2024-2025学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3.已知直线过原点，将直线绕点顺时针旋转后，恰与轴重合，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知的三个内角，，成等差数列，则的值为( )
A. B. C. D.
5.一个容积为升的瓶中装满某种水溶液，从中倒出升后用水添满摇匀，再倒出升混合溶液后再用水添满摇匀，如此进行下去，若使得瓶中溶液浓度低于原来的，则至少需要倒( )
A. 次 B. 次 C. 次 D. 次
6.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上一点，若，则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.过圆内一点作互相垂直的两条直线，，与圆分别交于，，，四点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.如图，已知三棱锥的侧棱，，且，，两两所成的角均为若空间中的点，满足，，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，过圆外的动点作圆的两条切线，切点为，，则下列结论正确的有( )
A. 若点，则四边形的面积是
B. 若点，则四边形的外接圆方程是
C. 若点在直线上，则，，，所在圆的直径的最小值是
D. 当取得最小值时，点到圆心的距离为
10.已知数列满足，，若，记数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
11.如图，四面体由矩形沿对角线折叠而成，其中，，当向量和所成的角为时，下列结论正确的有( )
A. 折叠过程中四面体外接球的表面积恒等于
B. 棱的长度为
C. 平面
D. 四面体的四个面都是直角三角形，其内切球的半径是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜率为______．
13.已知数列满足，当时，，则数列的通项公式 ______．
14.如图，正方体的棱长为，点为侧面内的动点，，点在对角线上且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和满足，数列满足．
Ⅰ求数列和的通项公式；
Ⅱ若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知平面直角坐标系内的直线与直线：，平面内点向直线，作垂线，垂足分别为，，记，，定义点的“距离坐标”为．
Ⅰ当时，求点的轨迹方程．
Ⅱ“距离坐标”为的点共有几个？请写出其坐标．
Ⅲ求“距离坐标”为的点到原点的距离．
17.本小题分
已知抛物线上的点的纵坐标为，点到焦点和原点的距离相等．
Ⅰ求抛物线的方程．
Ⅱ若，是抛物线的两条不同的弦，且满足．
求证：直线，过同一个定点；
过原点作，的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的最大值．
18.本小题分
如图，三棱柱中，，，，点是棱的中点，连接，，，Ⅰ求的长；
判断直线和平面是否垂直，并证明你的结论Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，且焦点到渐近线的距离为点是双曲线上不同于，的任意一点，过点作的平分线的垂线垂足为交直线于点，为坐标原点过右焦点的直线交双曲线的右支于，两点，记，的内切圆的圆心分别为，．
Ⅰ求双曲线的标准方程，并求出直线的倾斜角的取值范围．
Ⅱ证明：，在一条定直线上．
求，到右顶点的距离之差的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：Ⅰ数列的前项和满足，
可得，
当时，，
上式对也成立，所以，；
；
Ⅱ，
数列的前项和，
，
相减可得，
即有．
16.解：Ⅰ若，则点到直线，的距离相等，
所以点的轨迹是的平分线所在直线，其轨迹方程为和．
Ⅱ当时，点在与直线平行且距离为的两条平行线上，
所以，解得，所以方程为；
当时，点在与直线平行的两条直线上，
综上所述，与的交点有个，即“距离坐标”为的点共有个，其坐标分别为，，，．
Ⅲ“距离坐标”为的点满足，
若，则，
在中，由余弦定理得，，
所以，
而是四边形外接圆的直径，
由正弦定理得，
同理，当时，，，，
综上所述，“距离坐标”为的点到原点的距离为或．
17.Ⅰ解：由题意知，，，
因为，且点的纵坐标为，
所以，
代入抛物线方程可得，解得负值已舍，
所以抛物线方程为．
Ⅱ证明：设直线的方程为，，，则，，
联立，得，
所以，
因为，所以，
即，解得，
所以直线：经过定点，
同理，直线也经过定点．
解：由题意知，，
所以，，，四点在以为直径的圆上，圆心即焦点，
当经过圆心且与垂直时，四边形的面积最大，此时四边形的面积为，
故四边形面积的最大值为．
18.解：Ⅰ由题设，，，
，
所以为等边三角形，，所以，
所以为等边三角形，
在中，由余弦定理，得，
故，
在中，由余弦定理，得，
所以．
直线平面，
证明如下：在中，由余弦定理，得，
由，可得，
由，得，
又，所以，
又，，
所以直线平面；
Ⅱ由知直线平面，又平面，
所以平面平面，
过点作平面的垂线，则，，两两垂直，
故以点为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则点，，，，
所以，，，
设平面与平面的法向量分别为，，
则，即，
取，则，，
则，
同理，，即，
则，取，则，
则，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值是．
19.解：Ⅰ因为焦点，到渐近线的距离均为，所以，
由角平分线的性质可知，
在中，是中位线，所以，
因为，所以，
又，解得，，
则双曲线的标准方程为，
易知，渐近线的倾斜角分别为，
接下来对直线的情况进行分类讨论，
当是通径时，其倾斜角；
当不是通径时，设直线方程为，
联立，得，
此时，由韦达定理得，，
所以，解得或，
综上所述，；
Ⅱ证明：设在第一象限内，内切圆与，，的切点分别为，，，
则，，，所以，
因此，切点是右顶点，所以圆心在直线即上；
同理，圆心也在直线即上，从而，在直线即上．
(ⅱ)解：由知，都垂直于，且，平分，．
易知，．
当时，，到右顶点的距离之差为．
当时，在，中，因为，所以，
则，，所以．
因为，
所以．
又，且，即或，所以或．
综上所述，，到右顶点的距离之差的取值范围是．
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