2.4 一元二次方程根与系数的关系
知识点一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则，
考点集训：
考点01 一元二次方程根与系数的关系
【典例1】设x1，x2是一元二次方程5x2﹣4x﹣1＝0的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值：
（1）； （2）．
【思路点拨】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解析】解：由题知，
因为x1，x2是一元二次方程5x2﹣4x﹣1＝0的两个根，
所以，．
（1）＝＝＝．
（2）＝．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【即学即练1】设α、β是方程x2+2x﹣9＝0的两个实数根，求和α2β+αβ2的值．
【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，根据+＝，α2β+αβ2＝αβ（α+β），代入即可求得代数式的值．
【解析】解：根据题意得α+β＝﹣2，αβ＝﹣9．
∴+＝＝＝．
α2β+αβ2＝αβ（α+β）＝﹣9×（﹣2）＝18．
【点睛】解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式，然后利用根与系数的关系求解．
考点02 利用一元二次方程根与系数的关系求未知字母的值
【典例2】已知关于x的一元二次方程方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝1﹣x1x2，求m的值．
【思路点拨】（1）利用判别式的意义得到（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）≥0，然后解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1，则2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），然后解关于m的方程得到m1＝1，m2＝﹣2，最后利用m的范围确定m的值．
【解析】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）≥0，
解得m≥﹣1；
（2）根据题意得x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1，
∵x1+x2＝1﹣x1x2，
∴2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），
整理得m2+m﹣2＝0，解得m1＝1，m2＝﹣2，
∵m≥﹣1，
∴m的值为1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
【即学即练2】已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
【思路点拨】（1）利用判别式得到Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1变形得到x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解析】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，
解得m≤；
（2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，
∵（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，
∴x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，
∴2m﹣4﹣3×1+9＝m2﹣1，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝3（不合题意，舍去）．
故m的值是﹣1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1 x2＝．也考查了根的判别式．
分层训练：
题组A 基础过关练
1．设x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【思路点拨】根据根与系数的关系得出即可．
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣3，
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
2．下列一元二次方程中，两根之和等于5的是（ ）
A．x2﹣5x+7＝0 B．x2+5x﹣4＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．2x2﹣10x﹣3＝0
【思路点拨】先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，利用计算即可．
【解析】解：A、Δ＝﹣3＜0，则此方程没有实数根，不正确，不符合题意；
B、Δ＝41＞0，x1+x2＝﹣5，不正确，不符合题意；
C、Δ＝29＞0，x1+x2＝3，不正确，不符合题意；
D、Δ＝124＞0，x1+x2＝5，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键．
3．若a，b是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两根，则a+b﹣ab的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系得到a+b＝1，ab＝﹣2024，再代入求值即可．
【解析】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两根，
∴a+b＝1，ab＝﹣2024，
∴a+b﹣ab＝1﹣（﹣2024）＝2025，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时x1+x2＝﹣，x1x2＝是解题的关键．
4．已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2＝0的两个实数根是x1，x2，且x1＝2x2，则m的值是（ ）
A．0 B．2 C．﹣1 D．1
【思路点拨】先利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣3，x1 x2＝m+2，再根据x1＝2x2，求出x1＝﹣2，x2＝﹣1，即可求解．
【解析】解：由题意可知：x1+x2＝﹣3，x1 x2＝m+2，
∵x1＝2x2，
∴2x2+x2＝﹣3，
解得：x2＝﹣1，
∴x1＝2x2＝﹣2，
∴（﹣2）×（﹣1）＝m+2，
解得：m＝0，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
5．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．
【思路点拨】先利用根与系数的关系得到m+n＝2，mn＝，再通分得到+＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn＝，
所以+＝＝＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，则方程的另一个根为 ﹣3 ．
【思路点拨】利用两根之积求解即可．
【解析】解：设另一个根为a，
则有2a＝﹣6，
∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是 1 ．
【思路点拨】由根与系数的关系可得x1+x2＝5、x1x2＝m，结合x1+x2﹣x1x2＝2可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝m．
∵x1+x2﹣x1x2＝3﹣m＝2，
∴m＝1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
8．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则+的值为 ．
【思路点拨】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得m+n＝﹣10，mn＝7，再结合分式的加减及完全平方公式代入计算可求解．
【解析】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，
化简得x2+10x+7＝0，
∵m，n是该方程的两根，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
∴+＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，新定义，代数式求值，根据新定义将等式化为一元二次方程是解题的关键．
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣5＝0的两个实数根的平方和等于44，则m的值是 1 ．
【思路点拨】先根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式得，解出方程，再根据根的判别式判断即可．
【解析】解：设方程的两个实数根为x1，x2，
则，
∴，
令2m2+16m+26＝44，即m2+8m﹣9＝0，
解得：m1＝1，m2＝﹣9，
由条件可知Δ＝b2﹣4ac＝16m+36≥0，
即：，
综上所述：m＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，．
10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两个根，求：
（1）x1+x2＝ 5 ；x1x2＝ ﹣3 ．
（2）．
（3）．
【思路点拨】（1）根据根与系数的关系即可求解；
（2）先通分计算，再整理得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可；
（3）利用完全平方公式配方得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【解析】解：（1）x1+x2＝5；x1x2＝﹣3．
故答案为：5，﹣3；
（2）
＝
＝
＝﹣；
（3）
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝52﹣2×（﹣3）
＝25+6
＝31．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
11．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，设方程的根为x1，x2，求的值．
【思路点拨】（1）根据一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根得到Δ＝22﹣4×1×（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，解不等式求出k的取值范围即可；
（2）把k＝1代入方程，求出x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣2，进而求出的值．
【解析】解：（1）由条件可知Δ＝22﹣4×1×（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，
解得，
即k的取值范围为；
（2）当k＝1时，方程为x2+2x﹣2＝0，
解得x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣2，
则．
【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识．熟练掌握以上知识点是关键．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣2＝0（k为常数）．
（1）若方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【思路点拨】（1）设方程的另一个根为t，则利用根与系数的关系得2+t＝k，2t＝k﹣2，然后解方程组即可；
（2）先计算出根的判别式的值，再进行配方得到Δ＝（k﹣2）2+4，则根据非负数的意义得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论．
【解析】（1）解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2+t＝k，2t＝k﹣2，
解得t＝0，k＝2，
即k的值为2，方程的另一个根为0；
（2）证明：∵Δ＝（﹣k）2﹣4（k﹣2）
＝k2﹣4k+8
＝（k﹣2）2+4＞0，
∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a+2）x+a2﹣5＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若方程的两根为x1，x2，且，求a的值．
【思路点拨】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解析】解：（1）因为关于x的一元二次方程x2﹣2（a+2）x+a2﹣5＝0有实数根，
所以Δ＝[﹣2（a+2）]2﹣4（a2﹣5）≥0，
解得a≥，
故a的取值范围是a≥．
（2）因为方程的两根为x1，x2，
所以．
又因为，
所以，
则（2a+4）2﹣2（a2﹣5）＝44，
解得a＝1或﹣9．
又因为a≥，
所以a＝1．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
14．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且﹣4，求实数k的值．
【思路点拨】（1）根据一元二次方程有实数根得到Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝k+1，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
【解析】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0，
∴k≤3；
（2）依题意得，x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
∵﹣4，
∴，
∴，
∴k1＝5，k2＝﹣3，
又k≤3，
∴k＝﹣3，
经检验k＝﹣3是分式方程的解．
所以k＝﹣3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
题组B 能力提升练
15．若方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2，则的值为（ ）
A．﹣4 B．1 C．5 D．7
【思路点拨】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，再将其代入﹣x1x2+＝（x1+x2）2﹣3x1x2中，即可求出结论．
【解析】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的解，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
∴﹣x1x2+＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝22﹣3×（﹣1）＝7．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
16．若m，n为方程x2+2024x﹣1＝0的两根，则（m2+2025m﹣1）（n2+2025n﹣1）的值（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣4049 D．4049
【思路点拨】根据方程的解以及根与系数的关系可得m2+2024m﹣1＝0、n2+2024n﹣1＝0、mn＝﹣1，再对所求代数式变形，最后代入计算即可．
【解析】解：∵m，n为方程x2+2024x﹣1＝0的两根，
∴m2+2024m﹣1＝0，n2+2024n﹣1＝0，
即m2+2024m＝1，n2+2024n＝1，
由根与系数的关系可得mn＝﹣1，
∴（m2+2025m﹣1）（n2+2025n﹣1）
＝（m2+2024m+m﹣1）（n2+2024n+n﹣1）
＝（1+m﹣1）（1+n﹣1）
＝mn
＝﹣1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握根与系数的关系成为解题的关键．
17．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，下列说法：①若a+b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有一个根为1；②若b2＞5ac，则方程ax2+bx+c＝0一定有两不相等的实数根；③若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不相等实数根；④若a＝1，b＝2，c＝3，由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1x2＝3，其中结论正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【思路点拨】当x＝1时，a+b+c＝0，则根据根的意义可对①进行判断；当b2＞5ac时，Δ＞0，可判断方程ax2+bx+c＝0一定有两异实数根，则可对②进行判断；若c＝0，则方程为一元一次方程，只有一个实数解；可对③进行判断；若a＝1，b＝2，c＝3，计算出Δ＝﹣8＜0，方程没有实数根，据此对④进行判断．
【解析】解：①当x＝1时，a+b+c＝0，所以方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根为1，故①正确，符合题意；
②当b2＞5ac，
若a、c异号时，则Δ＝b2﹣4ac＞0，此时方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定有两个不相等的实数根，
若a、c同号或c为0时，则b2﹣4ac＞ac≥0，此时方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定有两个不相等的实根，故②正确，符合题意；
③∵若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴此时方程若c≠0，则方程也一定有两个不相等实数根，若c＝0，则方程为一元一次方程，只有一个实数解；故③不准确，不符合题意；
④若a＝1，b＝2，c＝3，Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴方程没有的实数根，故④错误，不符合题意；
综上分析可知：正确的有①②．共2个．
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是先通过根的判别式判断一元二次方程根的情况，若Δ≥0，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，．
18．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为2，两根之积为﹣4，则关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0（a≠0）的两根之积是 4 ．
【思路点拨】设关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，设x＝y﹣2，则利用换元法，得到a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0（a≠0）的两个根为x1+2，x2+2再进行求解即可．
【解析】解：设关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则：x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，
∴关于y的方程的两根为y1＝x1+2，y2＝x2+2，
∴y1y2＝（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2（x1+x2）+4＝﹣4+2×2+4＝4；
故答案为：4．
【点睛】本题考查根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
19．已知a，b是方程x2+3x﹣2＝0的两个不相等的实根，求下列各式的值：
①a2+b2；
②（1+a2）（1+b2）；
③a3+3a2+2b．
【思路点拨】由韦达定理得出a+b＝﹣3、ab＝﹣2，由一元二次方程的解的定义得到a2+3a＝2，
①将a+b、ab的值代入a2+b2＝（a+b）2﹣2ab计算可得；
②将a+b、ab的值代入（1+a2）（1+b2）＝1+a2+b2+a2b2计算可得；
③将a2+3a，a+b的值代入a3+3a2+2b计算可得．
【解析】解：∵a，b是方程x2+3x﹣2＝0的两个不相等的实根，
∴a+b＝﹣3、ab＝﹣2，a2+3a＝2，
①a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝9﹣4
＝5；
②（1+a2）（1+b2）
＝1+a2+b2+a2b2
＝1+5+4
＝10；
③a3+3a2+2b
＝2a+2b
＝2（a+b）
＝2×（﹣3）
＝﹣6．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
20．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值．
【思路点拨】（1）求出Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4）＝k2，可知Δ≥0，故x2﹣（k+4）x+2k+4＝0总有两个实数根；
（2）先求出x1+x2与x1 x2的值，代入代数式进行计算即可．
【解析】（1）证明：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4）
＝k2+8k+16﹣8k﹣16
＝k2，
∵k2≥0，
∴Δ≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k+4，x1 x2＝2k+4，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）
＝x1 x2﹣2x1﹣2x2+4
＝x1 x2﹣2（x1+x2）+4
＝2k+4﹣2（k+4）+4
＝2k+4﹣2k﹣8+4
＝0．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
21．关于x的方程（x﹣5）（x﹣3）＝m2（m为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．一个正根，一个负根 C．两个负根 D．根的符号与m的值有关
【思路点拨】先将方程整理为一般式，再根据b2﹣4ac判断根的情况即可．
【解析】解：原方程整理得得x2﹣8x+15﹣m2＝0，
可知b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×（15﹣m2）＝64﹣60+4m2＝4+4m2＞0，
∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根．
设两个根是x1，x2，根据题意得：
，
∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根，根的符号与m的值有关．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是关键．
22．在实数范围内，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则方程可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，即ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2＝0，容易发现根与系数的关系x1+x2＝﹣，x1 x2＝，设关于x的一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）的三个非零实数根分别为x1，x2，x3，若x3﹣6x2﹣x+30＝0，则++＝（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
【思路点拨】利用根与系数的关系，可得出x1+x2+x3＝6，x1x2+x2x3+x1x3＝﹣1，再将其代入++＝（x1+x2+x3）2﹣2（x1x2+x2x3+x1x3）中，即可求出结论．
【解析】解：∵关于x的一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）的三个非零实数根分别为x1，x2，x3，
∴a（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝0，
即ax3﹣a（x1+x2+x3）x2+a（x1x2+x2x3+x1x3）x﹣ax1x2x3＝0，
∴x1+x2+x3＝﹣，x1x2+x2x3+x1x3＝，x1x2x3＝﹣．
∵x1，x2，x3是关于x的一元三次方程x3﹣6x2﹣x+30＝0的三个实数根，
∴x1+x2+x3＝6，x1x2+x2x3+x1x3＝﹣1，
∴++＝（x1+x2+x3）2﹣2（x1x2+x2x3+x1x3）＝62﹣2×（﹣1）＝38．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，通过推导，找出“x1+x2+x3＝﹣，x1x2+x2x3+x1x3＝，x1x2x3＝﹣”是解题的关键．
23．已知实数x、y（xy≠﹣1）满足3x2+108x+2＝0，2y2﹣108y+3＝0，则的值等于 24 ．
【思路点拨】观察题目中条件中的两个方程和目标式，把方程2y2﹣108y+3＝0变形为，可知x，是一元二次方程3x2+108x+2＝0的两个不同的根，再根据根与系数的关系求解即可．
【解析】解：∵2y2﹣108y+3＝0，
∴y≠0，
∴，
∵xy≠﹣1，
∴，
∵3x2+108x+2＝0，
∴x，是一元二次方程3x2+108x+2＝0的两个不同的根，
∴，
∴，
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，通过对条件方程的灵活变形，创造条件使用根与系数的关系是解题的关键．
24．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求m的最小值．
【思路点拨】（1）先计算出根的判别式的值得到Δ＝4，则Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）先路求根公式得到x1＝，x2＝，再利用＞0且＞0得m＞4，然后根据和都是正整数可确定m的值．
【解析】（1）证明：∵Δ＝（m﹣2）2﹣4（﹣m）
＝m2﹣4m+4﹣m2+4m
＝4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x＝，
∴x1＝，x2＝
∵方程的两个根都是正数，
∴＞0且＞0，
解得m＞4，
∵方程的两个根都是正整数，
∴和都是正整数，
∴m的最小值为6．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
25．【阅读材料】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则，.这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）【材料理解】
一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ；
（2）【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1、x2，满足x1+x2＝2x1x2+5，求k的值．
（3）【思维拓展】已知实数m，n，满足3m2+6m﹣5＝0，3n2+6n﹣5＝0，且m≠n，求的值．
【思路点拨】（1）根据题意，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，用k表示x1+x2，x1x2，再建立关于k的方程即可解决问题．
（3）将m，n看成方程3x2+6x﹣5＝0的两个根，再结合一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解析】解：（1）由题知，
因为一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，
所以．
故答案为：．
（2）因为所给方程的两个实数根为x1、x2，
所以．
又因为x1+x2＝2x1x2+5，
所以2k+1＝2（）+5，
解得k1＝0，k2＝2，
所以k的值为0或2．
（3）由题知，
m，n可看成方程3x2+6x﹣5＝0的两个根，
所以m+n＝，mn＝，
所以＝＝．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
26．定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且
，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断：一元二次方程x2+14x+33＝0 是 “限根方程”（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x的一元二次方程x2+（k+9）x+k2+8＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足11x1+11x2+x1x2＝﹣121，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围．
【思路点拨】（1）解方程x2+14x+33＝0得x1＝﹣11，x2＝﹣3，然后根据“限根方程”的定义进行判断；
（2）先利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（k+9）＜0，x1x2＝k2+8＞0，则利用11x1+11x2+x1x2＝﹣121得到﹣11（k+9）+k2+8＝﹣121，解方程得k1＝5，k2＝6，当k＝5时，方程x2+14x+33＝0为“限根方程”；当k＝6时，方程x2+15x+44＝0不是“限根方程“，所以k的值为5；
（3）先解方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0得x1＝m，x2＝﹣1，根据“限根方程”的定义，当m＜﹣1时，3＜＜4或当﹣1＜m＜0时，3＜＜4，然后据诶分别解不等式组得到m的取值范围．
【解析】解：（1）x2+14x+33＝0，
（x+11）（x+3）＝0，
x+11＝0或x+3＝0，
解得x1＝﹣11，x2＝﹣3，
∵﹣11＜﹣3＜0，3＜＜4，
∴一元二次方程x2+14x+33＝0是“限根方程“；
故答案为：是；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（k+9）＜0，x1x2＝k2+8＞0，
∵11x1+11x2+x1x2＝﹣121，
∴11（x1+x2）+x1x2＝﹣121，
∴﹣11（k+9）+k2+8＝﹣121，
整理得k2﹣11k+3＝0，
解得k1＝5，k2＝6，
当k＝5时，原方程化为x2+14x+33＝0，此方程为“限根方程”；
当k＝6时，原方程化为x2+15x+44＝0，解得x1＝﹣11，x2＝﹣5，
∵﹣11＜﹣4＜0，＜3，
∴一元二次方程x2+15x+44＝0不是“限根方程“；
综上所述，k的值为5；
（3）解方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0得x1＝m，x2＝﹣1，
关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，
当m＜﹣1时，3＜＜4，
解得﹣4＜m＜﹣3；
当﹣1＜m＜0时，3＜＜4，
解得﹣＜m＜﹣，
综上所述，m的取值范围为﹣4＜m＜﹣3或﹣＜m＜﹣．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了解一元二次方程．
2.4 一元二次方程根与系数的关系
知识点
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则，
考点集训：
考点01 一元二次方程根与系数的关系
【典例1】设x1，x2是一元二次方程5x2﹣4x﹣1＝0的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值：
（1）； （2）．
【即学即练1】设α、β是方程x2+2x﹣9＝0的两个实数根，求和α2β+αβ2的值．
考点02 利用一元二次方程根与系数的关系求未知字母的值
【典例2】已知关于x的一元二次方程方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝1﹣x1x2，求m的值．
【即学即练2】已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
分层训练：
题组A 基础过关练
1．设x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
2．下列一元二次方程中，两根之和等于5的是（ ）
A．x2﹣5x+7＝0 B．x2+5x﹣4＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．2x2﹣10x﹣3＝0
3．若a，b是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两根，则a+b﹣ab的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
4．已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2＝0的两个实数根是x1，x2，且x1＝2x2，则m的值是（ ）
A．0 B．2 C．﹣1 D．1
5．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，则方程的另一个根为 ．
7．设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是 ．
8．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则+的值为 ．
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣5＝0的两个实数根的平方和等于44，则m的值是 ．
10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两个根，求：
（1）x1+x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）．
（3）．
11．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，设方程的根为x1，x2，求的值．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣2＝0（k为常数）．
（1）若方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a+2）x+a2﹣5＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若方程的两根为x1，x2，且，求a的值．
14．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且﹣4，求实数k的值．
题组B 能力提升练
15．若方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2，则的值为（ ）
A．﹣4 B．1 C．5 D．7
16．若m，n为方程x2+2024x﹣1＝0的两根，则（m2+2025m﹣1）（n2+2025n﹣1）的值（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣4049 D．4049
17．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，下列说法：①若a+b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有一个根为1；②若b2＞5ac，则方程ax2+bx+c＝0一定有两不相等的实数根；③若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不相等实数根；④若a＝1，b＝2，c＝3，由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1x2＝3，其中结论正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
18．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为2，两根之积为﹣4，则关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0（a≠0）的两根之积是 ．
19．已知a，b是方程x2+3x﹣2＝0的两个不相等的实根，求下列各式的值：
①a2+b2；
②（1+a2）（1+b2）；
③a3+3a2+2b．
20．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值．
题组C 培优拔尖练
21．关于x的方程（x﹣5）（x﹣3）＝m2（m为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．一个正根，一个负根 C．两个负根 D．根的符号与m的值有关
22．在实数范围内，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则方程可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，即ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2＝0，容易发现根与系数的关系x1+x2＝﹣，x1 x2＝，设关于x的一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）的三个非零实数根分别为x1，x2，x3，若x3﹣6x2﹣x+30＝0，则++＝（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
23．已知实数x、y（xy≠﹣1）满足3x2+108x+2＝0，2y2﹣108y+3＝0，则的值等于 ．
24．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求m的最小值．
25．【阅读材料】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则，.这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）【材料理解】
一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ；
（2）【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1、x2，满足x1+x2＝2x1x2+5，求k的值．
（3）【思维拓展】已知实数m，n，满足3m2+6m﹣5＝0，3n2+6n﹣5＝0，且m≠n，求的值．
26．定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且
，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断：一元二次方程x2+14x+33＝0 “限根方程”（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x的一元二次方程x2+（k+9）x+k2+8＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足11x1+11x2+x1x2＝﹣121，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围．
