解一元一次方程(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 解含分母的一元一次方程
1.(2024·深圳模拟)在解方程-=1时,去分母正确的是( )
A.3(x-1)-(2x+3)=1
B.3(x-1)-2(x+3)=6
C.3(x-1)-(2x+3)=6
D.2(x-1)-(2x+3)=6
2.将-=1的分母化为整数为 .
3.若=5与kx+1=17的解相同,则k的值为 .
4.解方程:
(1)4x-3=2(x-1);
(2)x-=-1.
知识点2 一元一次方程的简单应用
5.父亲和儿子在同一公司上班,为了锻炼身体,他们每天从家(父子二人住同一个家)走路去上班,父亲需要18分钟到公司,儿子需要12分钟到公司,如果父亲比儿子早2分钟动身,儿子追上父亲需要的时间为( )
A.4分钟 B.5分钟 C.6分钟 D.8分钟
6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是:有人要去某关口,路程378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半, 一共走了六天才到达目的地.则此人第三天走的路程为( )
A.96里 B.48里 C.24里 D.12里
7.(2024·包头模拟)某船顺流航行的速度为27 km/h, 逆流航行的速度为19 km/h,则水流的速度是 km/h.
【B层 能力进阶】
8.(2024·北京模拟)若不论k取什么数,关于x的方程-=1(a,b是常数)的解总是x=1,则a-b的值是( )
A.- B. C. D.-
9.下面是一个被墨水污染过的方程:2x-=3x-,答案显示此方程的解是x=-1,被墨水遮盖的是一个常数,则这个常数是( )
A.1 B.-1 C.- D.
10.(2024·重庆模拟)已知==k,且x+y=24,则k的值为 .
11.已知关于x的方程+=n有无数个解,则2mn的值为 .
12.关于x的方程mx-=(x-)的解是正整数,满足条件的所有整数m的积是 .
13.在学完解一元一次方程后,聪明的小明同学解方程=的过程如下:
原方程可变形为=,
( ),得3(3x+5)=4(2x-1),
去括号,得9x+15=8x-4,
移项、合并同类项,得x=-19.
(1)小明的解题过程中,“ ”处应填 ,解此步的依据是 ;
(2)参考小明的解题过程,解方程:=+1.
14.为鼓励家庭节约用气,某城市居民生活用天然气实行阶梯价格制度,家庭生活用气收费标准如表中所列,例如,某家全年共使用天然气700 m3,其中前400 m3按2.4元/m3收费,另外200 m3按2.8元/m3收费,剩下的100 m3按3.6元/m3收费.童童也想通过计算,了解自己家里使用天然气的情况.
项目 家庭用气量(m3) 价格(元/m3)
一档 0-400(含) 2.4
二档 400-600(含) 2.8
三档 600以上 3.6
(1)若他家去年共使用520 m3天然气,需要缴费多少元
(2)若有一年他家缴费1 556元,这一年他家共用了多少立方米天然气
【C层 创新挑战(选做)】
15.(抽象能力、运算能力、应用意识)阅读与探究:
一般情况下+=不成立,但有些数可以使得它成立,例如:a=b=0.我们称使得+=成立的一对数a,b为“相伴数对”,记为(a,b).
(1)若(1,b)是“相伴数对”,求b的值;
(2)写出一个“相伴数对”(a,b),其中a,b为整数且a≠0;
(3)若(m,n)是“相伴数对”,求代数式9m-2(1-2n)的值. 解一元一次方程(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 一元一次方程的定义
1.下列方程是一元一次方程的是( )
A.x-4y=8 B.-1=8
C.x2-3=x D.y=0
2.在方程x2-1=0,y=x-7,-5=x,=1,=1,x=2中,是一元一次方程的有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.以上答案都不对
3.若关于x的方程2xn+1+3=0是一元一次方程,则n的值是 .
4.(2024·衢州模拟)已知方程(1-m2)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程.求m的值.
知识点2 解含括号的一元一次方程
5.在解方程2(x-1)-3(2x-3)=0时,去括号正确的是( )
A.2x-1-6x+9=0
B.2x-2-6x-3=0
C.2x-2-6x-9=0
D.2x-2-6x+9=0
6.x=-2是下列哪个方程的解( )
A.x+1=3
B.x+1=x
C.7x+2(3x-3)=20
D.-2(x-1)=6
7.(2024·包头模拟)方程2(x-1)=x+2的解是 .
8.解方程:
(1)4x-6=2(5-2x);
(2)x-2(x+1)=-4.
【B层 能力进阶】
9.(2024·上海模拟)若关于x的方程2(x-1)+3k=4x+6的解为x=-1,则k=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10.若=x+2,则x的值为( )
A.或- B.-或
C.或 D.-或-
11.如果4x-1的值的一半比3x-2的值大1,那么x的值是 .
12.(2024·重庆模拟)对于两个非零的有理数a,b,规定:a b=2b-3a,若(4-x) (1+x)=5,则x= .
13.方程3(x-1)-5(x-1)=16的解为 .
14.(2024·深圳模拟)我们规定一种运算法则“※”,对任意两个有理数a,b,有a※b=2a+b.若有理数x满足(2x+1)※(-4)=5※(3-x),则x= .
15.解方程:(1)2(5-x)=33-3(5x+1).
(2)17(2-3x)-5(12-x)=8(1-7x).
【C层 创新挑战(选做)】
16.(抽象能力、运算能力、应用意识)如图,点A表示-10,点B表示10,点C表示17,我们称点A和点C相距27个单位长度.动点P,Q同时出发,点P从点A出发,以2个单位长度/秒的速度沿正方向运动,从点O运动到点B期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速;动点Q从点C出发,以1个单位长度/秒的速度沿负方向运动,从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速.设运动的时间为t秒,问:当t为何值时,P,O两点相距的长度与Q,B两点相距的长度相等. 解一元一次方程(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 一元一次方程的定义
1.下列方程是一元一次方程的是(D)
A.x-4y=8 B.-1=8
C.x2-3=x D.y=0
2.在方程x2-1=0,y=x-7,-5=x,=1,=1,x=2中,是一元一次方程的有(B)
A.2个 B.3个
C.4个 D.以上答案都不对
3.若关于x的方程2xn+1+3=0是一元一次方程,则n的值是 0 .
4.(2024·衢州模拟)已知方程(1-m2)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程.求m的值.
【解析】因为方程(1-m2)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,
所以1-m2=0,-(m+1)≠0,
解得m=±1,且m≠-1,
所以m=1.
知识点2 解含括号的一元一次方程
5.在解方程2(x-1)-3(2x-3)=0时,去括号正确的是(D)
A.2x-1-6x+9=0
B.2x-2-6x-3=0
C.2x-2-6x-9=0
D.2x-2-6x+9=0
6.x=-2是下列哪个方程的解(D)
A.x+1=3
B.x+1=x
C.7x+2(3x-3)=20
D.-2(x-1)=6
7.(2024·包头模拟)方程2(x-1)=x+2的解是 x=4 .
8.解方程:
(1)4x-6=2(5-2x);
【解析】(1)4x-6=2(5-2x),
4x-6=10-4x,
4x+4x=10+6,
8x=16,
x=2;
(2)x-2(x+1)=-4.
【解析】(2)x-2(x+1)=-4,
x-2x-2=-4,
x-2x=-4+2,
-x=-2,
x=2.
【B层 能力进阶】
9.(2024·上海模拟)若关于x的方程2(x-1)+3k=4x+6的解为x=-1,则k=(A)
A.2 B.3 C.4 D.5
10.若=x+2,则x的值为(C)
A.或- B.-或
C.或 D.-或-
11.如果4x-1的值的一半比3x-2的值大1,那么x的值是 .
12.(2024·重庆模拟)对于两个非零的有理数a,b,规定:a b=2b-3a,若(4-x) (1+x)=5,则x= 3 .
13.方程3(x-1)-5(x-1)=16的解为 x=-7 .
14.(2024·深圳模拟)我们规定一种运算法则“※”,对任意两个有理数a,b,有a※b=2a+b.若有理数x满足(2x+1)※(-4)=5※(3-x),则x= 3 .
15.解方程:(1)2(5-x)=33-3(5x+1).
【解析】(1)2(5-x)=33-3(5x+1),
去括号得:10-2x=33-15x-3,
移项合并同类项得:13x=20,
系数化为1得x=.
(2)17(2-3x)-5(12-x)=8(1-7x).
【解析】(2)去括号,得34-51x-60+5x=8-56x,
移项,得-51x+5x+56x=8-34+60,
合并同类项,得10x=34,
系数化为1,得x=3.4.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(抽象能力、运算能力、应用意识)如图,点A表示-10,点B表示10,点C表示17,我们称点A和点C相距27个单位长度.动点P,Q同时出发,点P从点A出发,以2个单位长度/秒的速度沿正方向运动,从点O运动到点B期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速;动点Q从点C出发,以1个单位长度/秒的速度沿负方向运动,从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速.设运动的时间为t秒,问:当t为何值时,P,O两点相距的长度与Q,B两点相距的长度相等.
【解析】当P,O两点相距的长度与Q,B两点相距的长度相等有4种可能,
①当点Q在CB上,点P在AO上时,则7-t=10-2t,解得t=3;
②当点Q在CB上,点P在BO上时,则7-t=(t-5)×1,解得t=6;
③当点Q在BO上,点P在BO上时,则2(t-7)=(t-5)×1,解得t=9;
④当点Q在OA上,点P在BC上时,则(t-7-5)×1=2(t-5-10),解得t=18;
综上所述,t的值为3或6或9或18. 解一元一次方程(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 解含分母的一元一次方程
1.(2024·深圳模拟)在解方程-=1时,去分母正确的是(C)
A.3(x-1)-(2x+3)=1
B.3(x-1)-2(x+3)=6
C.3(x-1)-(2x+3)=6
D.2(x-1)-(2x+3)=6
2.将-=1的分母化为整数为 -=1 .
3.若=5与kx+1=17的解相同,则k的值为 2 .
4.解方程:
(1)4x-3=2(x-1);
【解析】(1)去括号可得:4x-3=2x-2,
移项得:4x-2x=-2+3,
合并同类项可得:2x=1,
解得x=;
(2)x-=-1.
【解析】(2)两边同时乘6可得:6x-2(1-x)=x+2-6,
去括号可得:6x-2+2x=x+2-6,
移项得:6x+2x-x=2-6+2,
合并同类项得:7x=-2,
解得x=-.
知识点2 一元一次方程的简单应用
5.父亲和儿子在同一公司上班,为了锻炼身体,他们每天从家(父子二人住同一个家)走路去上班,父亲需要18分钟到公司,儿子需要12分钟到公司,如果父亲比儿子早2分钟动身,儿子追上父亲需要的时间为(A)
A.4分钟 B.5分钟 C.6分钟 D.8分钟
6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是:有人要去某关口,路程378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半, 一共走了六天才到达目的地.则此人第三天走的路程为(B)
A.96里 B.48里 C.24里 D.12里
7.(2024·包头模拟)某船顺流航行的速度为27 km/h, 逆流航行的速度为19 km/h,则水流的速度是 4 km/h.
【B层 能力进阶】
8.(2024·北京模拟)若不论k取什么数,关于x的方程-=1(a,b是常数)的解总是x=1,则a-b的值是(C)
A.- B. C. D.-
9.下面是一个被墨水污染过的方程:2x-=3x-,答案显示此方程的解是x=-1,被墨水遮盖的是一个常数,则这个常数是(C)
A.1 B.-1 C.- D.
10.(2024·重庆模拟)已知==k,且x+y=24,则k的值为 3 .
11.已知关于x的方程+=n有无数个解,则2mn的值为 -2 .
12.关于x的方程mx-=(x-)的解是正整数,满足条件的所有整数m的积是 6 .
13.在学完解一元一次方程后,聪明的小明同学解方程=的过程如下:
原方程可变形为=,
( ),得3(3x+5)=4(2x-1),
去括号,得9x+15=8x-4,
移项、合并同类项,得x=-19.
(1)小明的解题过程中,“ ”处应填 ,解此步的依据是 ;
答案:去分母 等式的基本性质
【解析】(1)小明的解题过程中,“ ”处应填去分母,解此步的依据是等式的基本性质;
(2)参考小明的解题过程,解方程:=+1.
【解析】(2)原方程可变形为=+1,
去分母,得3(5x-4)=40x+6,
去括号,得15x-12=40x+6,
移项、合并同类项,得-25x=18,
方程两边同时除以(-25),得x=-.
14.为鼓励家庭节约用气,某城市居民生活用天然气实行阶梯价格制度,家庭生活用气收费标准如表中所列,例如,某家全年共使用天然气700 m3,其中前400 m3按2.4元/m3收费,另外200 m3按2.8元/m3收费,剩下的100 m3按3.6元/m3收费.童童也想通过计算,了解自己家里使用天然气的情况.
项目 家庭用气量(m3) 价格(元/m3)
一档 0-400(含) 2.4
二档 400-600(含) 2.8
三档 600以上 3.6
(1)若他家去年共使用520 m3天然气,需要缴费多少元
【解析】(1)他家去年共使用520 m3天然气那么需要缴天然气费:
2.4×400+2.8×(520-400)
=960+2.8×120
=960+336
=1 296(元);
答:需要缴费1 296元;
(2)若有一年他家缴费1 556元,这一年他家共用了多少立方米天然气
【解析】(2)设他家用了x m3天然气.
2.4×400+2.8×(600-400)=960+560=1 520,因为1 556>1 520,
所以童童家所用天然气超过了600 m3.
根据题意得2.4×400+2.8×(600-400)+3.6(x-600)=1 556,
解得x=610.
答:这一年他家共用了610 m3天然气.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(抽象能力、运算能力、应用意识)阅读与探究:
一般情况下+=不成立,但有些数可以使得它成立,例如:a=b=0.我们称使得+=成立的一对数a,b为“相伴数对”,记为(a,b).
(1)若(1,b)是“相伴数对”,求b的值;
【解析】(1)(1,b)代入得+=,解得b=-.
(2)写出一个“相伴数对”(a,b),其中a,b为整数且a≠0;
【解析】(2)当a=4时,+=,解得b=-9,故(4,-9)是“相伴数对”.(答案不唯一)
(3)若(m,n)是“相伴数对”,求代数式9m-2(1-2n)的值.
【解析】(3)将a=m,b=n,代入+=,所以9m+4n=0,所以9m-2(1-2n)=
9m+4n-2=-2.
