专题训练（一）构造等腰三角形的常用方法
构造等腰三角形的关键是在一个三角形内构建边、角的等量关系，常用方法：
1.利用平行线构造等腰三角形：利用平行线可轻易找到相等的角，再利用“等角对等边”即可构造等腰三角形.
2.利用“三线合一”构造等腰三角形：作角平分线的垂线，与已知角构建等腰三角形；在线段的垂直平分线上找一点，与已知线段构建等腰三角形.此种方法关键在于构建垂直关系.
3.运用倍角关系构造等腰三角形：通过作平行线、角平分线等方式，将倍角关系转化为一个三角形内的等角关系.
4.截长补短构造等腰三角形：在已知线段上取点来构建相等线段，据此即可构造等腰三角形.
类型1 利用平行线构造等腰三角形
1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于点F.求证：DF=EF.
解：如图，过点D作DG∥AC交BC于点G，
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∵DG∥AC,
∴∠ACB=∠DGB，∠DGC=∠BCE.
∴∠ACB=∠DGB=∠B.
∴DG=DB.
∵BD=CE,∴DG=EC.且∠DGF=∠ECF，∠DFG=∠EFC.
∴△DFG≌△EFC(AAS).
∴DF=EF．
答图
类型2 利用“三线合一”构造等腰三角形
2.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，且AE⊥BE，交BD的延长线于点E.求证：BD=2AE.
解：如图，延长AE，BC相交于点F，
∵∠AED=∠ACB=90 °，
∠EDA=∠CDB，
∴∠FAC=∠DBC.
在△AFC与△BDC中，
∠FAC=∠DBC,
AC=BC,
∠FCA=∠DCB,
∴△AFC≌△BDC(ASA).
∴AF=BD.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE.
在△ABE与△FBE中，
∠ABE=∠FBE,
BE=BE, 答图
∠AEB=∠FEB,
∴△ABE≌△FBE(ASA).
∴AE=EF.
∴BD=AF=2AE.
类型3 运用倍角关系构造等腰三角形
3.如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠BDE=∠C,BE⊥DE,垂足为E，DE与AB相交于点F，DG∥AC交AB于点H，交BE的延长线于点G.求证：△BDG是等腰三角形.
证明：∵DG∥AC，∴∠BDG=∠C.
∵∠BDE=∠C，
∴∠BDE=∠BDG，即∠GDE=∠BDE.
∵BE⊥DE，∴∠BED=∠GED=90 °.
∴∠G=∠GBD.
∴△BDG是等腰三角形.
类型4 截长补短构造等腰三角形
4.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点B作BF⊥AD于点F，延长BF交AC于点E.
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
（2）已知AC=14，BD=5，求AB的长．
(1)证明：∵BE⊥AD，
∴∠AFE=∠AFB=90 °.
又∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF=∠BAF.
在△AEF和△ABF中，
∠AFE+∠EAF+∠AEF=180 °，∠AFB+∠BAF+∠ABF=180 °,
∴∠AEF=∠ABF.
∴△ABE为等腰三角形；
(2)解：如图，连接DE，在△ABD和△AED中，
AB=AE，
∠BAD=∠EAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△AED(SAS).
∴BD=ED，∠ABD=∠AED.
又∵∠ABC=2∠C，∴∠AED=2∠C. 答图
在△CED中，∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠C=∠EDC.
∴EC=ED=BD．
∴AB=AE=AC-CE=AC-BD=14-5=9．
类型5 构造等腰三角形的综合
5.如图，E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，已知AE∥BC，BF=AE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AF=4，求CE的长．
(1)证明：∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠ACB.
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE=∠EAC.
∴∠B=∠ACB.
∴△ABC是等腰三角形；
(2)解：∵∠B=∠ACB，∴AB=CA.
在△ABF和△CAE中，
AB=CA,
∠B=∠EAC，
BF=AE，
∴△ABF≌△CAE(SAS).
∴AF=CE=4.
6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16 cm，BC=12 cm，AC=20 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的路线运动，速度为1 cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A的路线运动，速度为2 cm/s，它们同时出发，设出发的时间为t s．
(1)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
(2)当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
解：(1)由题意可知AP=t cm，BQ=2t cm，
∵AB=16 cm，∴BP=AB-AP=(16-t)cm.
∵∠B=90 °，∴当△PQB为等腰三角形时，有BP=BQ，
即16-t=2t，解得t=.
∴出发 s后△PQB是等腰三角形；
(2)①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时，CQ=BQ，如图1所示，
则∠C=∠CBQ.
∵∠ABC=90 °，
∴∠CBQ+∠ABQ=90 °，
∠A+∠C=90 °.
∴∠A=∠ABQ.
∴BQ=AQ. 图1
∴CQ=AQ=10 cm.
∴BC+CQ=22 cm.
∴t=22÷2=11;
②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时，CQ=BC，如图2所示，
则BC+CQ=2BC=24 cm，
∴t=24÷2=12．
综上所述，出发11 s或12 s后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
图2专题训练（一）构造等腰三角形的常用方法
构造等腰三角形的关键是在一个三角形内构建边、角的等量关系，常用方法：
1.利用平行线构造等腰三角形：利用平行线可轻易找到相等的角，再利用“等角对等边”即可构造等腰三角形.
2.利用“三线合一”构造等腰三角形：作角平分线的垂线，与已知角构建等腰三角形；在线段的垂直平分线上找一点，与已知线段构建等腰三角形.此种方法关键在于构建垂直关系.
3.运用倍角关系构造等腰三角形：通过作平行线、角平分线等方式，将倍角关系转化为一个三角形内的等角关系.
4.截长补短构造等腰三角形：在已知线段上取点来构建相等线段，据此即可构造等腰三角形.
类型1 利用平行线构造等腰三角形
1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于点F.求证：DF=EF.
类型2 利用“三线合一”构造等腰三角形
2.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，且AE⊥BE，交BD的延长线于点E.求证：BD=2AE.
类型3 运用倍角关系构造等腰三角形
3.如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠BDE=∠C,BE⊥DE,垂足为E，DE与AB相交于点F，DG∥AC交AB于点H，交BE的延长线于点G.求证：△BDG是等腰三角形.
类型4 截长补短构造等腰三角形
4.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点B作BF⊥AD于点F，延长BF交AC于点E.
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
（2）已知AC=14，BD=5，求AB的长．
类型5 构造等腰三角形的综合
5.如图，E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，已知AE∥BC，BF=AE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AF=4，求CE的长．
6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16 cm，BC=12 cm，AC=20 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的路线运动，速度为1 cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A的路线运动，速度为2 cm/s，它们同时出发，设出发的时间为t s．
(1)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
(2)当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
