2024~2025学年度第一学期期末学业质量测试
九年级 数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标上“大”“美”“海”“安”四个汉字，随机摸出一个小球，摸出的小球上的汉字是“美”的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，则和的相似比为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点都在上，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．55°
5．我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为步，则所列的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（ ）
… 1 …
… 3 …
A． B． C． D．
7．如图，将绕点顺时针方向旋转到，点的对应点恰好落在上，且．若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C45° D．36°
8．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，菱形中，，点在延长线上，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
10．已知二次函数的图象上有和两点，且，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．若点与关于原点对称，则__________．
12．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是__________．
13．将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为__________．
14．用半径为15，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为__________．
15．如图，为的弦，，交于点，垂足为，，则的半径长为__________．
16．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在边上，连接，则的长度为__________．
17．如图，左右并排的两颗大树的高分别为m，m，两树底部的距离m，点与树的根部点，点在一条直线上，m，小颖估计自己的眼睛（点）离地面m，她从点出发沿方向前进到点时，恰好看不到树顶，则的长为__________m．
18．如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，若，则的值为__________．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分10分）
选择适当的方法解下列方程：
（1）； （2）．
20．（本小题满分12分）
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
（1）画出关于原点的中心对称图形．
（2）画出将绕点顺时针旋转得到的．
（3）若由绕着点旋转得到的，则点的坐标为__________．
21．（本小题满分10分）
如图，是四个连续的排成一排的座位，靠过道．
（1）甲选择靠过道位置的概率为__________．
（2）甲先从4个座位中随机选择一个坐下，乙再在剩下的三个座位中随机选择一个坐用画树状图（或列表）的方法，求甲乙两人座位相邻且乙靠过道的概率．
22．（本小题满分10分）
如图，已知反比例函数的图象与直线交于点，两点分别在轴和轴的正半轴上， ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，直接写出反比例函数的取值范围__________．
23．（本小题满分10分）
如图，是的直径，点在外，与相交于点，与的延长线相交于点，且，与相交于点，．
（1）求的长；
（2）若，求阴影部分的面积．
24．（本小题满分12分）
海安滨海新区是驰名中外的“紫菜之乡”，拥有15万亩海上养殖基地，所产干紫菜销往世界各地．某超市1月份以20元/袋的价格购进一批紫菜，经市场调查后发现，这种紫菜的月销售量（袋）与售价（元/袋）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）设该紫菜的总销售利润为元，若要使销售利润最大，售价应定为多少元？该月进货数量多少袋？
（3）若该超市想要获利不高于进价的，则售价定为多少元时，销售利润达到最大？
25．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）．
（1）若，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求的取值范围．
（3）已知二次函数，当时，的取值范围为，求的取值范围．
26．（本小题满分13分）
综合与实践：
【回归教材】
（1）如图1，，都是等边三角形，则存在__________（填“”或“”）．
【变式思考】
在等腰中，，，点为中点．点为上的动点，连接，将射线绕点顺时针旋转角后得到射线，过点作的垂线，与射线交于点，连接．
（2）如图2，当时，猜想与的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图3，若，分析当的度数一定时，的值是否变化？
