第七章 相交线与平行线
提升点1 相交线有关概念的判断
1．如图，直线AB与CD相交形成了∠1，∠2，∠3，∠4，若要确定这4个角的度数，则至少要测量其中的( )
A．1个角 B．2个角 C．3个角 D．4个角
第1题图 第2题图
2．如图，点B，C，D，E在直线a上，A是直线a外一点，连接点A与点B，C，D，E的四条线段被一块挡板遮住，则下面哪条线段的长可能是点A到直线a的距离( )
A．线段AB B．线段AC
C．线段AD D．线段AE
提升点2 平行线在跨学科中的应用
3．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是( )
A．20° B．30°
C．50° D．70°
第3题图 第4题图
4．如图，汉代初期的《淮南万毕术》中记载了古人利用光的反射改变光路的方法．如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路(图中∠ABE＝∠GBF)，当太阳光线AB与CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝( )
A．60° B．70°
C．80° D．85°
提升点3 角度的表示
5．如图，AB∥CD，DA⊥CE，交CE于点A．若∠EAB＝α，则∠D的度数为( )
第5题图
A．α B．90°－α C．180°－2α D．
6．如图，已知直线l1∥l2，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，点C在点D的右侧，连接AD，BC，∠ADC＝80°，∠ABC＝n°，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，DE，BE相交于点E．
(1)∠CDE的度数为__________；
(2)求∠BED的度数(用含n的代数式表示)．
第6题图
提升点4 平行线中的折叠问题
7．将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，若AB∥CD，则∠1与∠2一定满足的关系是( )
第7题图
A．∠1＝2∠2 B．∠1＋∠2＝90°
C．∠1－∠2＝30° D．2∠1－3∠2＝30°
8．如图①，将长方形纸带ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点H，G的位置，再沿边BC折叠成如图②所示．若∠DEF＝72°，则∠GMN＝__________°．
第8题图
提升点5 平行线中的分类讨论
9．已知∠α的两边与∠β的两边分别平行，且∠α＝20°，则∠β的度数为( )
A．20° B．160° C．20°或160° D．20°或70°
10．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点B，D重合，若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置(其中点A的位置始终不变)，当∠BAD＝__________时，CD∥AB．
第10题图
提升点6 角度的数量关系→设参
11．如图，在三角形ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，连接DE，DF，EF，DE平分∠ADF，∠ADF＝2∠DFB．
(1)求证：DE∥BC；
(2)若EF∥AB，∠DFE＝4∠CFE，求∠ADE的度数．
第11题图
12．如图，直线AB，CD相交于点O，FO⊥CD，OE平分∠BOD．
(1)若∠AOC＝68°，求∠EOF的度数；
(2)若∠BOE比∠BOF大24°，求∠COE的度数．
第12题图
提升点7 平移中的几何直观
13．如图，多边形ABCDEFGH是一块从边长为40 cm的正方形材料中裁出的垫片，现测得FG＝7 cm，则这块垫片的周长是__________．
第13题图 第14题图
14．如图，长为50 m，宽为30 m的长方形地块上，有纵横交错的几条宽均为1 m的小路，其他部分用于种植绿植，则种植绿植的面积为( )
A．1 344 m2 B．1 421 m2 C．1 431 m2 D．1 341 m2
15．花园内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了三种不同的种植方案如图①、图②、图③所示，其中的阴影部分用于种植花草，试比较这三种方案用于种植花草的阴影部分的面积大小，并用平移的知识说明理由．
第15题图
提升点8 阅读理解
16．课题学行线的“等角转化”功能．
【阅读理解】(1)阅读并补充以下推理过程：
已知A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC＋∠B＋∠C的度数． 解：如图①，过点A作ED∥BC． ∴∠B＝________，∠C＝________． ∵∠BAE＋∠BAC＋∠CAD＝180°， ∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】(2)如图②，已知AB∥CD，求证：∠B＋∠BEC－∠C＝180°．
【深化拓展】(3)如图③，AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABC，∠ADC，且BE，DE相交于点E．若∠ABC＝104°，∠ADC＝68°，则∠BED＝__________．
第16题图
提升点9 重难压轴题
17．综合与实践
【问题背景】如图①，这是我国部分地区使用的太阳灶，是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量，进行炊事烹饪食物的一种装置．如图②，这是太阳灶的截面示意图，平行的太阳光线AB，CD经过凹面镜的反射后，反射光线BE，DF相交于一点P．
第17题图①
【问题背景】如图①，这是我国部分地区使用的太阳灶，是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量，进行炊事烹饪食物的一种装置．如图②，这是太阳灶的截面示意图，平行的太阳光线AB，CD经过凹面镜的反射后，反射光线BE，DF相交于一点P．
【探索发现】(1)∠BPD，∠ABP和∠CDP之间的数量关系是__________．
(2)如图③，AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上，点P在AB，CD之间，且位于MN的右侧，连接PM，PN，求∠MPN，∠AMP与∠CNP之间的数量关系．
【拓展延伸】(3)如图④，在(2)的条件下，在AB，CD之间、MN的左侧再取一点Q，连接QM，QN．若使∠AMQ＝∠AMP，∠CNQ＝∠CNP，求∠P与∠Q之间的数量关系．
第17题图
18．某校数学社团开展了“关于三角板的数学思考”综合实践活动，以下是他们利用一副三角板(三角板ABC和三角板CFD，其中∠ACB＝∠EFD＝90°，∠ABC＝30°，∠FDE＝45°)展开的探究活动．
(1)小明将一副三角板按如图①所示的方式放置，点F在AB上，点C与点E重合，AB∥CD，则∠ACF＝__________．
(2)如图②，小亮将三角板ABC放在直线MN与PQ之间，并使点B在直线MN上，点C在直线PQ上，测得∠PCA＝35°，∠MBA＝25°，请判断直线MN，PQ是否平行，并说明理由．
(3)将这两个三角板按如图③所示的方式放置，点B在直线MN上，点E在直线PQ上，点C，F重合，且MN∥PQ．若点B，C，E在同一直线上，写出∠MBA与∠DEQ之间的数量关系，并说明理由．
第18题图
第七章 相交线与平行线
1．A 2．B 3．C 4．B 5．B
6．解：（1）40°．
（2）如答图，过点E作EF∥l1．
第6题答图
∵l1∥l2，∴l1∥l2∥EF．
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝40°．
∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠ABE＋∠CDE＝n°＋40°．
7．B 8．72 9．C 10．30°或150°
11．（1）证明：∵DE平分∠ADF，∴∠ADF＝2∠EDF．
又∠ADF＝2∠DFB，∴∠EDF＝∠DFB．∴DE∥BC．
（2）解：设∠CFE＝α，则∠DFE＝4∠CFE＝4α．
∵EF∥AB，∴∠B＝∠CFE＝α．
又DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝α．
∵DE平分∠ADF，DE∥BC，
∴∠ADE＝∠EDF＝∠DFB＝α．
∵∠DFB＋∠DFE＋∠CFE＝180°，
∴α＋4α＋α＝180°．解得α＝30°．
∴∠ADE的度数为30°．
12．解：（1）∵∠AOC＝68°，∴∠BOD＝∠AOC＝68°．
∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOD＝34°．
∵FO⊥CD，∴∠COF＝∠DOF＝90°．
∴∠EOF＝∠DOF－∠DOE＝90°－34°＝56°．
（2）设∠BOF＝x°，则∠BOE＝（x＋24）°．
∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE＝（x＋24）°．
∵∠DOF＝90°，∴∠DOE＋∠BOE＋∠BOF＝90°．
∴（x＋24）＋（x＋24）＋x＝90．解得x＝14．
∴∠DOE＝（x＋24）°＝38°．
∴∠COE＝180°－∠DOE＝180°－38°＝142°．
13．174 cm 14．B
15．解：这三种方案用于种植花草的阴影部分的面积相等．理由如下：
将图②横竖平均分成4个部分，再通过平移即可组成图①的形式；将图③平均分成左右2个部分，再通过平移即可组成图①的形式，故三种方案中用于种植花草的阴影部分的面积相等．
16．（1）解：∠BAE ∠CAD．
（2）证明：如答图，过点E作EH∥AB．
第16题答图
∵AB∥CD，
∴AB∥EH∥CD．
∴∠B＋∠BEH＝180°，∠HEC＝∠C．
∴∠B＋∠BEH＋∠HEC＝180°＋∠C．
∴∠B＋∠BEC－∠C＝180°．
（3）解：162°．
17．解：（1）∠BPD＝∠ABP＋∠CDP．
（2）如答图，过点P作PH∥AB．
第17题答图
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH．
∴∠CNP＋∠HPN＝180°，∠AMP＋∠HPM＝180°．
∴∠CNP＋∠HPN＋∠AMP＋∠HPM＝360°．
∴∠MPN＋∠AMP＋∠CNP＝360°．
（3）由（1）可知，∠Q＝∠AMQ＋∠CNQ．
由（2）可知，∠P＋∠AMP＋∠CNP＝360°．
∵∠AMQ＝∠AMP，∠CNQ＝∠CNP，
∴∠AMQ＋∠CNQ＝（∠AMP＋∠CNP）＝（360°－∠P）＝120°－∠P．
∴∠Q＝120°－∠P，即 ∠P＋∠Q＝120°．
18．解：（1）75°．
（2）直线MN，PQ平行．理由如下：
如答图1，过点A作AG∥PQ．
第18题答图1
∴∠GAC＝∠PCA＝35°．
又∠BAC＝60°，∴∠GAB＝∠BAC－∠GAC＝60°－35°＝25°．
∴∠GAB＝∠MBA．∴AG∥MN．∴MN∥PQ．
（3）∠MBA－∠DEQ＝15°．理由如下：
如答图2，过点A作AJ∥MN，过点D作DH∥PQ．
第18题答图2
∵AJ∥MN，∴∠JAB＝∠MBA．
∵∠JAC＝∠BAC－∠JAB，∠BAC＝60°，
∴∠JAC＝60°－∠MBA．
∵DH∥PQ，∴∠HDE＝∠DEQ．
∵∠CDH＝∠FDE－∠HDE，∠FDE＝45°，
∴∠CDH＝45°－∠DEQ．
∵MN∥PQ，AJ∥MN，DH∥PQ，∴AJ∥DH．
∴∠JAC＝∠CDH，即60°－∠MBA＝45°－∠DEQ．
∴∠MBA－∠DEQ＝15°．
