重庆市外国语学校 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量 = (1, , 2)， = ( 2,1,2)，若3 与 垂直，则| |等于( )
√ 6 5√ 3 √ 21
A. B. C. √ 6 D.
2 2 2
2 2
2.已知双曲线 = 1的一个焦点坐标为(4,0)，则 的值为( )
1 9
A. 24 B. 25 C. 7 D. 8
3.已知等比数列{ }满足 2 = 2， 6 = 6，则 4的值为( )
A. 4 B. 2√ 3 C. 2√ 3 D. ±2√ 3
4.已知抛物线 ： 2 = 8 的焦点为 ，点 在 上，若 到直线 = 3的距离为5，则| | =( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
5.已知直线 ：3 + 4 + 2 = 0上有动点 ，点 为圆 2 + ( 2)2 = 1上的动点，则| |的最小值为( )
1 3
A. B. 1 C. D. 2
2 2
2 2
6.若椭圆 + 2 = 1 ( > 1)与双曲线
2 = 1 ( > 0)有相同的焦点 1、 2， 是两曲线的一个交点，则
△ 1 2的面积是( )
1
A. 4 B. 2 C. 1 D.
2
7.已知正方体 1 1 1 1的棱长为1， 为棱 1 1的中点， 为侧面 1 1的中心，点 ， 分别为
直线 ， 上的动点，且 ⊥ ，当| |取得最小值时，点 到平面 的距离为( )
√ 6 √ 5 √ 3
A. B. C. 1 D.
2 2 2
8.设数列{ }的前 项和为 ，若 + +1 = + 1且存在正整数 ，使得 = +1 = 90，则 1的取值集合
为( )
A. { 9,9} B. { 9,10} C. { 10,9} D. { 10,10}
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线 ：( 2) + 2 + 1 = 0与圆 ： 2 + 2 6 4 + 4 = 0，下列说法正确的是( )
A. 直线 过定点(3,2) B. 直线 与圆 不可能相切
C. 直线 被圆 截得的弦长的最小值为6 D. 圆上一点到点 (0, 2)的最大距离为8
10.已知数列{ }的前 项和 = ( + 1)
2，则( )
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A. 1 = 4
B. = 2 + 1
C. 数列{( 1) + }的前2 项和为(2 + 1)
2
1 1 1 1 11
D. + + + + =
1 2 2 3 3 4 11 12 75
11.已知曲线 过原点，且除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点的横纵坐标之积的比值为
定值 ( > 0)，下列结论正确的是( )
A. 曲线 关于 = 对称
B. 若点(1,1)在曲线 上，则其方程为( 2 + 2)3 = 2√ 2
2
C. 对于任意 ，曲线 围成的图形的面积一定小于
8
D. 存在 ∈ (2,6)，使得曲线 上有5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.直线 1： + 3 + 1 = 0， 2： + ( 2) 1 = 0，当 1// 2时，直线 1与 2之间的距离为______．
2 2
13.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ，在双曲线左支上取一点 ，若直线 与以双曲
线实轴为直径的圆相切于 ，若向量 = 2 ，则双曲线 的离心率为______．
14.已知数列{ }是公差为2的等差数列，{ }是公比为3的是等比数列，且 1 = 1 = 3，设 = + +1
+2 + + ，则
+3 + = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{ }满足 1 = 1， +1 = 3 + 4．
(1)求证：数列{ + 2}是等比数列；
(2)设 = ( + 2)求{ }的前 项和 ．
16.(本小题15分)
设 为实数，圆 的方程为 2 + 2 + 2 6 + = 0．
(1)若圆 2 + 2 = 9和圆 的公共弦长为√ 26，求 的值；
(2)若过点(4, 1)的圆 与圆 相切，切点为(1,2)，求圆 的标准方程．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 1 中，底面 是菱形，∠ = 60°， 是 的中点，且 1 ⊥平面 ， =
1 = 2．
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(1)求证： ⊥平面 1 ；
(2)求平面 1 与平面 1 夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
2 2 1
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，过椭圆 右焦点并垂直于 轴的直线 交椭圆 于 ， (点 2
3
位于 轴上方)两点，且△ ( 为坐标原点)的面积为 ．
2
(1)求椭圆 的标准方程；
9
(2)若直线 交椭圆 于 ， ( , 异于点 )两点，且直线 与 的斜率之积为 ，求点 到直线 距离的最大
4
值．
19.(本小题17分)
设数列 ： 1， 2，…， ( ≥ 2).如果对小于 (2 ≤ ≤ )的每个正整数 都有 < ，则称 是数列 的
一个“ 时刻”，记 ( )是数列 的所有“ 时刻”组成的集合．
(Ⅰ)对数列 ： 2，2， 1，1，3，写出 ( )的所有元素；
(Ⅱ)证明：若数列 中存在 使得 > 1，则 ( ) ≠ ；
(Ⅲ)证明：若数列 满足 1 ≤ 1( = 2,3,… , )，则 ( )的元素个数不小于 1．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2√ 2
12.【答案】
3
√ 13
13.【答案】
2
14.【答案】2 × 3 + ( + 2)
15.【答案】解：(1)证明：因为 +1 = 3 + 4，
所以 +1 + 2 = 3 + 6，即 +1 + 2 = 3( + 2)，
又因为 1 = 1，
所以 1 + 2 = 3 ≠ 0， + 2 ≠ 0，
所以 +1
+2
= 3，
+2
故数列{ + 2}是以首项为3，公比为3的等比数列．
(2)由(1)可知， + 2 = 3 × 3
1 = 3 ，即 = 3
2，
所以 = ( + 2) = (3
2 + 2) = 3 ．
所以 = 1 + 2 + 3 + + 1 +
= 1 × 31 + 2 × 32 + 3 × 33 + + ( 1) × 3 1 + × 3 ，①
3 = 1 × 32 + 2 × 33 + 3 × 34 + + ( 1) × 3 + × 3 +1 ,②
3(1 3 ) (2 1) 3 +1 3
由① ②，得 2 = 3
1 + 32 + 33 + + 3 × 3 +1 = × 3 +1 = ，
1 3 2
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(2 1) 3 +1+3
所以 = ． 4
(2 1) 3 +1+3
故{ }的前 项和为 ． 4
16.【答案】解：(1)圆 的方程为 2 + 2 + 2 6 + = 0，圆 ： 2 + 2 = 9；
两圆方程相减可得，2 6 + + 9 = 0，即两圆公共弦所在直线方程2 6 + + 9 = 0，
| +9| | +9|
圆 2 + 2 = 9和圆 的公共弦长为√ 26，圆心 到直线2 6 + + 9 = 0的距离为
= =
2 2 2√ 10， √ 2 +6
√ 26 | +9|
所以9 = ( )2 + ( )2，解得 = 1或 19，
2 2√ 10
所以实数 的值为1或 19．
(2)过点(4, 1)的圆 与圆 相切，切点为(1,2)，
可将点 (1,2)代入圆 ： 2 + 2 + 2 6 + = 0，可得 = 5，
所以圆 的方程为 2 + 2 + 2 6 + 5 = 0，即( + 1)2 + ( 3)2 = 5，
所以圆 的圆心为( 1,3)，半径为√ 5，
设圆 的标准方程为( )2 + ( )2 = 2，
因为圆 与圆 相切于点 ，所以 、 、 三点共线，
2 3
所以直线 的方程为 2 = ( 1)，即 + 2 5 = 0，
1+1
将点 ( , )代入得 = 5 2 ①，又点 (4, 1)在圆 上，
则| | = | | = ，即√ ( 4)2 + ( + 1)2 = √ ( 1)2 + ( 2)2②，
由①②两式解得， = 3， = 1， = √ 5，
所以圆 的标准方程为( 3)2 + ( 1)2 = 5．
17.【答案】解：(1)证明：在菱形 中，连接 ，得等边△ ，
因为 是 的中点，所以 ⊥ ，因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 1 ⊥ ，
因为 1 平面 1 ， 平面 1 ，且 1 ∩ = ，
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所以 ⊥平面 1 ；
(2)因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，
则有 1 ⊥ ，
由(1)知 ⊥ 1 ， ⊥ ，故 AE， 1 ， 两两垂直，
如图建立空间直角坐标系 ，因为 = = ，所以△ 为等边三角形，同理△ 也为等边
三角形，
则 1(0,0, √ 3)， ( 1,0,0)， (0, √ 3, 0)，
设平面 1 的一个法向量为 = ( , , )，
= + √ 3 = 0,
则{
1 = √ 3 √ 3 = 0,
令 = 1，得 = ( √ 3, 1,1)，
又因为 ⊥平面 1 ，所以平面 1 的一个法向量为 = (1,0,0)，
| | √ 15
所以|cos < , > | = = ，
| | | | 5
故平面 1 与平面
√ 15
1 夹角的余弦值为 ．
5
2
18.【答案】解：(1)由题意可得 ( , )，
1
= =
2
所以由题意可得{ 2 且
2 = 2 2，解得 2 = 4， 2 = 3，
1 2 3
=
2 2
2 2
所以椭圆的方程为： + = 1；
4 3
3
(2)由(1)可得 (1, )，设 ( 1, 1)， ( 2, 2 2)，
当直线 的斜率不存在时，设其方程为 = 0，
( 2 < 0 < 2且 0 ≠ 1)，
= 0
联立{ 2 2 ，
+ = 1
4 3
= 0
得{ 2 ，
2 = 3(1 )
4
1 = 2 = 0
因为{ 1 =
，
2
3 3
9
所以 1 2 2 2 = = ， 1 1 2 1 4
即2 20 3 0 + 1 = 0，
1 1
解得 0 = 或 0 = 1(舍)，此时点 到直线 的距离为 ； 2 2
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当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： = + ，
= +
联立可得{ 2 2 且整理可得：(3 + 4 2) 2 + 8 + 4 2 12 = 0，
+ = 1
4 3
△= 64 2 2 4 (4 2 + 3) (4 2 12) > 0，
8 4 2 12
且 1 + 2 = 2， 1 2 = 2 ，
3+4 3+4
3 3
9 3 3 9
=
1 2
2 2 = ，整理可得：( 1 )( 1 ) = ( 1 1)( 2 1)， 1 1 2 1 4 2 2 4
9 3 9 3 9
整理可得( + 2) 1 2 + [ ( ) ]( 1 +
2
4 2 4 2
) + ( ) + = 0，
2 4
9 3
整理可得2 2 + 4 2 3 + 6 = 0，即( + )(2 + 4 + 3) = 0，
2 2
3
+ = 0或2 + 4 + 3 = 0，
2
3 3 3
若 + = 0，则直线方程为： = ( 1)，直线 恒过 (1, )，与 点重合，舍去；
2 2 2
3 1
若2 + 4 + 3 = 0，则直线方程为： + = ( )，
4 2
1 3
所以直线 恒过定点 ( , )；
2 4
1 2 3 3 √ 85所以 到直线 的距离的最大值为| |的值为√ (1 ) + [ ( )]2 = ，
2 2 4 4
√ 85
综上可得，点 到直线 距离的最大值 ．
4
19.【答案】解：(Ⅰ)根据题干可得， 1 = 2， 2 = 2， 3 = 1， 4 = 1， 5 = 3， 1 < 2满足条件，2满
足条件， 2 > 3不满足条件，3不满足条件， 2 > 4不满足条件，4不满足条件， 1， 2， 3， 4，均小于
5，因此5满足条件，因此 ( ) = {2,5}．
(Ⅱ)因为存在 > 1，设数列 中第一个大于 1的项为 ，则 > 1 ≥ ，其中2 ≤ ≤ 1，
所以 ∈ ( )， ( ) ≠ ；
(Ⅲ)设 数列的所有“ 时刻”为 1 < 2 < < ，
对于第一个“ 时刻” 1，有 > 1 ≥ ( = 2,3,… , 1 1 1)，则
≤ ≤ 1． 1 1 1 1 1
对于第二个“ 时刻” 2，有 > ≥ ( = 2,3,… , 2 1)，则 2 1
≤ ≤ 1． 2 1 2 2 1
类似的 ≤ 1，…， 3 2 ≤ 1． 1
于是， ≥ ( ) + ( 1 ) + + ( ) + ( ) = ． 1 2 2 1 1 1 1
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若 ∈ ( )，则 = ．
若 ( )，则 ≤ ，
从而 ≥ 1 ≥ 1．
则 ( )的元素个数不小于 1．
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