专题04 二次根式及其运算
一、选择题
1．（2024 云南）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（ ）
A．x≥0 B．x≤0 C．x＞0 D．x＜0
2．（2024 余姚市一模）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．＝3 C．＝±3 D．＝±3
3．（2024 西宁二模）下列二次根式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024 武威二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024 古浪县三模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024 广平县一模）与计算结果相同的是（ ）
A．3+2 B．3﹣2 C．3×2 D．3÷2
7．（2024 岑溪市模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C．2+＝2 D．＝2
8．（2024 内蒙古）实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则﹣（b﹣a﹣2）的化简结果是（ ）
A．2 B．2a﹣2 C．2﹣2b D．﹣2
9．（2024 定海区三模）已知，，
，…，，其中n为正整数．设Sn＝T1+T2+T3+ +Tn，则S2024值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024 镇海区校级二模）已知，则＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题
11．（2024 烟台）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．（2024 长春）计算：﹣＝ ．
13．（2024 西宁二模）已知，，则x2+2xy+y2＝ ．
14．（2025 泗洪县一模）已知m是的小数部分，则的值为 ．
三、解答题
15．（2024 甘肃）计算：×．
16．（2024 临渭区三模）计算：×．
17．（2024 青神县模拟）计算：．
18．（2024 府谷县三模）计算：．
19．（2024 榆阳区校级模拟）计算：．
20．（2024 金华模拟）已知a＝，b＝，显然ab＝1，观察下列等式：
，
，
，
（1）猜想：①＝ ．
②Pn＝ ＝ ．
（2）请证明猜想②成立．
21．（2024 广阳区二模）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ．
（2）求剩余木料的面积．
22．（2024 蓬江区校级模拟）像（+2）（﹣2）＝1， ＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①＝ ；
②＝ ；
（2）计算：（+++…+）（+1）＝ ；
（3）已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
答案与解析
一、选择题
1．（2024 云南）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（ ）
A．x≥0 B．x≤0 C．x＞0 D．x＜0
【点拨】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可求得答案．
【解析】解：∵在实数范围内有意义，
∴x≥0，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（2024 余姚市一模）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．＝3 C．＝±3 D．＝±3
【点拨】根据二次根式的性质进行化简，从而作出判断．
【解析】解：A、原式＝3，故此选项不符合题意；
B、原式＝3，故此选项符合题意；
C、原式＝3，故此选项不符合题意；
D、原式＝3，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的性质，理解二次根式的性质＝|a|是解题关键．
3．（2024 西宁二模）下列二次根式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
【解析】解：A.＝10，故不符合题意；
B.＝＝，故不符合题意；
C.＝，故不符合题意；
D.＝，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握化简二次根式是解题的关键．
4．（2024 武威二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解析】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．原式＝2，所以B选项不符合题意；
C．原式＝＝＝2，所以C选项不符合题意；
D．原式＝＝，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
5．（2024 古浪县三模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据最简二次根式的定义逐一判断，即可解答．
【解析】解：A、＝2，故A不符合题意；
B、＝6，故B不符合题意；
C、＝，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
6．（2024 广平县一模）与计算结果相同的是（ ）
A．3+2 B．3﹣2 C．3×2 D．3÷2
【点拨】利用二次根式的乘法法则即可求得答案．
【解析】解：＝×＝3×2＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（2024 岑溪市模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C．2+＝2 D．＝2
【点拨】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘法与除法的法则对各项进行运算即可．
【解析】解：A、与﹣不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、2与不属于同类二次根式，不能运算，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．（2024 内蒙古）实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则﹣（b﹣a﹣2）的化简结果是（ ）
A．2 B．2a﹣2 C．2﹣2b D．﹣2
【点拨】根据数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，可得a﹣b＜0，然后根据二次根式的性质和去括号法则计算即可．
【解析】解：由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，
∴a﹣b＜0，
∴原式＝b﹣a﹣b+a+2＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
9．（2024 定海区三模）已知，，，…，，其中n为正整数．设Sn＝T1+T2+T3+ +Tn，则S2024值是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案．
【解析】解：由题意，可得
，
，
，
……
，
∴S2024＝T1+T2+T3+ +T2024
＝
＝
＝
＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．
10．（2024 镇海区校级二模）已知，则＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【点拨】设＝a，＝b，则a2＝15+x2，b2＝19﹣x2，所以求出a2+b2＝34，2ab＝30，然后先计算（）2＝（a+b）2＝64，即可得出答案．
【解析】解：设＝a，＝b，
∴a2＝15+x2，b2＝19﹣x2，
∴a2+b2＝15+x2+19﹣x2＝34，
∵，
∴a﹣b＝2，
∴（a﹣b）2＝4，
即a2﹣2ab+b2＝4，
∴2ab＝34﹣4＝30，
∴（）2
＝（a+b）2
＝a2+2ab+b2
＝30+34
＝64，
∵a≥0，b≥0，
∴＝8．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的运算法则和换元法是解题的关键．
二、填空题
11．（2024 烟台）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x＞1 ．
【点拨】根据二次根式及分式有意义的条件即可求得答案．
【解析】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故答案为：x＞1．
【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12．（2024 长春）计算：﹣＝ ．
【点拨】根据二次根式的加减法法则进行解题即可．
【解析】解：原式＝2﹣＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．（2024 西宁二模）已知，，则x2+2xy+y2＝ 48 ．
【点拨】求出x+y＝4，再两边平方可得x2+2xy+y2＝48．
【解析】解：∵，，
∴x+y＝4，
∴（x+y）2＝（4）2，
∴x2+2xy+y2＝48；
故答案为：48．
【点睛】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式．
14．（2025 泗洪县一模）已知m是的小数部分，则的值为 4 ．
【点拨】先估算得到m＝﹣2，则＝＝+2，即＞m，利用完全平方公式得到原式＝，再根据二次根式的性质得到原式＝|m﹣|，去绝对值得原式＝﹣m+，然后把m和的值代入计算即可．
【解析】解：∵m是的小数部分，
∴m＝﹣2，
原式＝＝|m﹣|
∵m＝﹣2，
∴＝＝+2，即＞m，
∴原式＝﹣（m﹣）
＝﹣m+
＝﹣（﹣2）++2
＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，估算无理数的大小，完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键．
三、解答题
15．（2024 甘肃）计算：×．
【点拨】先算乘法，化为最简二次根式，再合并即可．
【解析】解：原式＝3﹣3
＝0．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和化为最简二次根式，合并同类二次根式．
16．（2024 临渭区三模）计算：×．
【点拨】先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可．
【解析】解：原式＝3﹣+
＝3﹣+3
＝2+3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
17．（2024 青神县模拟）计算：．
【点拨】先根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂的意义计算，再分母有理化，然后合并即可．
【解析】解：原式＝2﹣+4﹣1+
＝2﹣+4﹣1+﹣1
＝4．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
18．（2024 府谷县三模）计算：．
【点拨】先计算二次根式的乘法，绝对值，负整数指数幂，然后再进行计算即可解答．
【解析】解：
＝4+2﹣﹣2
＝6﹣3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（2024 榆阳区校级模拟）计算：．
【点拨】先化简，再去括号，然后计算加减法即可．
【解析】解：
＝7﹣3+（﹣6）﹣（﹣2）
＝
＝．
【点睛】本题考查了平方差公式，二次根式的乘法，化简绝对值．熟练掌握平方差公式，二次根式的乘法，化简绝对值是解题的关键．
20．（2024 金华模拟）已知a＝，b＝，显然ab＝1，观察下列等式：
，
，
，
（1）猜想：①＝ 1 ．
②Pn＝ + ＝ 1 ．
（2）请证明猜想②成立．
【点拨】（1）①根据分式的加法法则计算即可；
②利用（1）得出的规律猜想即可得出结果；
（2）根据分式的加法法则计算即可．
【解析】解：（1）猜想：①∵ab＝1，
∴
＝
＝
＝
＝1；
②Pn＝+＝1；
故答案为：①1；②+，1；
（2）证明：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（2024 广阳区二模）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 dm ， dm ．
（2）求剩余木料的面积．
【点拨】（1）根据平方根的定义计算即可；
（2）利用面积公式进行计算即可．
【解析】解：（1）两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为：
，
．
故答案为：dm，dm；
（2）∵这两个正方形的边长分别为：dm，dm，
∴剩余木料的面积为．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
22．（2024 蓬江区校级模拟）像（+2）（﹣2）＝1， ＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①＝ ；
②＝ ；
（2）计算：（+++…+）（+1）＝ 2020 ；
（3）已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
【点拨】（1）①将二次根式分母有理化进行计算；
②先确定分母有理化因式，然后进行计算；
（2）利用二次根式分母有理化的计算法则并通过探索数字规律进行计算求解；
（3）通过比较a，b，c的倒数，然后进行a，b，c的大小比较．
【解析】解：（1）①，
故答案为：；
②，
故答案为：；
（2）原式＝[+...+] （+1）
＝（﹣1+﹣+﹣+﹣） （+1）
＝（）（）
＝2021﹣1
＝2020，
故答案为：2020；
（3）＝＝，
同理：＝，
，
∵，
∴a＞b＞c．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构特征，理解二次根式分母有理化的计算方法是解题关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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