福建省龙岩市 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线经过点(2, 3)和点(0, 4)，则该直线的方向向量可以是( )
A. (2,1) B. (2, 1) C. (1,2) D. ( 1,2)
2.设{ }是等差数列，且 1 = √ 2， 2 + 3 = 5√ 2，则{ }的通项公式为( )
A. = √ + 1 B. = √ 2 C. = √ 2 D.
2
= √ + 1
3.若直线 1： + 3 1 = 0与直线 2：3 + + 1 = 0平行，则实数 为( )
A. 3 B. 3 C. 3或 3 D. 1或 1
4.二次函数 = 2 2 + 3 2( ∈ )图象的顶点的轨迹是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
5.设 为正项等比数列{ }的前 项和，
8
5，3 3， 4成等差数列，则 的值为( ) 4
1 1
A. B. C. 16 D. 17
16 17
6.要排出某班一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，
英语课不排在第6节，则不同的排法种数为( )
A. 24 B. 72 C. 144 D. 288
7.中国传统乐器“埙”是汉族特有的闭口吹奏乐器，音色朴拙抱素独为地籁.有一种“埙”的外轮廓的上部
2 2
是半椭圆，下部是半圆.已知半椭圆 2 + 2 = 1( ≥ 0, > > 0)和半圆
2 + 2 = 2( < 0)组成的曲线 如
8 6
图所示，曲线 交 轴的负半轴于点 ，交 轴的正半轴于点 ，点 是半圆上任意一点.当点 的坐标为( , )
5 5
时，△ 的面积最大，则该半椭圆的方程是( )
8 2 2 2 8 2
A. + = 1( ≥ 0) B. + = 1( ≥ 0)
3 4 4 3
9 2 2 2 9 2
C. + = 1( ≥ 0) D. + = 1( ≥ 0)
64 4 4 64
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8.已知抛物线 ： 2 = 16 的焦点为 ，过点 (7,1)作直线 ； + 2 7 + 4 = 0的垂线，垂足为 ，
点 是抛物线 上的动点，则| | + | |的最小值为( )
3√ 5 25 25 3√ 5
A. 14 B. C. 14 D.
2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 是正整数，则( )
A. 26 = 30 B.
3
5 +
4
5 =
4
6
C. 4 6 1 2 3 10 = 10 D. + + + + = 2
10.已知直线 ：( + 2) + ( 3) + 5 = 0( ∈ )，圆 ：( 1)2 + ( + 2)2 = 16，点 是圆 上的动
点，则( )
A. 直线 与圆 有2个不同的交点
B. 点 到直线 + + 11 = 0距离的最小值为5√ 2
C. 若直线 与圆 相交于 ， 两点，则| |的最小值为2√ 3
D. 若直线 是圆 的对称轴，点 ( 4, )，则| |的最大值为4 + 5√ 10
1 1+√ 5 1 √ 5
11.已知数列{ }的通项公式为 = [( )
( ) ]，数列{ }满足 1 = 1， 2 = 2， > 1 +√ 5 2 2
2( ≥ 3)，则( )
A. 3 = 2
B. 数列{ }是递增数列
C. 20 > 2025
D. 满足不等式 2[(1 + √ 5) (1 √ 5) ] > + 5的最小正整数 为7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知△ 的三个顶点分别是 (1,2)， (5,4)， (2,7)，则边 上的中线所在直线方程为______．
2 2
13.已知椭圆 ： + = 1的左焦点为 ，点 ， 是椭圆上关于原点对称的两点，则4| | + | |2的最小
9 5
值为______．
2 2
14.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ，焦距为2 ( > 0)，点 的坐标为(2 , 0).若在双曲
线 的右支上存在点 ，使得| | = | |，且∠ ≥ 3∠ ，则双曲线 的离心率取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知( 2)( + 1) = 0 + 1 + 2
2 + + +1( ∈ +1 )，满足 0 + 1 + 2 + + +1 = 32．
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(1)求 的值；
(2)求 3的值．
16.(本小题12分)
已知圆 ： 21 +
2 2 3 = 0，圆 2：
2 + 2 + 4 6 + 3 = 0．
(1)证明：圆 1与圆 2相交；
(2)若圆 经过圆 1与圆 2的交点，且圆心 在 轴上，求圆 的方程．
17.(本小题12分)
已知正项数列{ }的前 项和为 ，满足
2
= 4 2 1( ∈ )．
(1)求数列{ }的通项公式；
+1 5
(2)若 = 2 2，记数列{ }的前 项和为 .证明：对于任意 ∈
，都有 < ．
( +2) ( +1) 64
18.(本小题12分)
折纸起源于大约公元1世纪或2世纪时的中国.折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发
展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，
可按如下步骤折纸．
步骤1：设圆心是 ，在圆内不是圆心处取一点，标记为 ；
步骤2：把纸片翻折，使翻折上去的圆弧经过点 ，此时圆弧上与点 重合的点标记为 ；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时 与折痕交于点 ；
步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点 ．
现取半径为4的圆形纸片，定点 到圆心 的距离为2，按上述方法折纸.以线段 的中点 为原点，线段 所
在直线为 轴，建立平面直角坐标系 ，记点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的标准方程；
(2)设直线 ： = + ( ≠ 0)与曲线 交于 ， 两点．
8√ 3
①若直线 过点 ，且△ 的面积为 ，求实数 的值；
5
②若直线 过定点 (0,1)， 为坐标平面上的动点，直线 ， ， 斜率的倒数成等差数列，试探究点 是
否在某定直线上，若存在，求出该定直线的方程，若不存在，请说明理由．
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19.(本小题12分)
+
已知有穷数列 ： 1， 2，…， ( ≥ 1)，满足 ∈ ( 1,1)，记 = ( ≠ )，定义如下操作过程 ：1+
从 中任取两项 ， ，将 的值添在 的最后，然后删除 ， ，这样得到一个 1项的新数列 1，继续
实施一次操作过程 ，得到的新数列记作 2，…，如此经过 次操作后得到的新数列记作 ．
1 1
(1)设数列 ：0, , ，求 1的所有可能的结果； 2 4
(2)证明： 1 < < 1；
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(3)设数列 ： , , , , , , , , , ，求 的可能结果，并说明理由．
3 3 4 5 6 2 3 4 5 6 9
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4 + 15 = 0
13.【答案】20
14.【答案】(1,1 + √ 3]
15【. 答案】解：(1)因为( 2)( + 1) = 0 + +
2 +1
1 2 + + +1 ( ∈ )，满足 0 + 1 + 2 + +
+1 = 32．
令 = 1时， 0 + 1 + 2 + + +1 = 32 = 2
，
可得 = 5．
(2)由(1)知( 2)( + 1)5 = ( 2) ( 0 55 +
1 4
5 + +
5
5 )，
故 3 3 2 2 3 33 = 5 + ( 2) 5 = 10 ，
所以 3 = 10．
16【. 答案】(1)证明：圆 ： 2 + 21 2 3 = 0的标准方程为( 1)
2 + 2 = 4，圆心 1(1,0)，半径 1 = 2，
圆 ： 2 + 22 + 4 6 + 3 = 0的标准方程为( + 2)
2 + ( 3)2 = 10，圆心 2( 2,3)，半径 2 = √ 10，
于是| 1 2| = √ ( 2 1)2 + 32 = 3√ 2，即 2 1 < | 1 2| < 1 + 2，
所以圆 1与圆 2相交；
2 + 2 2 3 = 0
(2)解：由{ 2 2 ，得 = + 1， + + 4 6 + 3 = 0
将 = + 1代入圆 1得： = ±1，当 = 1时， = 2；当 = 1时， = 0，
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则圆 1与圆 2的交点为 (1,2)， ( 1,0)，线段 的中点坐标为(0,1)，
而圆心 在 轴上，因此圆心 为(0,1)，所以圆 的方程为 2 + ( 1)2 = 2．
17.【答案】解：(1)正项数列{ }的前 项和为 ，满足
2
= 4 2 1( ∈ )，
当 = 1时， 21 = 4 1 2 1 1，
即( 1 1)
2 = 0，∴ 1 = 1，
当 ≥ 2时，由 2 = 4
2 1( ∈ )，
可得 2 1 = 4 1 2 1 1，
两式相减并化简得( + 1)( 1 2) = 0，
又 > 0，则 1 = 2，
∴数列{ }是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴ = 2 1( ∈ )．
(2)证明：由(1)得， = 2 1( ∈
)，
+1 +1 1 1 1
又 = 2 2，则 = 2 2 = [ 2]， ( +2) ( +1) 4 ( +2) 16
2 ( +2)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则 = [1 2 + 2 2 + 2 2 +. . . + + ] 16 3 2 4 3 2 2 25 ( 1) ( +1) 2 ( +2)
1 1 1 1 1 1 5
= [1 + ] < (1 + ) = ．
16 22 2 2 2( +1) ( +2) 16 2 64
18.【答案】解：(1)以 所在的直线为 轴， 的中点 为原点建立平面直角坐标系，
设 ( , )为椭圆上一点，由题意可知| | + | | = | | = 4且| | = 2，
则曲线 是以 ， 为左、右焦点，长轴长2 = 4，焦距2 = 2的椭圆，
2 2
其中 = 1， = 2， 2 = 2 2 = 3，∴曲线 的标准方程为 + = 1．
4 3
(2)(2)①由(1)知 (1,0)，直线 ： = + ( ≠ 0)过 (1,0)，
可得0 = + ，即 = ，
∴直线 的方程为 = ( 1)，设两交点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
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= ( 1)
联立方程组{ 2 2 ，得(4 2 + 3) 2 8 2 + 4 2 12 = 0， = 64 4 4(4 2 + 3)(4 2 12) =
+ = 1
4 3
144( 2 + 1) > 0．
2 2
8 4 12
则 1 + 2 = ， 1 2 = ， 2 2
4 +3 4 +3
2 2 2
8 4 12 12( +1)
∴ | | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 1 +
2 √ ( + )21 2 4 1 2 = √ 1 +
2√ ( )22 4 ， 2 = 2
4 +3 4 +3 4 +3
| 2 |
又椭圆左焦点 ( 1,0)到直线 的距离为 =
√ 2
，
1+
2
1 1 | 2 | 12( +1) 8√ 3
∴ △ = | | = 2 =2 2 5 ，
√ 2 4 +3 1+
2 2 12解得 = 3或 = (舍去)，即 = ±
11 √ 3
；
(2)②解：设点 ( 0, 0)，设点 ( 1, 1)、 ( 2, 2)，
∵直线 过定点 (0,1)，∴直线 的方程为 = + 1，
= + 1
联立{ 2 2 2 2 消去 得(3 + 4 ) + 8 8 = 0， = 96(2 2 + 1) > 0．
+ = 1
4 3
8 8 1
∴ 1 + 2 = ， = ， =
0 1 = 0 0 22 1 2 2 =
3+4 3+4 0
， ， 1 0 0
，
2
1 1 2
由已知可得 + = ，
2
∴ 0
0 1 0 2 0 1 0 0 = + ( ) + ( 2
0 ) = 0
1 ，即 0 1 0 1 0 1
，
0 0 1 0 2 2 0
1( 0+1
将 = + 1， = + 1代入上述等式可得 0
) ( +1 )
1 1 2 2 +
2 0 0 = 0，
( 0 1)( 0 1) ( 0 2)( 0 1)
当 0 + 1 0 = 0时，点 在 上，显然满足；
1 2
当 0 + 1 0 = 0时， + = 0( 0 1)(
，
0 1) ( 0 2)( 0 1)
整理可得 1(
2
0 0 + 2 2 0) + 1(
2
0 0 + 1 1 0) = 0，
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可得( + )( 21 2 0 0) + ( 1 2 + 2 1)(1 0) = 0，
即( 21 + 2)( 0 0) + (2 1 2 + 1 + 2)(1 0) = 0，
8 24
即 2 (
2
0 0) 2 (1 0) = 0对任意的 ∈ 恒成立，
3+4 3+4
∴ 20 4 0 + 3 = 0，解得 0 = 1或 0 = 3．
由于 的斜率不为0，∴ 0 ≠ 1，故 0 = 3；
∴点 是在定直线 = 3上．
+
19.【答案】解：(1)因为有穷数列 ： 1， 2，…， ( ≥ 1)，满足 ∈ ( 1,1)，则 = ( ≠ )， 1+
又定义如下操作过程 ：从 中任取两项 ， ，将 的值添在 的最后，然后删除 ， ，这样得到一个 1
项的新数列 1，
继续实施一次操作过程 ，得到的新数列记作 2，…，如此经过 次操作后得到的新数列记作 ，
1 1
所以当数列 ：0, , 时，
2 4
1
可得 = = 1
+ 2 0+2 1 1 1
12 21 = = ，此时 ： , ． 1+ 1 11 2 1+0× 2 4 2
2
1
+
= 1 3
0+
4 1 1 1
13 31 = = = ，此时 ： , ． 1+ 1 1 4 13 1+0× 2 4
4
1 1
+ + 2 2
23 = =
1 3 = 2 432 = ，此时 1+ 1 1 3 1：0, ． 1 3 1+ × 3
2 4
1 1 1 1 2
综上可得： 4有如上的三种可能结果 1： , ； ： , ； ：0, ． 4 2 1 2 4 1 3
+ ( 1)( 1)
(2)证明：因为 ， ∈ { | 1 < < 1}，有 1 = < 0， 1+ 1+
+ ( +1)( +1)
又 ( 1) = > 0，所以 1 < < 1；
1+ 1+
+
(3)对于满足 ， ∈ { | 1 < < 1}的实数 ， 定义运算： ～ = ，
1+
下面证明这种运算满足交换律和结合律：
+ +
因为 ～ = ，且 ～ = ，所以 ～ = ～ ，即该运算满足交换律；
1 1+
+
+ + + + +
又 ～( ～ ) = ～ 1+ + = ， 1+ 1+ 1+ + +
1+
+
+ + + + +
且( ～ )～ = ～ = 1+ = ，
1+ + 1+ 1+ + +
1+
所以 ～( ～ ) = ( ～ )～ ，即该运算满足结合律．
所以 9中的项与实施的具体操作过程无关．
选择如下操作过程求 9：
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1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1
由(1)可知 ～ = ； ～ = 0； ～ = 0； ～ = 0； ～ = 0；
2 4 3 3 3 3 3 5 5 6 6
1 1
所以 5的其中一种结果为 ，0，0，0，0，因此 5经过4次操作后剩下一项为 ． 4 4
1
综上可知： 9： ． 4
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