2025年四川省遂宁市第二中学校高2022级二模考试
数 学
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．考试结束后，只将答题卡交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i为虚数单位，复数z满足zi＝－2＋i，则＝（ ）
A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．直线的方向向量可以是（ ）
A． B． C． D．
4．等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．63 B．48 C．31 D．15
5．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知、分别为双曲线：（，）的左右焦点，为其左支上一点，且，则双曲线离心率的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取）
A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天
8．圆O半径为1，为圆O的两条切线，A，B为切点，设，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数据的方差为4
B．数据的平均数为17
C．数据的平均数为10，方差大于1
D．若数据的中位数为分位数为，则
10．如图，在正四面体中，分别为侧棱上的点，且，为的中点，为四边形内（含边界）一动点，，则（ ）
A．
B．五面体的体积为
C．点的轨迹长度为
D．与平面所成角的正切值为
11．对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“比翼函数”.则下列说法正确的是（ ）
A．函数是“比翼函数”
B．若函数在上为“比翼函数”，则
C．若函数在上为“比翼函数”，当，，则，
D．若函数在上为“比翼函数”，其函数值恒大于0，且在上是单调递减函数，记，若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数的图象在点处的切线方程为 .
13．已知、分别为椭圆：（）的左右焦点，过作圆：的切线与椭圆在第二象限交于点，且，则椭圆的离心率为 ．
14．若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题13分）某公司拟通过摸球的方式给员工发放节日红包，在一个不透明的袋子中装有5个标有红包金额的球，其中2个球分别标注40元，2个球分别标注50元，1个球标注60元，这5个球除标注的金额外完全相同．每名员工从袋中一次摸出1个球，共摸n次，摸出的球上所标注的金额之和为该员工所获得的红包金额．
(1)若，求一名员工所获得的红包金额不低于50元的概率；
(2)若，且每次摸出的球放回袋中，设事件A为“一名员工所获得的红包金额不大于100元”，事件B为“一名员工所获得的红包金额不小于100元”，试判断A，B是否相互独立，并说明理由．
16．（本题15分）已知函数，为的导函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值．
17．（本题15分）如图，在四棱锥中，所有棱长都相等，，分别是棱，的中点，是棱上的动点，且.
(1)若，证明：平面.
(2)求平面与平面夹角余弦值的最大值.
18．（本题17分）已知，点分别是抛物线的焦点与曲线上一动点，点在抛物线上方，且的周长最小值为．
(1)求抛物线的方程；
(2)点是抛物线上的动点，点是点处抛物线切线的交点，若的面积等于32，线段为圆的直径，求的取值范围．
19．（本题17分）设是各项均为正数的无穷数列，其前项和为.
(1)若对任意都成立，且.
①求数列的通项公式；
②已知首项为，公比满足的无穷等比数列，当无限增大时，其前项和无限趋近于常数，则称该常数为无穷等比数列的各项和.现从数列中抽取部分项构成无穷等比数列，且的各项和不大于，求的最大值.
(2)若对任意都成立，试证明：.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D C D C C D AB ABD
题号 11
答案 ACD
12．
13．
14．
15．（1）一名员工所获得的红包金额不低于50元，即获得50元或60元，
故所求概率为．
（2）由题意，事件AB表示“一名员工所获得的红包金额为100元”．
因为，
所以 ．
“一名员工所获得的红包金额为80元或90元或100元”，
因为，
所以．
“一名员工所获得的红包金额为100元或110元或120元，
因为，
所以．
所以，
所以A，B不相互独立．
16．（1）因为的定义域为，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）依题意，，则，
令，解得或．
当变化时，，的变化情况如表所示：
1 2
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
函数的单调递减区间为，单调递增区间为，．
故的极小值为，的极大值为．
17．（1）连接，记，连接.
因为四边形是正方形，所以是的中点，
因为是的中点，所以.
因为分别是棱的中点，所以，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）四边形为菱形，所以，
由平面，、平面，得，，
故以为原点，分别以，，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，，
从而，，，.
因为，所以，
则.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则
令，得.
设平面与平面的夹角为(为锐角)，
则.
因为，所以，
所以，
则当时，平面与平面夹角的余弦值取得最大值.
18．（1）由题意知，过点向准线作垂线交准线于点，交抛物线于点，连接，则有，
可知当点运动到点的位置时，的周长最小，
最小值为，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）由（1）知，则，
设点．
因为为切点，则在点处的切线方程为，且满足．
同理，在点处的切线方程为，且满足，
所以直线为（题眼），
联立消去整理得，
所以，
，
则．
作轴交线段于点，则点的横坐标为，代入直线的方程有，
解得，
所以，
所以，
解得，
所以．
易知点恰为圆的圆心，由极化恒等式得．
因为，
所以的取值范围是，
所以的取值范围是．
19．（1）①因为对任意都成立，所以，且，所以，
则数列是等比数列，又，
作差得，，所以，
又数列为等比数列，故数列的公比为，
又因为，所以，所以，
所以是以1为首项以为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为；
②因为，设数列，公比为，其中，
则数列的各项和等于，所以，
又因为，所以，
当时，由，得，
即时满足题意，所以；
（2）记，，因为 对任意都成立，且，
得，即，
要证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
若为奇数，只需证，
因为，所以，
所以成立；
若为偶数，只需证，
因为，所以，又，
所以成立；
综上可知，对任意，不等式都成立.
