2024-2025学年北京五中通州校区九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组长度的线段单位：中，成比例线段的是( )
A. 2，3，4，5 B. 1，3，4，10 C. 2，4，5，10 D. 1，5，3，12
2.下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是( )
A. B.
C. D.
3.两地的距离是500米，地图上的距离为10厘米，则这张地图的比例尺为( )
A. 1：50 B. 1：500 C. 1：5000 D. 1：50000
4.与的相似比为1：3，则与的面积比为( )
A. 1：3 B. 1：4 C. 1：9 D. 1：16
5.如图，已知直线，直线m、n分别与直线、、分别交于点A、B、C、D、E、F，若，，则的值为( )
A. B.
C. D.
6.下列函数中，是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形阴影部分与相似的是( )
A. B. C. D.
8.如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高，测得，，则建筑物CD的高是( )
A. B. 17m
C. D. 18m
二、填空题：本题共9小题，共19分。
9.若，则的值为______.
10.如图，四边形ABCD和相似，已知，，，则______
11.如图，在中，D为AB边上的一点，要使∽成立，还需要添加一个条件为______.
12.已知∽，且面积比为9：4，则与的对应角平分线之比为______.
13.二次函数的一次项系数是______.
14.如图，在中，D、E分别是AB、BC上的点，且，若：：3，则：______.
15.如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知，则线段AE的长度为______.
16.数学中，把这个比例称为黄金分割比例.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分割点，若线段AB的长为8cm，则BP的长为______
17.在《数书九章》宋秦九韶中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上.已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为______米.
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题8分
已知线段a、b、c，且若线段a、b、c满足，求的值.
19.本小题8分
如图，AC，BD相交于点O，，求证：∽
20.本小题8分
如图，已知，点E、F在线段BD上，，
求证：∽；
若，，求EF的长．
21.本小题8分
如图，在中，，，D是AC上一点，，，连接AE，求CD的长.
22.本小题8分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上.
______
判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由.
求：
23.本小题8分
如图，用长为18m的篱笆虚线部分，两面靠墙围成矩形的苗圃.
设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式；
上述函数是什么函数？
并写出自变量x的取值范围；
当时，所围苗圃的面积是多少？
24.本小题8分
如图，在中，，，，过点C作AB的平行线交的平分线于点D，BD交边AC于点E，求DE的长．
25.本小题8分
如图，已知，，是直角坐标系平面上三点．
把向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到，画出平移后的图形；
若内部有一点，则平移后它的对应点的坐标为______；
以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．
26.本小题8分
如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动．设点P，Q运动的时间为当与相似时，t的值是多少？
27.本小题8分
在中，，，点D在射线BC上不与点B、C重合，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转得到DE，连接
如图1，点D在BC边上．
①依题意补全图1；
②作交AB于点F，若，，求BE的长；
如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系直接写出结论
28.本小题8分
定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题：
如图1，中，AD是角平分线，且，求证：是倍角三角形；
如图2，已知是倍角三角形，且，，，求AC的长；
如图3，已知中，，，，求AC的长．
答案和解析
1.C
2.D
3.C
4.C
5.B
6.D
7.B
8.A
9.
10.80
11.或或
12.3：2
13.
14.1：6
15.12
16.
17.
18.解：设，
所以，，，
，
，
解此方程得，
则，，，
则
19.证明：，BD交于点O，
，
，
∽
20.证明：，
，
，，
：：，
∽；
解：，，
，
，
21.解：，
，
，
∽，
，
，，，
，
22.解：，，
，
，
故答案为：135；
与相似，
理由：由同理可得，
，
，，
，
，
∽；
，
：
23.解：由已知，矩形的另一边长为，
则，
即；
是二次函数；
根据实际意义，得，
解得：，
自变量x的取值范围为；
把代入，
得，
答：当时，所围苗圃的面积是
24.解：，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
在中，，
，
25.如图所示，即为所求；
向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到，
点的对应点的坐标为，
故答案为：；
如图所示，即为所求．
26.解：根据题意可得，，
当∽时，，
即，
解得；
当∽时，，
即，
解得
综上所述，当与相似时，t的值是或
27.解：①补全图形，如图1所示．
②如图1②，
由题意可知，
，
，，
≌
在和中，
，，
，
即
解：如图，过点E作，垂足为F，
由题意得，，，
，
，
又，
≌，
，，
，
，，
，
，
28.证明：是的角平分线，
，
，
，
，
∽，
，
，
是倍角三角形；
解：如图2，作的角平分线AD，则，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
；
解：如图3，过点A作的三等分角，AD，AE，分别交BC于点D，E，
则，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
