2025年广东省汕头市潮阳区潮阳实验学校九年级数学中考模拟试题
一、单选题
1．下列各数：，，3.14．，2.1717717771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．其图象经过点
B．其图象位于第二、第四象限
C．当 时，随的增大而增大
D．当 时，
4．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是( )
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
5．已知二次函数，其中，则该二次函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在平行四边形中，，，以点为圆心、为半径画弧交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．样本容量是 B．平均数是
C．中位数是 D．的权数是
8．下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图是4000多年前龙山文化中的蛋壳黑陶高柄杯．它的器壁非常薄，口沿最薄处在0.2－0.5毫米之间．“黑如漆、明如镜、薄如纸、声如磬”这12个字点透了它的精髓所在．以下关于该蛋壳黑陶高柄杯的说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
10．如图，点E在矩形的边上，将矩形沿翻折，点B恰好落在边的点F处，如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．式子成立的条件是
12．已知，且，那么 ．
13．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为 ．
14．对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ．
15．如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ．
三、解答题
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，是的一个外角，，．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，求证：四边形是菱形
19．课间休息，数学老师李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图（如图所示），就嘱咐班级当日的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时会发光？”物理课代表回答：“在开关闭合的情况下，再闭合，，中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题．
(1)在开关闭合的情况下，随机闭合，，中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为__________；
(2)当随机闭合，，，中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率．
20．如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求．
21．如图，反比例函数与一次函数的图像交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图像于点B、C．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，若，求的面积．
22．综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒．
【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】
(1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？
(2)若任务二中设计的该收纳盒的底面积为．
①该收纳盒的高是多少？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
23．我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”．
【概念辨析】
（1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”；
②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______；
【深入探究】
（2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？
我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”．
那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由；
（3）①如果长为x，宽为y（，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象；
②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长．
试卷第1页，共3页
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《2025年广东省汕头市潮阳区潮阳实验学校九年级数学中考模拟试题 》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D D B B C C B B
11．
12．
13．
14．6
15．．
16．解：原式
．
17．解：原式
，
当时，
原式
．
18．（1）解：如图，为所作；
（2）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形．
19．解：（1）所有等可能的情况有3种：，闭合；，闭合，，闭合，
其中小灯泡发光的情况有1种：，闭合，
则（小灯泡发光）；
故答案为：；
（2）解：设、、、分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：
共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，
能够让灯泡发光的概率为：．
20．解：（1）证明：连接，
，
，
是直径，
，
，
，
，
又，
，
，
；
（2）解：如图，连接，过点G作，垂足为K，过点G作，垂足为M，
是直径，
，
又平分，，
，，
在等腰直角中，，
，
，
，，
，
，则，
，
，
，即，
，
，
．
21．解：（1）∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵的图象过点，
∴，解得，
∴一次函数解析式为：．
（2）将代入得，
∴，
将代入得，
∴，
∴，
∴．
22．（1）解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得：
，整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为
（2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，
∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米，
∵收纳盒的底面积为，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴收纳盒的高为厘米，
②∵，
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
23．解：（1）①边长为4的正方形的周长和面积均为16，故该正方形为“完美矩形”，
故答案为∶是；
②由新定义知，矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长24，面积为16．
故答案为∶ 24，16；
（2）存在，
理由：从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”，
联立两个函数表达式得∶ ，
解得∶ 或 (舍去)，
即矩形的长为：；
（3）①画出函数的图象，
由题意得，矩形的周长为，面积为，则，即，
列表如下：
描点、连线，如下图所示：
②长为x，宽为的矩形是一个“完美矩形”的周长为20，则，
即，
在①的图象中，函数的图象，两个函数的交点为∶2.9和7.2(答案不唯一)，则周长为20的“完美矩形”的长7.2(答案不唯一)．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
