用正多边形铺设地面
【A层 基础夯实】
知识点1 用相同的正多边形铺满地面
1.只用一种大小完全相同的正多边形地砖铺地时,判断能否作铺满地面(无缝不重叠)的依据是( )
A.正多边形的材料
B.正多边形的边长
C.正多边形的对角线长
D.正多边形的内角度数
2.某中学图书综合楼要铺设地面,只用一种多边形铺满地面时,则该学校不应该购买的地砖形状是( )
A.三角形 B.四边形
C.正六边形 D.正八边形
3.如果只用一种正多边形铺满地面,而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有4个正多边形,则该正多边形的边数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图①,四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=∠B,BC=CD=DA,图②是用多个同样的四边形铺满地面而成的,则∠A=__ __°.
5.小明家装修新房,客厅的地面是长6 m,宽4.8 m的长方形,准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面,市场上地砖有30×30,40×40,60×60,80×80(单位:厘米×厘米)四种尺寸,小明家想选尺寸较大的地砖,该选哪一种 并计算需要多少块地砖可以铺满客厅.
知识点2 用多种正多边形铺满地面
6.下列正多边形的组合中,不能铺满地面的是( )
A.正方形和正三角形
B.正方形和正八边形
C.正三角形和正十二边形
D.正方形和正六边形
7.用三个不同的正多边形能铺满地面的是( )
A.正三角形、正方形、正五边形
B.正三角形、正方形、正六边形
C.正三角形、正方形、正七边形
D.正三角形、正方形、正八边形
8.小芳家装修时,选择了一种漂亮的正八边形地砖.建材店老板告诉她,只用一种八边形地砖是不能铺满地面的,便向她推荐了几种形状的地砖.你认为要使地面铺满,小芳应选择另一种形状的地砖是( )
9.工人师傅选用三种规格的边长都是1米的正多边形地砖铺地.他先用两块正六边形地砖和一块正方形地砖铺成如图所示的图形,若再用一块正多边形地砖无缝隙不重叠地铺在∠AOB处,则选用的这块正多边形地砖的周长是__ __米.
【B层 能力进阶】
10.如图,有4种不同形状的多边形地砖,如果只用其中一种形状的地砖铺设地面,要求能够铺满地面而不留空隙,那么可供选择的图形有( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
11.如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖铺满地面而成,则∠BAD的度数为( )
A.50° B.60° C.100° D.120°
12.如图所示,已知等边三角形ABC的边长为1,按图中所示的规律,用2 024个这样的三角形铺满地面而成的四边形的周长是( )
A.2 024 B.2 025 C.2 026 D.2 027
13.如图所示,等边三角形纸片ABC由12个等边三角形无重叠、无缝隙拼接而成.若其中最小的等边三角形的边长为n,则△ABC的周长为__ __.
14.以下是铺满地面的图案,它们由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成,观察图案,如图,当正方形只有1个时,等边三角形有4个;当正方形有2个时,等边三角形有7个;依次类推……
(1)第5个图案中正方形有________个,等边三角形有 ________个.
(2)第n个图案中正方形有 ________个,等边三角形有 ________个.
(3)若此类图案中有2 023个等边三角形,该图案中正方形有多少个
【C层 创新挑战】（选做）
15.(模型观念、推理能力、应用意识)
【探究】(1)观察下列算式,并完成填空:
1=12;
1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+…+(2n-1)=__________.(n是正整数)
(2)如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案,图案中央是一块正六边形地板砖,周围是正方形和正三角形的地板砖.从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖;第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖;依次递推.
①第3层中分别含有 ________块正方形和 ________块正三角形地板砖;
②第n层中分别含有 ________块正方形和 ________块正三角形地板砖(用含n的代数式表示).
【应用】
该市打算在一个新建广场中央,采用如图样式的图案铺设地面,现有1块正六边形、150块正方形地板砖,问:铺设这样的图案,还需要多少块正三角形地板砖 请说明理由. 用正多边形铺设地面
【A层 基础夯实】
知识点1 用相同的正多边形铺满地面
1.只用一种大小完全相同的正多边形地砖铺地时,判断能否作铺满地面(无缝不重叠)的依据是(D)
A.正多边形的材料
B.正多边形的边长
C.正多边形的对角线长
D.正多边形的内角度数
2.某中学图书综合楼要铺设地面,只用一种多边形铺满地面时,则该学校不应该购买的地砖形状是(D)
A.三角形 B.四边形
C.正六边形 D.正八边形
3.如果只用一种正多边形铺满地面,而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有4个正多边形,则该正多边形的边数为(B)
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图①,四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=∠B,BC=CD=DA,图②是用多个同样的四边形铺满地面而成的,则∠A=__60__°.
5.小明家装修新房,客厅的地面是长6 m,宽4.8 m的长方形,准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面,市场上地砖有30×30,40×40,60×60,80×80(单位:厘米×厘米)四种尺寸,小明家想选尺寸较大的地砖,该选哪一种 并计算需要多少块地砖可以铺满客厅.
【解析】∵用整块正方形的地砖铺满客厅的地面,
∴正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数,而且是最大的,
∴符合要求的是60×60的正方形地砖;
∵6 m=600 cm,4.8 m=480 cm,
∴(600÷60)×(480÷60)=10×8=80(块),需要80块地砖可以铺满客厅.
知识点2 用多种正多边形铺满地面
6.下列正多边形的组合中,不能铺满地面的是(D)
A.正方形和正三角形
B.正方形和正八边形
C.正三角形和正十二边形
D.正方形和正六边形
7.用三个不同的正多边形能铺满地面的是(B)
A.正三角形、正方形、正五边形
B.正三角形、正方形、正六边形
C.正三角形、正方形、正七边形
D.正三角形、正方形、正八边形
8.小芳家装修时,选择了一种漂亮的正八边形地砖.建材店老板告诉她,只用一种八边形地砖是不能铺满地面的,便向她推荐了几种形状的地砖.你认为要使地面铺满,小芳应选择另一种形状的地砖是(B)
9.工人师傅选用三种规格的边长都是1米的正多边形地砖铺地.他先用两块正六边形地砖和一块正方形地砖铺成如图所示的图形,若再用一块正多边形地砖无缝隙不重叠地铺在∠AOB处,则选用的这块正多边形地砖的周长是__12__米.
【B层 能力进阶】
10.如图,有4种不同形状的多边形地砖,如果只用其中一种形状的地砖铺设地面,要求能够铺满地面而不留空隙,那么可供选择的图形有(C)
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
11.如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖铺满地面而成,则∠BAD的度数为(B)
A.50° B.60° C.100° D.120°
12.如图所示,已知等边三角形ABC的边长为1,按图中所示的规律,用2 024个这样的三角形铺满地面而成的四边形的周长是(C)
A.2 024 B.2 025 C.2 026 D.2 027
13.如图所示,等边三角形纸片ABC由12个等边三角形无重叠、无缝隙拼接而成.若其中最小的等边三角形的边长为n,则△ABC的周长为__42n__.
14.以下是铺满地面的图案,它们由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成,观察图案,如图,当正方形只有1个时,等边三角形有4个;当正方形有2个时,等边三角形有7个;依次类推……
(1)第5个图案中正方形有________个,等边三角形有 ________个.
(2)第n个图案中正方形有 ________个,等边三角形有 ________个.
(3)若此类图案中有2 023个等边三角形,该图案中正方形有多少个
【解析】(1)观察第1和2个图案可知:图案中每增加1个正方形,则等边三角形增加3个,
∴第5个图案中正方形有5个,等边三角形有4+3+3+3+3=16(个).
答案:5 16
(2)第1个图案:正方形有1个,等边三角形有:4(个),
第2个图案:正方形有2个,等边三角形有:4+3=7(个),
第3个图案:正方形有3个,等边三角形有:4+2×3=10(个),
第4个图案:正方形有4个,等边三角形有:4+3×3=13(个),
……
第n个图案:正方形有n个,等边三角形有:4+3(n-1)=(3n+1)个.
答案:n (3n+1)
(3)∵3n+1=2 023,解得n=674,
∴按此规律铺满地面图案,该图案中正方形有674个.
【C层 创新挑战】（选做）
15.(模型观念、推理能力、应用意识)
【探究】(1)观察下列算式,并完成填空:
1=12;
1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+…+(2n-1)=__________.(n是正整数)
(2)如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案,图案中央是一块正六边形地板砖,周围是正方形和正三角形的地板砖.从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖;第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖;依次递推.
①第3层中分别含有 ________块正方形和 ________块正三角形地板砖;
②第n层中分别含有 ________块正方形和 ________块正三角形地板砖(用含n的代数式表示).
【应用】
该市打算在一个新建广场中央,采用如图样式的图案铺设地面,现有1块正六边形、150块正方形地板砖,问:铺设这样的图案,还需要多少块正三角形地板砖 请说明理由.
【解析】(1)观察算式规律可得,1+3+5+…+(2n-1)=n2;
答案:n2
(2)①∵第1层包括6块正方形和6块正三角形地板砖,
第2层包括6块正方形和6+12=18(块)正三角形地板砖,
∴第3层包括6块正方形和18+12=30(块)正三角形地板砖.
答案:6 30
②∵每1层中正方形地板砖块数不变;
正三角形地板砖的块数分别为:
第1层6=6×1=6×(2×1-1),
第2层18=6×3=6×(2×2-1),
第3层30=6×5=6×(2×3-1),
∴第n层有6(2n-1)块正三角形地板砖.
答案:6 6(2n-1)
【应用】铺设这样的图案,还需要3 750块正三角形地板砖.理由如下:
∵150÷6=25(层),
∴150块正方形地板砖可以铺设这样的图案25层;
∵铺设n层需要正三角形地板砖的数量为6[1+3+5+…+(2n-1)]=6n2,
∴当n=25时,6×252=3 750.
故铺设这样的图案,还需要3 750块正三角形地板砖.
