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2025 年 四 川 省 遂 宁 市 中 考 一 模 猜 题 卷
数 学
本试题卷分为第I 卷（ 选择题） 和第II 卷（ 非选择题） 两部分，共6 页，满分150 分，
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，答卷时，须将答案答在答題
卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
注意事项：必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
第I 卷（ 选择题）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.3
2．如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该鼓立体图形的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．希尔伯特在1900年国际数学家大会上将“孪生质数猜想”列为第8个问题，即存在无穷多对孪生质数． “孪生质数”是指两个相差为2的质数，例如3和5，17和19等． 华人数学家张益唐曾证明了存在无穷多差小于7000万的质数对，从而在孪生质数猜想证明上迈出了革命性的一大步． 以上材料中数字7000万用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×109 B．7×107 C．7.0×108 D．70×107
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的一边于点，且经过点，另一边经过点E，则的度数为（ ）
A．108° B．120° C．126° D．144°
7．若关于x的不等式组 的解集为，且关于y的分式方程 的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．4 B． C．8 D．10
8．如图， 是 的直径，，，，则阴影部分的面积为 （ ）
A． B． C． D．
9．如图，PA和PB是的两条切线，A，B分别为切点，连结AB，D为AB上一点，点E，F分别在线段PA和PB上，且.若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．分解因式的结果是 ．
12．若P（a，b）是第二象限内的点，且，则点P的坐标是 ．
13．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是 .
14．如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是 ．
15．如图（1）所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，将△ABC沿着AC翻折得到△ADC，如图（2），将△ADC绕着点A旋转到△AD'C'，连接CD'，当CD'∥AB时，四边形ABCD的面积为 ．
三、解答题三、解答题（本大题共9个小题，共90分）
16．（1）计算：
（2）解分式方程：．
17．化简：，并请在，，，中选取一个合适的数代入求值．
18．综合与实践
在数学课上，王老师让同学们对两个全等的直角三角形纸片进行摆弄，如图1，，.
（1）如图2，将图1的两个直角三角形的斜边AB、DE重合，得到“筝形ACBF”，连接CF交AB于点O，若，则 ；
（2）如图3，将图1的两个直角三角形直角顶点C与顶点F重合，，连接BE，AD，求证：四边形ADEB是矩形；
（3）如图4，将图1的两个直角三角形的边AB、DE放到同一直线上，点C、F在AB的同侧，连接CE，AF，CF，若点E是AB的中点.请判断四边形CEAF的形状，并说明理由.
19．图1是工艺电脑桌的实物图，其侧面可简化成图2，已知，，是的中点，，，，点是点的正投影．（参考数据：取）
（1）求桌面到地面的距离．（结果精确到）
（2）若，求的值．（结果精确到）
20． 随着电视剧《去有风的地方》的热播，大理旅游业持续升温.当地某度假村有简约型客房10间，后现代型客房30间.按现有标价，若两种客房全部都住满，则一天营业额为7500元；若两种客房均有10间入住，则一天营业额为3500元.
（1）简约型客房和后现代型客房标价分别为多少元？
（2）该度假村以后现代型客房为主营，根据调查发现，如果按原有标价，那么30间后现代型客房都会住满，当每间后现代型客房的标价增加10元时，就会空出一个房间，若度假村需对每间后现代型客房每天支出60元的各种费用，求每间后现代型客房标价为多少元时，后现代型客房每天的利润达到最大.
21．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求的值．
22．【实践探究】新华学校开设“木工、烹饪、种植、茶艺、布艺”五门特色劳动校本课程。学校要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证课程的有效实施，学校随机对抽取了500名学生选择课程情况调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
【问题解决】请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，并在扇形统计图中，求出“种植”所对应的圆心角为多少度；
（2）若该校有1800名学生，请估计该校选择劳动课程为布艺的有多少人；
（3）在劳动课程中表现优异的小明和小华被选中与其他学生一起参加劳动技能展示表演，展示表演分为3个小组，他们俩若随机分到这三个小组中，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华两人恰好分在同一组的概率．
23．如图，在平面直角坐标系中放置一块角的三角板，，，两点分别落在轴和轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线到的距离为．
（1）求的长．
（2）用尺规作出直线(保留作图痕迹，不写作法)．
（3）若直线与边交于点，双曲线经过点，求出的值．
24．综合与实践
如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
特例感知
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
25．如图，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，直线与抛物线交于点（点在点的右侧），交轴于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若，点均在第一象限，且的面积为3，求的值；
（3）若，且点在第四象限，直线交轴于点，求的取值范围.
答案解析部分
1．B
解：由题意得π是无理数，其余均为有理数，
故答案为：B
根据无理数的定义（无线不循环的小数）结合题意对选项逐一分析即可求解。
2．C
解：鼓立体图形的主视图是，
故答案为：．
根据几何体的三视图即可求出答案.
3．B
解：7000万．
故答案为：B．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数．
4．D
解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
根据同底数幂的乘法、合并同类项、平方差公式、幂的乘方进行运算，进而即可求解。
5．A
解： ，
解①得：m≥1，
解②得：m＜-1，
∴不等组无解，
在数轴数轴上表示为：；
故答案为：A.
先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
6．C
解：由正多边形性质得∠AED=∠A=（5-2）×180°÷5=108°，
∵MN⊥DE，
∴∠BOE=90°，
∴四边形ABOE中，∠ABO=360°-90°-108°-108°=54°，
∴∠ABM=180°-∠ABO=180°-54°=126°，
故答案为：B.
先根据多边形内角和定理：（n-2）×180° （n≥3且n为整数）及正多边形性质求得∠AED，∠A的度数，再结合四边形的内角和是180°求得∠ABO的度数，最后根据邻补角即可求解.
7．B
8．A
9．C
解：∵PA和PB是的两条切线，A，B分别为切点，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵， ∠PAB+∠PBA+∠P=180°，
∴2∠PAB+=180°，
解得∠PAB=90°-.
∵，
∴△ADE≌△BFD（SAS），
∴∠AED=∠BDF，
∵∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°，∠ADE+∠DAE+∠AED=180°，
∴∠EDF=∠DAE=90°-.
故答案为：C．
先根据切线长定理得到PA=PB，再利用“在同一个三角形中，等边对等角”，可得∠PAB=∠PBA，再利用三角形的内角和定理结合，可得到用表示∠PAB，再利用SAS证明△ADE≌△BFD，根据全等三角形的性质，可得∠AED=∠BDF，结合三角形的内角和定理与平角的意义，可说明∠EDF=∠DAE，从而可得结论.
10．B
①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为
∴函数的对称轴为x＝
∴根据二次函数的对称性，当x=-2和x=4时，y的值相等
∴当x=-2时，y=4a﹣2b+c＞0
于是①的结论正确；
②∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为
∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，
于是②错误；
③当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3a＝5a，
∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，
于是③错误；
④∵方程有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，
∴抛物线与直线y＝﹣1交点的坐标和
∵抛物线时，x＝﹣1或3，
即抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），
∴﹣1＜x1＜x2＜3，
于是④正确．
故答案为：B．
根据顶点坐标得到对称轴，利用二次函数的对称性即可判断①；结合①中结论，利用函数图象判断②；根据对称轴得到a和b的关系，再利用顶点坐标得到a和c的关系，把x=4代入得到y的值判断③；根据二次函数与一元二次方程的关系，得到a(x+1)(x﹣3)＝0的解为x＝﹣1或3，将函数y=a(x+1)(x﹣3)向上平移一个单位时，新函数与x轴的交点即为a(x+1)(x﹣3)＝﹣1的解，然后比较进行判断④．
11．
解：
故答案为：
根据题意提取公因式3a即可求解。
12．（-3，5）
13．甲
解：∵，，，，
∴，，
∵甲块试验田的方差小，
∴甲试验田小麦长势比较整齐.
故答案为：甲.
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分别比较集中，各数偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.
14．
15．
解：如图（2），过点A作AE⊥AB交CD'的延长线于E，由翻折得AD＝AB＝4
∵CD'∥AB
∴∠BCE+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝90°
∴∠BCE＝90°
∵AE⊥AB
∴∠BAE＝90°
∴ABCE是矩形，AD'＝AD＝AB＝4
∴AE＝BC＝3，CE＝AB＝4，∠AEC＝90°
∴D'E＝＝
∴CD'＝CE﹣D'E＝4﹣
∴S四边形ABCD'＝（AB+CD'） BC＝（4+4﹣）×3＝，
故答案为：．
过点A作AE⊥AB交CD'的延长线于E，由翻折得AD＝AB＝4，根据直线平行性质可得∠BCE+∠ABC＝180°，再根据角之间的关系可得∠BAE＝90°。由矩形判定定理可得ABCE是矩形，AD'＝AD＝AB＝4，则AE＝BC＝3，CE＝AB＝4，∠AEC＝90°，再根据勾股定理可得D'E，再根据边之间的关系可得CD'，再根据四边形面积即可求出答案.
16．（1）解：原式=
=
（2）解：
解得：
经检验：是方程的解
∴原方程的解为：．
（1）根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据题意解分式方程，最后检验即可求解。
17．解：
原式
，
，，，
，，，
∴取x=0，
当x=0时，原式．
先对括号内分式作通分并进行减法运算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法化为乘法，约分得到最简结果，在选出符合题意的值代入计算即可求．
18．（1）1：4
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（3）解：四边形是菱形，理由如下：
证明：∵，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点E是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形.
解：（1）∵，，
∴，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，即，
设，则，，
，
∴，即，
∴，，
∴；
故答案为：1：4；
（1）根据全等三角形的性质可得BC=EF，AC=DF，则AB是线段CF的垂直平分线，设BF=a，则AF=2a，由勾股定理可得AB=a，根据等面积法可得OC，由勾股定理可得OB，根据OA=AB-OB可得OA，接下来根据三角形的面积公式进行解答；
（2）由题意可得四边形ADEB是平行四边形，根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠DEC，BC=EC，由等腰三角形的性质可得∠CBE=∠CEB，由角的和差关系可得∠ABE=∠DEB，根据平行线的性质可得∠ABE+∠DEB=180°，推出∠ABE=90°，然后根据矩形的判定定理进行证明；
（3）根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，BC=EF，则BC∥EF，推出四边形BEFC为平行四边形，得到CF=BE，由直角三角形斜边上中线的性质可得CE=BE=AE，结合AB=DE可得AF=AE，然后根据菱形的判定定理进行证明.
19．（1）
（2）
20．（1）解：设简约型客房标价为元，后现代型客房标价为元.
由题意，得
解得.
答：简约型客房标价为150元，后现代型客房标价为200元.
（2）解：设每间后现代型的客房标价为元，
由题意，得
∵，
∴当时，最大.
答：每间后现代型客房标价为280元时，后现代型客房每天的利润达到最大.
（1）设简约型客房标价为元，后现代型客房标价为元，根据“若两种客房全部都住满，则一天营业额为7500元；若两种客房均有10间入住，则一天营业额为3500元”列出方程组，再求解即可；
（2）设每间后现代型的客房标价为元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可.
21．（1）证明：
；
又，
，
无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：，，，
，
，
整理得，
解得或，
故的值为或．
（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可得此题就是证明根的判别式一定不为负数，从而算出根的判别式的值，再结合偶数次幂的非负性即可解答；
（2）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，，用含m的式子表示出x1+x2与的值，然后利用配方法将已知等式变形为，整体代入可得关于字母m的方程，解方程即可求出m的值.
22．（1）解：选择“布艺”的学生人数为：（人），
补全条形统计图，如图所示：
“种植”所对应的圆心角为：
（2）解：（人），答：该校选择劳动课程为布艺的有216人．
（3）解：设三个小组分别为，画树状图，如图所示：
共有9种等可能的情况，小明和小华两人恰好分在同一组的情况数有3种，
小明和小华两人恰好分在同一组的概率为．
23．（1）解：由题意可知，是等腰直角三角形，
，
在直线中，当时，；当时，，
，，
（2）解：，，右侧有一条直线到的距离为．
作线段的垂直平分线即可，如图示：
（3）解：如图，作轴，垂足为，
在和中，
，
，
，，
，
根据（2）作图可知，直线，
点为线段的中点，
，
，
点在双曲线图象上，
（1）根据直线解析式求出点、坐标，利用勾股定理求出长，即可；
（2）根据题意作出线段的垂直平分线即可；
（3）利用一线三直角证明继而可求出点坐标，再根据中点坐标公式求出点坐标，即可求出双曲线中的值．
24．（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或.
25．（1）解：把代入中，得解得
抛物线的解析式为，
即抛物线的解析式为，顶点坐标为．
（2）解：由抛物线的解析式为可知，．
直线，
，
，
．
联立，得整理，得，
由根与系数的关系，得．
联立，得解得或（舍去），
（3）解：直线，
直线过定点．
直线必过点．
又点在第四象限，点与点重合，点与原点重合．
，
．
联立，得整理，得，
由根与系数的关系，得，解得．
点在点点的右侧，，
，即的取值范围为
