2023-2024学年天津五十中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞2 C．x≥2 D．x≠2
2．（3分）下列各图能表示y是x的函数是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（6，0）、（8，5），则顶点D的坐标是（ ）
A．（5，5） B．（5，3） C．（2，5 ） D．（3，5）
4．（3分）若xy＜0，则化简后的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则原四边形必定是（ ）
A．正方形
B．对角线相等的四边形
C．菱形
D．对角线相互垂直的四边形
6．（3分）实数a在数轴上的位置如图所示，则+化简后为（ ）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
7．（3分）如果下列各组是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．9，40，41 B．5，12，13
C．0.3，0.4，0.5 D．8，24，25
8．（3分）已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是（ ）
A． B．16 C． D．8
9．（3分）在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．2
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．4.5
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．（3分）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ．
14．（3分）△ABC如图所示，已知AC＝8，AB＝7，BC＝5，则C到直线AB的距离是 ．
15．（3分）如图（1）是长方形纸片，∠DEF＝21°，将纸片沿EF折叠成图（2）的形状，则图（2）中的∠CFG的度数是 ．
16．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 平方单位．
17．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
18．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝AC＝2，点E、F是AB，AD边上的动点，且AE＝DF，则EF长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（6分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
21．（6分）如图，在 ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
22．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
23．（6分）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．
24．（6分）如图，在 ABCD中，已知E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AB＝CF；
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．
25．（8分）【问题解决】
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】
如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．
2023-2024学年天津五十中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D D D D A D C D D B
题号 12
答案 C
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得，x≥2，
故选：C．
2．【解答】解：A、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故A选项错误；
B、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故B选项错误；
C、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故C选项错误；
D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以y是x的函数，故D选项正确．
故选：D．
3．【解答】解：∵A、B、C的坐标分别为（1，0）、（6，0）、（8，5），
∴D点纵坐标为：5，横坐标为：3，
故选：D．
4．【解答】解：∵x2y≥0，
∴y≥0，
∵xy＜0，
∴x＜0，y＞0，
∴＝﹣x．
故选：D．
5．【解答】证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH＝90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠FEH＝∠OMH＝90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH＝∠COB＝90°，
即AC⊥BD．
故选：D．
6．【解答】解：由数轴上点的位置，得
4＜a＜8．
+＝a﹣3+10﹣a＝7，
故选：A．
7．【解答】解：A、92+402＝412，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B、∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
C、∵0.32+0.42＝0.52，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
D、82+242≠252，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
8．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AO＝CO，AC⊥BD，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC＝4，
∴AO＝2，AB＝AC＝4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：DO＝BO＝＝＝2，
∴BD＝4，
∴菱形ABCD的面积S＝AC×BD＝4×4＝8，
故选：C．
9．【解答】解：∵AB2＝22+42＝4+16＝20；
AC2＝22+12＝4+1＝5，
BC2＝32+42＝9+16＝25，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠BAC＝90°，
∴S△BAC＝AB×AC＝××＝5，
∵同一三角形面积相等，
S△BAC＝BC AD＝×5×AD＝5，
∴AD＝2．
故选：D．
10．【解答】解：设Rt△ABC的斜边BC上的高为h．
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴h＝＝，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴AM＝EF＝AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于，
∴AM的最小值是．
故选：D．
11．【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DE＝BC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
12．【解答】解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，
则点P、M使PE+PM取得最小值，
PE+PM＝PE′+PM＝E′M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点E′在CD上，
∵AC＝6，BD＝6，
∴AB＝＝3，
由S菱形ABCD＝AC BD＝AB E′M得×6×6＝3 E′M，
解得：E′M＝2，
即PE+PM的最小值是2，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．【解答】解：＝＝3，
∵是整数，
∴n的最小值是3，
故答案为：3．
14．【解答】解：如图所示，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠BDC＝90°，
设AD＝x，则BD＝7﹣x，
Rt△ACD中，CD2＝AC2﹣AD2，
Rt△BCD中，CD2＝BC2﹣BD2，
∴BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，
即52﹣（7﹣x）2＝82﹣x2，
解得x＝，
∴AD＝，
Rt△ACD中，CD＝＝＝，
∴C到直线AB的距离是．
故答案为：．
15．【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝21°，
由折叠可得：∠EFC＝180°﹣21°＝159°，
∴∠CFG＝159°﹣21°＝138°，
故答案为：138°
16．【解答】解：如图，延长DC和FE交于点G，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴BF＝CG，
∵∠B＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝BE＝1，
∴EF＝，
∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，
∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴DG⊥FG，
∴S△DEF＝EF DG＝××4＝2．
故答案为：2．
17．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝＝，
∴GH＝BF＝，
故答案为：．
18．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠EAC＝∠D＝60°，
在△EAC和△FDC中，
，
∴△EAC≌△FDC，
∴EC＝CF，∠ACE＝∠DCF，
∴∠ECF＝∠ACD＝60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴CE＝EF＝CF，
∵CE⊥AB时，线段CE最小，最小值为×2＝，
∴EF的最小值为．
故答案为．
三、解答题（本大题共7小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．【解答】解：（1）＝
＝
＝
（2）
＝
＝
＝
＝＝．
20．【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：＝24（米）；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），
根据勾股定理得：25＝，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
21．【解答】证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF．
即EO＝FO．
∴四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
22．【解答】解：连接AC．
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝＝，
在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝AB BC+AC CD，
＝×1×2+××2，
＝1+．
故四边形ABCD的面积为1+．
23．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥DB，且EC＝DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD＝DB＝CD．
∴EC＝AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠AOD＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠AOD＝∠ACB＝90°．
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，
∴AD＝DB＝CD＝6．
∴AB＝12，由勾股定理得．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE＝BC＝6．
∴．
24．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形．
∴ABIIDF．
∴∠BAF＝∠CFA．
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE．
在△AEB和△FEC中．
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF；
（2）解：当BC＝AF时四边形ABFC是矩形．
理由：∵AB＝CF．AB//CF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
∵BC＝AF．
∴四边形ABFC是矩形．
25．【解答】解：（1）思路一、如图1，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，
在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝2，
∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝2，
∵AP＝1，
∴AP2+PP'2＝1+8＝9，
∵AP'2＝32＝9，
∴AP2+PP'2＝AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，
∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°；
（2）如图2，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝，
在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1，
∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝，
∵AP＝3，
∴AP2+PP'2＝9+2＝11，
∵AP'2＝（）2＝11，
∴AP2+PP'2＝AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，
∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．
