AD=17米,BD=10米.
(1)求CD的长;
(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点,求模拟装置从A点下降到B点的时间.
参考数据:sin 36.87°≈0.60,cos 36.87°≈0.80,tan 36.87°≈0.75.
B层·能力提升
7.在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,有以下结论:===2R(其中R为△ABC的外接圆半径)成立.在△ABC中,若∠A=75°,∠B=45°,c=4,则△ABC的外接圆面积为( )
A. B. C.16π D.64π
8.如图,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm,若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约是 cm.(结果精确到0.1,参考数据sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈
0.75)
9.为发展城乡经济,建设美丽乡村,某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造,把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线,改造成可以直线通行的公路AB.如图,经勘测,AC=6千米,∠CAB=60°,∠CBA=37°,则改造后公路AB的长是 千米(精确到0.1千米;参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.73).
10.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-4,0),(0,4),点C(3,n)在第一象限内,连接AC,BC.已知∠BCA=2∠CAO,则n= .
C层·素养挑战
11.图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究:如图2,正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为 km,南门O设立在A6A7边的正中央,游乐城南侧有一条东西走向的道路BM,A6A7在BM上(门宽及门与道路间距离忽略不计),东侧有一条南北走向的道路BC,C处有一座雕塑.在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上,在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上.
(1)∠CA1A2= °,∠CA2A1= °;
(2)求点A1到道路BC的距离;
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走,求她离B处不超过多少千米,才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响
(结果精确到0.1 km,参考数据:≈1.41,sin 76°≈0.97,tan 76°≈4.00,sin 59°≈0.86,tan 59°≈1.66)第22讲 解直角三角形
A层·基础过关
1.已知∠α为锐角,且sin α=,则∠α=(A)
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.如图,从热气球A看一栋楼底部C的俯角是(D)
A.∠BAD B.∠ACB
C.∠BAC D.∠DAC
3.如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为(D)
A.3 B.3 C.3 D.6
4.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在DC上,把△ADE沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,则cos∠CEF的值为(A)
A. B. C. D.
5.如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°,小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°,则电子厂AB的高度为(A)
(参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈)
A.22.7 m B.22.4 m C.21.2 m D.23.0 m
6.2024年6月2日,嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次试验中,如图,该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点,再垂直下降到着陆点C,从B点测得地面D点的俯角为36.87°,AD=17米,BD=10米.
(1)求CD的长;
(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点,求模拟装置从A点下降到B点的时间.
参考数据:sin 36.87°≈0.60,cos 36.87°≈0.80,tan 36.87°≈0.75.
【解析】(1)如图,
由题意得:AC⊥CD,BE∥CD,
∴∠EBD=∠BDC=36.87°,
在Rt△BCD中,BD=10米,
∴CD=BD·cos 36.87°≈10×0.80=8(米),∴CD的长约为8米;
(2)在Rt△BCD中,BD=10米,∠BDC=36.87°,
∴BC=BD·sin 36.87°≈10×0.6=6(米),
在Rt△ACD中,AD=17米,CD=8米,
∴AC===15(米),
∴AB=AC-BC=15-6=9(米),
∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点,
∴模拟装置从A点下降到B点的时间=9÷2=4.5(秒),
∴模拟装置从A点下降到B点的时间约为4.5秒.
B层·能力提升
7.在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,有以下结论:===2R(其中R为△ABC的外接圆半径)成立.在△ABC中,若∠A=75°,∠B=45°,c=4,则△ABC的外接圆面积为(A)
A. B. C.16π D.64π
8.如图,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm,若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约是 2.7 cm.(结果精确到0.1,参考数据sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈
0.75)
9.为发展城乡经济,建设美丽乡村,某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造,把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线,改造成可以直线通行的公路AB.如图,经勘测,AC=6千米,∠CAB=60°,∠CBA=37°,则改造后公路AB的长是 9.9 千米(精确到0.1千米;参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.73).
10.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-4,0),(0,4),点C(3,n)在第一象限内,连接AC,BC.已知∠BCA=2∠CAO,则n= .
C层·素养挑战
11.图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究:如图2,正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为 km,南门O设立在A6A7边的正中央,游乐城南侧有一条东西走向的道路BM,A6A7在BM上(门宽及门与道路间距离忽略不计),东侧有一条南北走向的道路BC,C处有一座雕塑.在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上,在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上.
(1)∠CA1A2=90°,∠CA2A1=76°;
(2)求点A1到道路BC的距离;
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走,求她离B处不超过多少千米,才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响
(结果精确到0.1 km,参考数据:≈1.41,sin 76°≈0.97,tan 76°≈4.00,sin 59°≈0.86,tan 59°≈1.66)
【解析】(1)∵正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8,
∴外角==45°,∴∠CA1A2=45°+45°=90°,
∠CA2A1=45°+(90°-59°)=76°.
(2)过点A1作A1D⊥BC于点D,
在Rt△CA2A1中,A2A1=,∠CA2A1=76°,∴CA1=A1A2·tan 76°≈×4.00=2(km),
在Rt△CA1D中,易知∠CA1D=45°,∴A1D=CA1·cos 45°=2×=2.0(km).
答:点A1到道路BC的距离为2.0 km.
(3)连接CA8并延长交BM于点E,延长A1A8交BE于点G,过点A8作A8F⊥BC于点F,
∵正八边形的外角均为45°,
∴在Rt△A7A8G中,A8G=,
∴FB=A8G=,
又∵A8F=A1D=CD=2,DF=A1A8=,
∴CB=CD+DF+FB=,
∵∠CFA8=∠B,∠FCA8=∠BCE,
∴△CA8F∽△CEB,
∴=,
∴=,
∵≈1.41,∴EB≈2.4(km).
答:小李离点B不超过2.4 km,才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响.
