灵璧县第三中学2024-2025学年九年级上学期期末训练数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列函数中，变量是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为（ ）
A． B． C． D．
4．如果点，，都在反比例函数的图象上，那么，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，，如果，，那么的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7. 如图，已知正方形的面积为4，它的两个顶点，是反比例函数的图象上两点，若点的坐标是，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
9. 如图，为矩形的中心，将直角的直角顶点与重合，一条直角边与重合，使三角板沿逆时针方向绕点旋转，两条直角边始终与边，相交，交点分别为，．若，，，，则与之间的函数图象是
A． B．
C． D．
10．如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点，过点作交于点，交延长线于点，连接．若点恰好是中点时，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 若，则 ．
12．书籍和纸张的长与宽的比值都有固定的尺寸，即同一系列的纸张长与宽的比均相同．将如图所示的纸张沿长边对折裁剪，得到两张型号纸张．若与原纸张属同一系列纸张，则该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为 ．
13．小球从点入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球最终从点落出的概率为 ．
14．如图，在正方形中，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
（1）点的坐标为 ；
（2）若点是反比例函数图象上的一点，且正方形，则点的坐标为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：．
16．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．画出木杆在轴上的投影，并求出其投影长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．在平面直角坐标系内，的位置如图所示．
（1）画出与关于轴对称的；
（2）以原点为位似中心，在第四象限内作出的位似图形，且与的相似比为．
18. 若，是菱形两条对角线的长，且，是一元二次方程的两个根，求菱形的周长.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．一张圆桌旁设有4个座位，甲先坐在了如图所示的座位上，乙、丙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．
（1）丙坐在②号座位的概率是 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙与丙不相邻而坐的概率．
20．如图，在矩形中，，，在边上，关于直线的对称点为点，当点在边上时，连接，求的面积.
六、(本题满分12分)
21．如图，已知点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，，在轴的两侧，，的纵坐标分别为，．
（1）若，求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的值．
七、(本题满分12分)
22．时值毕业季，某网络购物直播间一款标价元的文化衫，五月份第一周的销售量达到了万件，到第三周的时候增加到万件．
（1）这款文化衫每周销售量的平均增长率是多少？
（2）6.18年中大促活动开始后，该直播间推出了如下促销方法：买1件单价59元，买2件每件均为58元．依此类推，即每多买一件，所买各件单价均再减1元，直至单价减至30元件为止．小丽负责为她所在的班级女生订购这款文化衫，她对比了另一家网店同款文化衫的促销活动：一律按标价60元件的七五折销售，发现在直播间购买要比在网店购买便宜126元．小丽准备订购多少件这种文化衫？
八、(本题满分14分)
23. 如图，是正方形的对角线，点，分别是和延长线上的点，是等腰直角三角形，，与，分别交于点，，与交于点.
（1）求证：；
（2）若，求证：平分；
（3）若，，求的值.九年级上册综合
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．【答案】C
【解析】对于A，为正比例函数，不符合题意；对于B，与成反比例，不符合题意；对于C，符合反比例函数的定义，符合题意；对于D，为正比例函数，不符合题意. 故选C．
2．【答案】B
【解析】方程整理得，配方得，即．故选B．
3．【答案】A
【解析】由该几何体的俯视图与左视图，得这个几何体可能为：．故选A．
4．【答案】B
【解析】，函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，，，，，，. 故选B．
5．【答案】C
【解析】，，．，，，．故选C．
6．【答案】B
【解析】长与宽和为60步，长比宽多步，长为步，宽为步，则由题意得
．故选B．
7. 【答案】D
【解析】正方形的面积为4，．点的坐标是，．，是反比例函数上的点，，．故选D．
8．【答案】A
【解析】四边形是菱形，，，，，，，，，，，，故选A．
9. 【答案】C
【解析】如图，过点分别作于，于，，
，，，. ，，，，，，，，，，
，，，. 故选C．
10．【答案】D
【解析】如图，作于，四边形是正方形，和是等腰直角三角形，，，，. ，，，，，是等腰直角三角形.，，，，，，
是等腰直角三角形，，，，
，，．故选D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 【答案】
【解析】，，，，，.
12．【答案】
【解析】设型号纸张的长为，宽为，则原纸张的长为，宽为，由题意得，，，，，，该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为.
13．【答案】
【解析】由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有，，，四个，最终从点落出的概率为．
14．【答案】（1）；（2分） （2）或. （3分）
【解析】（1）点的坐标为，点的纵坐标为，把代入得，，
解得，点的坐标为；（2），,四边形是正方形，.
设点到的距离为．，，解得，①当点在第二象限时，，此时,点的坐标为；②当点在第四象限时，，此时，点的坐标为．综上所述，点的坐标为或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解：原方程化简，得，
，，，，
，，．（8分）
16．解：如图，连接，并延长分别交轴于点，，
则线段就是木杆在轴上的投影．（3分）
过点作轴，垂足为，交于点，
，，，，，.
， ，，即，．
答：木杆在轴上的投影长为6．（8分）
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．解：（1）如图，即为所作；（4分）
（2）如图，即为所作．（8分）
18. 解：，为一元二次方程的两根，，，
，
菱形的边长为，菱形的周长为．（8分）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．解：（1）甲坐了一张座位，丙坐在②号座位的概率是，
故答案为：；（4分）
（2）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，乙与丙不相邻而坐的结果有2种，
则乙与丙不相邻而坐的概率为．（10分）
20．解：如图，连接，，四边形是矩形，，，
，，. （4分）
关于直线的对称点为点，且点在边上，垂直平分，
，，，，
，，，. （10分）
六、(本题满分12分)
21．解：（1）∵轴，，在轴的两侧，
，的纵坐标分别为，，
，，，，∴，.
，∴，
又∵，∴四边形为平行四边形；（6分）
（2）∵，，，，整理得，
由①②得，解得，的值为. （12分）
七、(本题满分12分)
22．解：（1）设这款文化衫每周销售量的平均增长率是，
根据题意得，，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：这款文化衫每周销售量的平均增长率是；（4分）
（2）设小丽准备订购件这种文化衫．
当时，，整理得，
解得，（不符合题意，舍去）；（8分）
当时，，解得（不符合题意，舍去）．
答：小丽准备订购21件这种文化衫．（12分）
八、(本题满分14分)
23. 解：（1）是正方形的对角线，，
是等腰直角三角形，则，.
又，，即，
；（4分）
（2），. 又，，
. 在和中，，，
，平分；（8分）
（3）如图，过点作交于点.
，则，，.
易知是等腰直角三角形，.
在和中，，，，
，，，，，
是斜边上的高线，是等腰直角三角形，则，
. 又，，.
在中，，，则.
在中，，解得，. （14分）
