【全优金卷】2024-2025学年八年级下学期数学单元测试卷
第17章 勾股定理单元测试卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：人教版八年级下册第17章 勾股定理所有内容
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定，把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2
【答案】C
【详解】解：A、∵，
∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意；
B、，这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意；
C、∵，
∴6，8，10是勾股数，符合题意；
D、不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
2．△ABC的三边分别为，下列条件不能使△ABC为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A中、∵，
∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；
B中、∵，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；
C中、∵，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；
D中、∵，
设
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴△ABC不是直角三角形，故选项符合题意；
故选：D．
3．如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可得：，，，
∵，
∴，
∴点表示的数为，
故选：B．
4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，如图，为边上的高，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
解得：，
故选：B．
5．如图，已知四边形，，，，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【详解】解：延长和交于点，如图，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
在中，，，，
，
．
故选：D．
6．五根木棒（单位：）的长度分别为5，9，12，15，17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（ ）
A．5，9，12 B．9，12，17 C．12，15，17 D．9，12，15
【答案】D
【详解】A、，不符合勾股定理，不能组成直角三角形，不符题意；
B、，不符合勾股定理，不能组成直角三角形，不符题意；
C、，不符合勾股定理，不能组成直角三角形，不符题意；
D、符合勾股定理，能组成直角三角形，符合题意；
故选：D
7．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由图形可知，正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方，
，
正方形、的面积分别为、，
最大正方形的面积，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，，为的平分线，于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，为的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．若，，则正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
故选：A
10．如图，以直角三角形的各边为直径分别作半圆，把较小的两个半圆的重叠部分的面积记为，大半圆未重叠部分的面积记为，则△ABC的面积可表示成（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设以的斜边为直径的半圆为大半圆，以为直径的半圆为中半圆，以为直径的半圆为小半圆，
∵，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图所示，，垂足为，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵．
∴．
∵．
∴．
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12．如图，竹高尺，处被折断竹稍抵达地面，离竹根部有尺，则竹的余高为 尺．
【答案】
【详解】解：设尺，则尺，
∵，
∴，
解得，
∴尺，
故答案为：．
13．如图，在△ABC中，，，，的平分线交于点，则 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，是的角平分线，
∴，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为：．
14．已知，在△ABC中，，，，点在边上，且，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示：
在中，，，，
，
点在边上，且，
，
，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
，
．
故答案为：．
15．如图，在四边形中，，，．若，，则的面积为 ．
【答案】20
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
16．若直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为 ．
【答案】或
【详解】解：当12是斜边时，第三边是；
当12是直角边时，第三边是．
故答案为：或．
17．如图，将长方形纸片沿折叠，折叠后点落在处，点恰好与点重合，已知的长为 ．
【答案】
【详解】解：设，
∵，
∴，
在中，
∵将长方形纸片沿折叠，
∴，，
∴，
在中，
∴
解得：
∴
故答案为：．
18．如图，，垂足分别为点B，C，，．点P为射线上一动点，连结，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ．
【答案】或或
【详解】解：如图：
过D作于M，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得： ，
∵是以为腰的等腰三角形，
∴分为两种情况：
①时，设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或7，
或7；
②时，
在中，由勾股定理得：，
；
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共6个小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上．
(1)填空：_______，_____，_____；
(2)△ABC是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由．
【答案】(1)，，
(2)△ABC是直角三角形，理由见解析
【详解】（1）解：由网格得，，，，
故答案为：，，；
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴△ABC是直角三角形．
20．如图，在△ABC中，，点在上，，，垂足分别为、，且．
(1)求证：是的中点；
(2)若，，求△ABC的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：因为，，且，
所以是的角平分线，
因为在△ABC中，，
所以是的中点．
（2）解：因为是的中点，，
所以，
因为，，
所以，
，
所以，
答：△ABC的面积为．
21．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米．
(1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？
(2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？
【答案】(1)这架梯子的顶端到地面的距离为；
(2)梯子的顶端沿墙向上移动了．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，
即，所以，
即这架梯子的顶端到地面的距离为；
（2）解：，，
在中，由勾股定理得，
即，
∴，
∴，
即梯子的顶端沿墙向上移动了．
22．如图，，的平分线与的平分线相交于E，，，的延长线交于D．
(1)求长；
(2)求证：；
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）证明：∵,
∴，
∵的平分线与的平分线相交于E，
∴，
∴，
∴，
∵，,
∴．
（2）证明：如答图，延长二线交于点G，
∵,
∴，
∵的平分线与的平分线相交于E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
23．如图，是等边△ABC的边上的动点（不与点重合），在边上取点，使．连接交于点．
(1)求证：；
(2)和所成锐角是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)设的三边长分别为，试探究之间有何数量关系？写出你的结论，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)和所成锐角为定值，为
(3)，证明见解析
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：和所成锐角是定值．
，
，
又，
；
（3）解：．
证明：过点作，交的延长线于点，
由（2）知，
，
，
，
，
，
．
24．【教材变式】
【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题：
【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程；
【应用】如图3，在△ABC中，是边上的高，，，，设，求的值；
【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积．
【答案】操作：见解析；应用：；拓展：飞镖状图案的面积为24
【详解】[操作]
大的正方形的面积可以表示为，
大的正方形的面积又可以表示为，
，
．
[应用]
是边上的高，
，
，，，，
，
在中，，
在中，，
，
即，
解得；
[拓展]
飞镖状图案的面积为24．
飞镖模型的周长为24，观察可知，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得，
，
飞镖状图案的面积．
【全优金卷】2024-2025学年八年级下学期单元测试卷
第17章 勾股定理单元测试卷02
答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空题
三、解答题
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
a
b
A
C
b
B
a
b
C
4
b
I
C
a
B
b
a
图1
图2
图
3
图4
r
1
1
I
1
I
1
1
1
1
1
1
1
A
A
E
F
B
D
C
D
A
CEB
P
E
C
D
A
B
E
B
F
C
D
【全优金卷】2024-2025学年八年级下学期数学单元测试卷
第17章 勾股定理单元测试卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：人教版八年级下册第17章 勾股定理所有内容
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定，把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2
2．△ABC的三边分别为，下列条件不能使△ABC为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知四边形，，，，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
6．五根木棒（单位：）的长度分别为5，9，12，15，17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（ ）
A．5，9，12 B．9，12，17 C．12，15，17 D．9，12，15
7．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，，为的平分线，于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．若，，则正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，以直角三角形的各边为直径分别作半圆，把较小的两个半圆的重叠部分的面积记为，大半圆未重叠部分的面积记为，则△ABC的面积可表示成（ ）．
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图所示，，垂足为，则的长为 ．
12．如图，竹高尺，处被折断竹稍抵达地面，离竹根部有尺，则竹的余高为 尺．
13．如图，在△ABC中，，，，的平分线交于点，则 ．
14．已知，在△ABC中，，，，点在边上，且，则的长为 ．
15．如图，在四边形中，，，．若，，则的面积为 ．
16．若直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为 ．
17．如图，将长方形纸片沿折叠，折叠后点落在处，点恰好与点重合，已知的长为 ．
18．如图，，垂足分别为点B，C，，．点P为射线上一动点，连结，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上．
(1)填空：_______，_____，_____；
(2)△ABC是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由．
20．如图，在△ABC中，，点在上，，，垂足分别为、，且．
(1)求证：是的中点；
(2)若，，求△ABC的面积．
21．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米．
(1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？
(2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？
22．如图，，的平分线与的平分线相交于E，，，的延长线交于D．
(1)求长；
(2)求证：；
23．如图，是等边△ABC的边上的动点（不与点重合），在边上取点，使．连接交于点．
(1)求证：；
(2)和所成锐角是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)设的三边长分别为，试探究之间有何数量关系？写出你的结论，并证明．
24．【教材变式】
【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题：
【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程；
【应用】如图3，在△ABC中，是边上的高，，，，设，求的值；
【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积．
