2024—2025学年下期九年级第一次阶段检测
数 学 科 试 卷
（考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷）
★友情提示：① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效；
② 试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是
A． B．
C． D．
2．“购买一张体育彩票，中奖”这个事件是（ ）
A．必然事件 B．确定事件 C．随机事件 D．不可能事件
3．已知⊙O的半径为6，在⊙O外取一点P，连接OP，则OP的长可以是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是
A． B． C． D．
5．如图，的内接正六边形的边长为1，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．关于反比例函数 , 下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象是双曲线 B．y的值随x的值增大而减小
C．它的图象在第一、三象限 D．若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上
7.将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则得到的抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在圆上，∠E=25°，则∠D=（ ）
A．115° B．125° C．105° D．65°
9．中国选手郑钦文顺利入围年年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：
①；
②；
③若且，则；
④当是等腰直角三角形时，则；
⑤若，是一元二次方程的两个根，且，则．
其中正确的有 个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11.已知点与点关于原点对称，则______．
12．若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ．
13．已知是关于的方程的一个根，则 ．
14.已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是_____________
15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为______．
16.如图，AB为直径，，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，于M，当C、D在圆上运动时保持，则CD的长________
解答题：本题共9小题，共86分．
17．（8分）解方程：．
18．（8分）在下面的网格（每个小正方形的边长为中按要求画出图形并解答：
（1）试在图中作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形△，并求出线段在旋转过程中所扫过的面积；
（2）作出关于原点对称的△，并直接写出点的坐标
19．（8分）某省将于2024年整体实施高考综合改革。其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”模式：“3”为全国统一考试科目语文，数学，外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门。
首选科目选择物理的概率为 .
某同学物理成绩优异，首选科目为物理，现还需从再选科目中任意选择两门，请用画树状图或列表的方法，求出该同学恰好选中化学、地理两科的概率。
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．
21．（8分）2025年是农历蛇年，含有“蛇”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“蛇”元素饰品，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
22.（10分） 如图，为的直径，点C，D为圆上两点，，且有平分，过C作于E．
求证：为的切线
若，求半径．
23．（10分）【问题提出】
（1）如图1，为的弦，在上找一点并画出，使点到的距离最大；（不需要说明理由）
【问题探究】
（2）如图2，在扇形中，点为扇形所在圆的圆心，点为上一动点，连接，，与交于点，若，，求的最大值；
【问题解决】
（3）某公园有一圆形水池（如图，、是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口在水池边上（即点在上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为100元，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本．
24（12分）．【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由；
【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系；
【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．
25.（14分）如图，二次函数的图象交x轴于A（，0），B（2，0），交y轴于C（0，），过A，C画直线AC.
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，有，求OP的长；
（3）若M为线段OB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N，当点M运动到何处时，四边形ACNB的面积最大 求出此时点M的坐标及四边形ACNB面积的最大值.
数学试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．B； 2．C； 3．D； 4．A； 5．C；
6．B； 7．C； 8．A； 9．D； 10．C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 2； 12．5； 13．11；
14． -1和3（= -1，=3） ； 15．（2, 1）； 16．1.5
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（本题满分8分）
【解答】解：分解因式得：，
可得或，
解得：，．
18.【解答】解：（1）如图，△即为所求．
，
扇形的面积为，
即线段在旋转过程中所扫过的面积为．
（2）如图，△即为所求．
由图可得，点的坐标为．
故答案为：．
19.解：（1）0.5
（2）画树状图如下：
共有12种结果，并且各种结果的可能性相同，其中该同学恰好选中化学、地理两科记为事件A，共有2种结果。∴P（A)=.
20.【解答】解：（1）由题意可知：△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2
∵（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）由题意可知：x＝m﹣1或x＝1
∵方程有一个根为负数，
∴m﹣1＜0．
∴m＜1．
21.【解答】解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每次上涨的百分率为．
（2）由题意，设每个售价为元，
每天的利润
．
当时，每天的最大利润为6125．
每个应降价元，即每个应降价20元．
答：每个应降价20元，才能使每天利润达到最大，最大利润为6125元．
22.（1）证明：如图：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即，
∵是半径，
∴为的切线．
（2）解：如图∶连接，过C作于F．
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴
设半径为R，则在中，，
∴，解得：．
23.解：（1）过点作的垂线，交优弧于点，点即为所求；
（2）过点作交于点，
，是半径，不会随着点的运动而改变，
当有最小值时，有最大值，
即当时，最小，此时最大，
，
，
，
，
的最大值为4；
（3）当经过圆心时，四边形面积最大，
根据垂径定理可得，，
，
，
，
由勾股定理可得，
解得，
修建和两座小桥的总成本为：（元．
24.解：（1）如图1，
∵，，
∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，如图1，
∵，
∴，点F，D、G共线，
则，，
，
即，
在和中，，
∴，
∴；
（2），理由如下：如图2，
∵，，
∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，点F、D、G共线
在和中，，
∴，
∴，
即：，
（3），
理由是：把旋转到的位置，连接，则，．
∵，，
∴，
又∵，
∴，
则在和中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
25.解：（1）将点A（，0），B（2，0），C（0，）代入，
得
解得
∴二次函数的解析式为
（2）设P（x，0）
∵，PA=PC
∴，
∴
∴，
∴P点坐标为（，0），
∴
（3）如图.
∵M为线段OB上的一个动点，
∴设M（n，0），（0
∴N（n，）
∵，，，，
∴
∵，
∴当n=1时，S四边形ACNB面积最大，最大值为4，
∴M点坐标为（1，0）.
