3 匀速圆周运动的向心力和向心加速度(二)
［学习目标］ 1.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式并能进行计算(重难点)。2.理解向心加速度与线速度、角速度的关系式并能用向心加速度公式求解有关问题(重点)。
一、向心力的来源分析和计算
如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受到的摩擦力大小怎样变化？
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1.实验表明：做匀速圆周运动所需向心力的大小跟转动半径r成 ，跟角速度ω的平方成 ，跟物体的质量m成正比。
2.向心力大小：F= 或F=m。若用周期和转速表示，还可以写为F= = 。若同时用角速度和线速度表示可写为F= 。
3.向心力方向：向心力的方向总与物体的速度方向 ，所以它只改变速度的 ，不改变速度的 。
4.几种常见的圆周运动向心力的来源归纳
实例分析 图例 向心力来源
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 (俯视图) (弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 提供向心力
物体A随水平转台做匀速圆周运动，且物体A相对于转台静止 的合力提供向心力
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动且未发生滑动 提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时 的合力提供向心力
飞机水平转弯做匀速圆周运动 的合力提供向心力
例1 (2023·盐城市高一校考期末)如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是 ( )
A.小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B.向心力由细线对小球的拉力提供
C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于
例2 (2023·遂宁中学月考)某质量为50 kg的乘客坐在以360 km/h的不变速率行驶的车里，随车驶过半径为2 500 m的弯道，下列说法正确的是 ( )
A.乘客受到的向心力大小约为200 N
B.乘客受到的向心力大小约为539 N
C.乘客受到的向心力大小约为300 N
D.弯道半径越大，以相同速率行驶时乘客需要的向心力越大
二、向心加速度
根据牛顿第二定律和向心力表达式，试推导向心加速度的表达式。
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1.向心加速度的定义：做匀速圆周运动的物体，在 作用下产生的指向 的加速度。
2.向心加速度公式
(1)a== 。
(2)由于v=ωr，所以向心加速度也可以写成a= 。
(3)由于ω==2πf，所以向心加速度也可以写成a= = 。
3.圆周运动的性质：不论向心加速度a的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。
4.向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动
(1)物体做非匀速圆周运动时，加速度的方向不是指向圆心，但它可以分解为沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其中指向圆心方向的分量就是向心加速度，此时向心加速度仍满足：a==ω2r。
(2)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。
从公式a=看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式a=ω2r看，向心加速度与半径成正比，这两种结论是否矛盾？为什么？
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(1)向心加速度越大，线速度方向改变得越快。 ( )
(2)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心，大小不变。 ( )
(3)由a=r知，向心加速度a与半径r成正比。 ( )
例3 (多选)(2022·烟台市高一期中)如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，下列关系式正确的是 ( )
A.v1∶v2=1∶1 B.v1∶v2=∶1
C.a1∶a2=2∶1 D.a1∶a2=∶1
例4 某同学在研究圆周运动时做摆臂动作，用手机内置的速度传感器测定手的速度。该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度(刻度尺的零刻度线与肩平齐)，如图所示，然后他水平伸直手臂，手握手机，将手臂以肩为轴自然下摆。若当手臂摆到竖直位置时，手机显示的速度大小约为0.65 m/s，则此时手机的向心加速度大小约为 ( )
A.0.65 m/s2 B.1.3 m/s2
C.2 m/s2 D.6.5 m/s2
三、圆周运动的动力学问题
例5 (多选)(2024·南充市高一期中)如图，质量为m的熙熙小朋友(可视为质点)坐在秋千上自由摆动，摆动到最高点时悬线与竖直方向的夹角为30°，重力加速度大小为g，下列说法正确的是 ( )
A.熙熙在最高点时的速度为零，所受合力为零
B.熙熙在最高点时，秋千对她的作用力为mg
C.熙熙在最低点时，秋千对她的作用力为mg
D.熙熙在最低点时的向心力最大
分析匀速圆周运动动力学问题的基本步骤
1.明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2.确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
3.找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。
4.利用牛顿第二定律列方程F合=F=mω2r=m=mr。
5.解方程求出待求物理量。
答案精析
一、
(1)物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力。
(2)当物体转动的角速度变大后，由F=mω2r，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。
梳理与总结
1.正比 正比
2.mω2r m()2·r m(2πn)2·r mvω
3.垂直 方向 大小
4.绳的拉力 静摩擦力 拉力和摩擦力 弹力
拉力和重力 空气的作用力和重力
易错辨析
(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
例1 B ［老鹰在水平面内做匀速圆周运动，受到重力和空气对它的作用力，合力提供向心力，向心力是效果力，不是老鹰另外受到的力，故B正确，A、C、D错误。］
例1 C
［对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图所示，A、B错误，C正确；向心力的大小Fn=mgtan θ，D错误。
］
例2 A ［由题知F=m=200 N，A正确，B、C错误；弯道半径越大，以相同速率行驶时乘客需要的向心力越小，D错误。］
二、
已知向心力表达式F=m=mω2r，根据牛顿第二定律F=ma可得a==ω2r。
梳理与总结
1.向心力 圆心
2.(1)ω2r (2)ωv (3)r 4π2f2r
讨论交流
不矛盾。在线速度一定的情况下，向心加速度与半径成反比，在角速度一定的情况下，向心加速度与半径成正比。
例2 (1)操作2 (2)操作3 (3)操作4 (4)ABC
解析 (1)操作2与操作1相比，操作2的半径大，沙袋的质量和角速度相等，根据F=mω2r知拉力较大的是操作2；
(2)操作3与操作1相比，操作3沙袋的角速度较大，半径和质量相等，根据F=mω2r知拉力较大的是操作3；
(3)操作4与操作1比较，半径和角速度相等，操作4沙袋质量较大，根据F=mω2r知拉力较大的是操作4；
(4)总结以上四次体验性操作，可知物体做匀速圆周运动时，向心力大小与质量、半径和角速度有关，故A、B、C正确，D错误。
例3 (1)B (2)A (3)D
解析 (1)本实验所采用的实验探究方法为控制变量法，与探究加速度与力、质量的关系实验方法相同，故选B。
(2)小球所受的合力提供向心力，实验中将挡板对小球的支持力近似地看作小球所受的合力，故小球与槽之间的摩擦力应尽可能减小，A正确；变速轮塔的作用是改变小球做圆周运动的角速度大小，B错误；在探究向心力大小与半径的关系时，应将两个相同质量的钢球分别放在挡板B、C两处，皮带套在半径相同的轮塔上，控制角速度相同，C错误；当质量和运动半径不变时，向心力大小与角速度的平方成正比，D错误。
(3)由题意可知，左、右两球做圆周运动的向心力之比为F左∶F右=1∶9，则由F=mrω2可得=，由v=rω可知皮带连接的左、右轮塔半径之比为==3∶1，故选D。
例4 (1) (2) (3)r
解析 (1)由ω=，v=，可得ω=
(2)由题意可得
F=mω2L=m()2L=mL()2()2
故mL()2=k
因此滑块的质量m=
(3)由F=mω2r可知，当m、ω一定时，F∝r，所以以r为横轴画出的图像更直观；
作F-r图像，则图线的斜率为
k'=mω2=)2=。
易错辨析
(1)√ (2)√ (3)×
例3 BD ［甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，轨道半径关系为==，甲、乙两物体随地球一起自转，角速度相同，由线速度与角速度的关系知==，故A错误，B正确；由向心加速度a=ω2R知，==，故C错误，D正确。］
例4 A ［根据题意，由题图可知，手机转动的半径约为0.65 m，由公式an=可得，手臂摆到竖直位置时手机的向心加速度大小约为an==0.65 m/s2，故选A。］
三、
例5 BD ［在最高点时，速度为零，受力分析如图，可知F合=mgsin 30°=mg，
F1=mgcos 30°=mg，故A错误，B正确；
在最低点时，由牛顿第二定律，可得Fn=F-mg=m，秋千对她的作用力为F=mg+m>mg，在最低点时，速度最大，向心力最大，故C错误，D正确。］(共54张PPT)
DIERZHANG
第二章
3 匀速圆周运动的向心力和向心加速度(二)
1.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式并能进行计算(重难点)。
2.理解向心加速度与线速度、角速度的关系式并能用向心加速度公式求解有关问题(重点)。
学习目标
一、向心力的来源分析和计算
二、向心加速度
课时对点练
三、圆周运动的动力学问题
内容索引
向心力的来源分析和计算
一
如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
答案 物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力。
(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受到的摩擦力大小怎样变化？
答案 当物体转动的角速度变大后，由F=mω2r，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。
1.实验表明：做匀速圆周运动所需向心力的大小跟转动半径r成 ，跟角速度ω的平方成 ，跟物体的质量m成正比。
2.向心力大小：F= 或F=m。若用周期和转速表示，还可以写为F= = 。若同时用角速度和线速度表示可写为F= 。
3.向心力方向：向心力的方向总与物体的速度方向 ，所以它只改变速度的 ，不改变速度的 。
梳理与总结
正比
正比
mω2r
m(2πn)2·r
m()2·r
mvω
垂直
方向
大小
4.几种常见的圆周运动向心力的来源归纳
实例分析 图例 向心力来源
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 (俯视图) (弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 提供向心力
绳的拉力
静摩擦力
实例分析 图例 向心力来源
物体A随水平转台做匀速圆周运动，且物体A相对于转台静止 的合力提供向心力
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动且未发生滑动 提供向心力
拉力和摩擦力
弹力
实例分析 图例 向心力来源
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时 的合力提供向心力
飞机水平转弯做匀速圆周运动 的合力提供向心力
拉力和重力
空气的作用力和重力
(2023·盐城市高一校考期末)如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是
A.小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B.向心力由细线对小球的拉力提供
C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于
例1
√
对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图所示，A、B错误，C正确；
向心力的大小Fn=mgtan θ，D错误。
(2023·遂宁中学月考)某质量为50 kg的乘客坐在以360 km/h的不变速率行驶的车里，随车驶过半径为2 500 m的弯道，下列说法正确的是
A.乘客受到的向心力大小约为200 N
B.乘客受到的向心力大小约为539 N
C.乘客受到的向心力大小约为300 N
D.弯道半径越大，以相同速率行驶时乘客需要的向心力越大
例2
√
由题知F=m=200 N，A正确，B、C错误；
弯道半径越大，以相同速率行驶时乘客需要的向心力越小，D错误。
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向心加速度
二
根据牛顿第二定律和向心力表达式，试推导向心加速度的表达式。
答案 已知向心力表达式F=m=mω2r，根据牛顿第二定律F=ma可得a==ω2r。
1.向心加速度的定义：做匀速圆周运动的物体，在 作用下产生的指向 的加速度。
2.向心加速度公式
(1)a== 。
(2)由于v=ωr，所以向心加速度也可以写成a= 。
(3)由于ω==2πf，所以向心加速度也可以写成a=_____= 。
3.圆周运动的性质：不论向心加速度a的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。
梳理与总结
向心力
圆心
ω2r
ωv
r
4π2f2r
4.向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动
(1)物体做非匀速圆周运动时，加速度的方向不是指向圆心，但它可以分解为沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其中指向圆心方向的分量就是向心加速度，此时向心加速度仍满足：a==ω2r。
(2)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。
从公式a=看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式a=ω2r看，向心加速度与半径成正比，这两种结论是否矛盾？为什么？
讨论交流
答案 不矛盾。在线速度一定的情况下，向心加速度与半径成反比，在角速度一定的情况下，向心加速度与半径成正比。
(1)向心加速度越大，线速度方向改变得越快。( )
(2)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心，大小不变。
( )
(3)由a=r知，向心加速度a与半径r成正比。( )
×
√
√
(多选)(2022·烟台市高一期中)如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，下列关系式正确的是
A.v1∶v2=1∶1 B.v1∶v2=∶1
C.a1∶a2=2∶1 D.a1∶a2=∶1
例3
√
√
甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，轨道半径关系为==，甲、乙两物体随地球一起自转，角速度相同，由线速度与角速度的关系知==，故A错误，B正确；
由向心加速度a=ω2R知，==，故C错误，D正确。
某同学在研究圆周运动时做摆臂动作，用手机内置的速度传感器测定手的速度。该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度(刻度尺的零刻度线与肩平齐)，如图所示，然后他水平伸直手臂，手握手机，将手臂以肩为轴自然下摆。若当手臂摆到竖直位置时，手机显示的速度大小约为0.65 m/s，则此时手机的向心加速度大小约为
例4
A.0.65 m/s2 B.1.3 m/s2
C.2 m/s2 D.6.5 m/s2
√
根据题意，由题图可知，手机转动的半径约为0.65 m，
由公式an=可得，手臂摆到竖直位置时手机的向心加
速度大小约为an==0.65 m/s2，故选A。
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圆周运动的动力学问题
三
(多选)(2024·南充市高一期中)如图，质量为m的熙熙小朋友(可视为质点)坐在秋千上自由摆动，摆动到最高点时悬线与竖直方向的夹角为30°，重力加速度大小为g，下列说法正确的是
A.熙熙在最高点时的速度为零，所受合力为零
B.熙熙在最高点时，秋千对她的作用力为mg
C.熙熙在最低点时，秋千对她的作用力为mg
D.熙熙在最低点时的向心力最大
例5
√
√
在最高点时，速度为零，受力分析如图，可知F合=mgsin 30°
=mg，
F1=mgcos 30°=mg，故A错误，B正确；
在最低点时，由牛顿第二定律，可得Fn=F-mg=m，秋千对她的作用力为F=mg+m>mg，在最低点时，速度最大，向心力最大，故C错误，D正确。
总结提升
分析匀速圆周运动动力学问题的基本步骤
1.明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2.确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
3.找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。
4.利用牛顿第二定律列方程F合=F=mω2r=m=mr。
5.解方程求出待求物理量。
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课时对点练
四
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 9
答案 C A A D D D AD D
题号 10 12
答案 B ABD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8.
(1)5 m/s (2)50 m/s2 (3)0.2
11.
(1)m2g (2)
考点一 向心力的来源及计算
1.(2023·四川省双流中学期中)下列关于向心力的说法中正确的是
A.做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用
B.向心力和重力、弹力一样，是性质力
C.做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合力
D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
1
2
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4
5
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7
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9
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11
12
基础对点练
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
向心力是效果力，不是物体实际受到的力，故A、B错误；
做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合力，故C正确；
在非匀速圆周运动中，其向心力是由合力指向圆心的分力提供的，故D错误。
答案
2.(2023·广雅中学期末)如图所示，水平光滑桌面上有一个小球在细绳的作用下绕桌面上的固定点O做匀速圆周运动。下列说法正确的是
A.若增大角速度，保持绳长不变，则拉力变大
B.若增大角速度，保持绳长不变，则拉力变小
C.若增大绳长，保持角速度不变，则拉力不变
D.若增大绳长，保持角速度不变，则拉力变小
1
2
3
4
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6
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12
√
答案
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
根据分析可得小球做匀速圆周运动时，绳子的拉
力提供向心力，所以有T=F向=mω2r，可得保持绳
长不变即r不变时，若增大角速度，拉力变大，A
正确，B错误；
同理，保持角速度不变，若增大绳长即r变大，拉力变大，C、D错误。
答案
3.(2023·四川宜宾市高一期中)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶3，角速度之比为2∶1。则它们的向心力之比为
A.2∶3 B.1∶3 C.6∶1 D.3∶1
1
2
3
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5
6
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9
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11
12
√
根据F=mω2r可知，它们的向心力之比为=·()2·=×()2×=，故选A。
答案
4.(2023·四川宜宾市高一期末)质量不计的轻质弹性杆P部分插入桌面上小孔中，杆另一端套有质量为m的小球，现使小球在水平面内做半径为R、角速度为ω的匀速圆周运动，如图所示，则杆的上端受到球对它的作用力大小为(g为重力加速度)
A.mω2R B.mg
C.mg+mω2R D.m
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11
12
√
答案
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11
12
小球所受的合力提供向心力，有F合=mω2R，根据平行四边形定则得，杆对小球的作用力F==m，故选D。
答案
考点二 向心加速度的理解与计算
5.(2023·四川绵阳市高一期末)如图所示是甲、乙两物体做匀速圆周运动的向心加速度a的大小随半径r变化的图像，其中甲是反比例函数图像的一个分支。由图可知
A.甲、乙物体的角速度都不变
B.甲、乙物体的线速度大小都不变
C.甲物体的角速度不变，乙物体的线速度大小不变
D.甲物体的线速度大小不变，乙物体的角速度不变
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√
答案
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12
甲的图像是反比例函数图像的一个分支，所以甲的a与
r成反比，由向心加速度公式a=，可知甲物体的线速
度大小不变，由线速度与角速度的关系v=ωr，可知甲
物体的角速度是变化的，故A、C错误；
乙的图像为正比例函数图像，其a与r成正比，由向心加速度公式a=ω2r，所以乙物体的角速度保持不变，由线速度与角速度的关系v=ωr，可知乙的线速度是变化的，故B错误，D正确。
答案
6.(2023·四川绵阳市高一期末)运动员滑雪时运动轨迹如图所示，已知该运动员滑行的速率保持不变，角速度为ω，向心加速度为a。则
A.ω变小，a变小 B.ω变小，a变大
C.ω变大，a变小 D.ω变大，a变大
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12
√
根据ω=可知，速率不变，半径减小，则角速度ω变大；根据a=，可知，速率不变，半径减小，向心加速度a变大。故选D。
答案
7.(多选)(2023·四川内江市高一期末)在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示，是某人玩“泼水成冰”游戏的精彩瞬间，图乙为其简化示意图。假设泼水过程中杯子做匀速圆周运动，半径约为1 m，在0.4 s内杯子旋转了π。下列说法正确的是
A.P位置的小水珠速度方向沿b方向
B.P、Q两位置，杯子的向心加速度相同
C.杯子在旋转时的线速度大小约为6π m/s
D.杯子在旋转时的向心加速度大小约为9π2 m/s2
1
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√
√
答案
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5
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8
9
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11
12
杯子旋转方向为逆时针方向，则P位置的
小水珠速度方向应沿b方向，故A正确；
杯子做匀速圆周运动，向心加速度方向指
向圆心，P、Q两位置，杯子的向心加速度大小相同，方向不同，则P、Q两位置，杯子的向心加速度不同，故B错误；
杯子旋转的角速度为ω==3π rad/s，杯子在旋转时的线速度大小约为v=ωr=3π m/s，故C错误；
向心加速度大小约为a=ω2r=9π2 m/s2，故D正确。
答案
8.(2023·绵阳市高一统考)洗衣机进行脱水时的运动情形可简化为如图所示的模型，一半径r=0.5 m的圆筒竖直放置，当圆筒绕中心轴OO'以角速度ω=10 rad/s匀速转动时，物块恰能贴着圆筒内壁做圆周运动。重力加速度g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
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5
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7
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9
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(1)物块的线速度大小；
答案 5 m/s
物块做匀速圆周运动，有v=ωr
解得v=5 m/s
答案
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(2)物块的向心加速度大小；
答案 50 m/s2
由于a=ω2r
解得a=50 m/s2
答案
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(3)物块与圆筒内壁的动摩擦因数。
答案 0.2
设物块的质量为m，则N=ma
又由于μN=mg
解得μ=0.2。
答案
9.(2024·南充市高一期中)如图所示，一球质量为m，用长为L的细悬线悬挂于O点，在O点正下处钉有一根长钉，把悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子瞬间，下列说法中正确的是
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12
能力综合练
A.小球的线速度突然增大
B.小球的向心加速度突然减小
C.小球的角速度突然减小
D.悬线拉力突然增大
√
答案
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把悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子的前后瞬间，由于重力与拉力都与速度垂直，所以小球的线速度大小不变，故A错误；
根据向心加速度公式a=，可知，线速度大小不变，半径变小，则向心加速度变大，故B错误；
根据v=rω，知线速度大小不变，半径变小，则角速度增大，故C错误；根据牛顿第二定律：T-mg=m，解得：T=mg+m，可知半径变小，则拉力变大，故D正确。
答案
10.(2023·广东深圳市高一期中)如图甲为某同学转动自己手中的笔的过程，该过程可视为圆心为O的圆周运动，如图乙所示。已知笔长为L，当笔尖M的线速度大小为v1时，笔帽N的线速度大小为v2，则笔帽N做圆周运动的加速度大小为
A. B.
C. D.
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√
答案
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笔尖M与笔帽N转动的角速度大小相等，设
角速度为ω，根据角速度与线速度之间的关
系，有v1=ωr1，v2=ωr2，L=r1+r2，解得r1=，
r2=，ω=，笔帽N做圆周运动的加速度大小为a=ωv2=，A、C、D错误，B正确。
答案
11.如图所示，有一质量为m1的小球A与质量为m2的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块B刚好保持静止。求：(重力加速度为g)
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(1)轻绳的拉力大小；
答案 m2g
物块B受力平衡，故轻绳拉力大小
T=m2g
答案
(2)小球A做匀速圆周运动的线速度大小。
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答案
小球A做匀速圆周运动的向心力由轻绳拉力T提供，
根据牛顿第二定律，有m2g=m1
解得v=。
答案
12.(多选)(2023·四川达州市高一期中)如图甲所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上(细绳能承受足够大的拉力)，A、B、C在同一直线上。t=0时，给小球一个垂直于细绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在0≤t≤10 s时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图乙所示，则下列说法正确的是
A.两根铁钉间的距离为细绳长的
B.t=10.5 s时细绳拉力的大小为6 N
C.t=14 s时细绳拉力的大小为10 N
D.细绳第三次碰铁钉到第四次碰钉的时间间隔为3 s
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尖子生选练
√
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答案
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0~6 s内细绳的拉力大小不变，可得F1=m，
6~10 s内细绳的拉力大小不变，知F2=m，
因为F2=F1，则l'=l，两铁钉之间的间距Δx=l-l=l，故A正确；
第一个半圈经历的时间为6 s，则=6 s，则第二个半圈的时间t'==5 s，则t=10.5 s时，小球在转第二个半圈，则细绳的拉力为6 N，故B正确；
答案
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小球转第三个半圈的时间t″==4 s，则t=
14 s时，小球转动的半径r=l″=l，根据F=
m，则拉力变为原来的倍，大小为7.5 N，故C错误；
细绳每跟铁钉碰撞一次，转动半圈的时间比第一次少×6=1 s，则细绳第三次碰铁钉到第四次碰铁钉的时间间隔Δt=(6-3×1) s=3 s，故D正确。
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答案作业12 匀速圆周运动的向心力和向心加速度(二)
［分值：100分］
1~7题每题7分，8题12分，共61分
考点一 向心力的来源及计算
1.(2023·四川省双流中学期中)下列关于向心力的说法中正确的是( )
A.做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用
B.向心力和重力、弹力一样，是性质力
C.做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合力
D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
2.(2023·广雅中学期末)如图所示，水平光滑桌面上有一个小球在细绳的作用下绕桌面上的固定点O做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A.若增大角速度，保持绳长不变，则拉力变大
B.若增大角速度，保持绳长不变，则拉力变小
C.若增大绳长，保持角速度不变，则拉力不变
D.若增大绳长，保持角速度不变，则拉力变小
3.(2023·四川宜宾市高一期中)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶3，角速度之比为2∶1。则它们的向心力之比为( )
A.2∶3 B.1∶3 C.6∶1 D.3∶1
4.(2023·四川宜宾市高一期末)质量不计的轻质弹性杆P部分插入桌面上小孔中，杆另一端套有质量为m的小球，现使小球在水平面内做半径为R、角速度为ω的匀速圆周运动，如图所示，则杆的上端受到球对它的作用力大小为(g为重力加速度)( )
A.mω2R B.mg
C.mg+mω2R D.m
考点二 向心加速度的理解与计算
5.(2023·四川绵阳市高一期末)如图所示是甲、乙两物体做匀速圆周运动的向心加速度a的大小随半径r变化的图像，其中甲是反比例函数图像的一个分支。由图可知( )
A.甲、乙物体的角速度都不变
B.甲、乙物体的线速度大小都不变
C.甲物体的角速度不变，乙物体的线速度大小不变
D.甲物体的线速度大小不变，乙物体的角速度不变
6.(2023·四川绵阳市高一期末)运动员滑雪时运动轨迹如图所示，已知该运动员滑行的速率保持不变，角速度为ω，向心加速度为a。则( )
A.ω变小，a变小 B.ω变小，a变大
C.ω变大，a变小 D.ω变大，a变大
7.(多选)(2023·四川内江市高一期末)在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示，是某人玩“泼水成冰”游戏的精彩瞬间，图乙为其简化示意图。假设泼水过程中杯子做匀速圆周运动，半径约为1 m，在0.4 s内杯子旋转了π。下列说法正确的是( )
A.P位置的小水珠速度方向沿b方向
B.P、Q两位置，杯子的向心加速度相同
C.杯子在旋转时的线速度大小约为6π m/s
D.杯子在旋转时的向心加速度大小约为9π2 m/s2
8.(12分)(2023·绵阳市高一统考)洗衣机进行脱水时的运动情形可简化为如图所示的模型，一半径r=0.5 m的圆筒竖直放置，当圆筒绕中心轴OO'以角速度ω=10 rad/s匀速转动时，物块恰能贴着圆筒内壁做圆周运动。重力加速度g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
(1)(4分)物块的线速度大小；
(2)(4分)物块的向心加速度大小；
(3)(4分)物块与圆筒内壁的动摩擦因数。
9、10题每题8分，11题13分，共29分
9.(2024·南充市高一期中)如图所示，一球质量为m，用长为L的细悬线悬挂于O点，在O点正下处钉有一根长钉，把悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子瞬间，下列说法中正确的是( )
A.小球的线速度突然增大
B.小球的向心加速度突然减小
C.小球的角速度突然减小
D.悬线拉力突然增大
10.(2023·广东深圳市高一期中)如图甲为某同学转动自己手中的笔的过程，该过程可视为圆心为O的圆周运动，如图乙所示。已知笔长为L，当笔尖M的线速度大小为v1时，笔帽N的线速度大小为v2，则笔帽N做圆周运动的加速度大小为( )
A. B.
C. D.
11.(13分)如图所示，有一质量为m1的小球A与质量为m2的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块B刚好保持静止。求：(重力加速度为g)
(1)(6分)轻绳的拉力大小；
(2)(7分)小球A做匀速圆周运动的线速度大小。
(10分)
12.(多选)(2023·四川达州市高一期中)如图甲所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上(细绳能承受足够大的拉力)，A、B、C在同一直线上。t=0时，给小球一个垂直于细绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在0≤t≤10 s时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图乙所示，则下列说法正确的是( )
A.两根铁钉间的距离为细绳长的
B.t=10.5 s时细绳拉力的大小为6 N
C.t=14 s时细绳拉力的大小为10 N
D.细绳第三次碰铁钉到第四次碰钉的时间间隔为3 s
答案精析
1.C ［向心力是效果力，不是物体实际受到的力，故A、B错误；做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合力，故C正确；在非匀速圆周运动中，其向心力是由合力指向圆心的分力提供的，故D错误。］
2.A ［根据分析可得小球做匀速圆周运动时，绳子的拉力提供向心力，所以有T=F向=mω2r，可得保持绳长不变即r不变时，若增大角速度，拉力变大，A正确，B错误；同理，保持角速度不变，若增大绳长即r变大，拉力变大，C、D错误。］
3.A ［根据F=mω2r可知，它们的向心力之比为=·()2·=×()2×=，故选A。］
4.D ［小球所受的合力提供向心力，有F合=mω2R，根据平行四边形定则得，杆对小球的作用力F==m，故选D。］
5.D ［甲的图像是反比例函数图像的一个分支，所以甲的a与r成反比，由向心加速度公式a=，可知甲物体的线速度大小不变，由线速度与角速度的关系v=ωr，可知甲物体的角速度是变化的，故A、C错误；乙的图像为正比例函数图像，其a与r成正比，由向心加速度公式a=ω2r，所以乙物体的角速度保持不变，由线速度与角速度的关系v=ωr，可知乙的线速度是变化的，故B错误，D正确。］
6.D ［根据ω=可知，速率不变，半径减小，则角速度ω变大；根据a=，可知，速率不变，半径减小，向心加速度a变大。故选D。］
7.AD ［杯子旋转方向为逆时针方向，则P位置的小水珠速度方向应沿b方向，故A正确；杯子做匀速圆周运动，向心加速度方向指向圆心，P、Q两位置，杯子的向心加速度大小相同，方向不同，则P、Q两位置，杯子的向心加速度不同，故B错误；杯子旋转的角速度为ω==3π rad/s，杯子在旋转时的线速度大小约为v=ωr=3π m/s，故C错误；向心加速度大小约为a=ω2r=9π2 m/s2，故D正确。］
8.(1)5 m/s (2)50 m/s2 (3)0.2
解析 (1)物块做匀速圆周运动，有v=ωr
解得v=5 m/s
(2)由于a=ω2r
解得a=50 m/s2
(3)设物块的质量为m，则N=ma
又由于μN=mg
解得μ=0.2。
9.D ［把悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子的前后瞬间，由于重力与拉力都与速度垂直，所以小球的线速度大小不变，故A错误；根据向心加速度公式a=，可知，线速度大小不变，半径变小，则向心加速度变大，故B错误；根据v=rω，知线速度大小不变，半径变小，则角速度增大，故C错误；根据牛顿第二定律：T-mg=m，解得：T=mg+m，可知半径变小，则拉力变大，故D正确。］
10.B ［笔尖M与笔帽N转动的角速度大小相等，设角速度为ω，根据角速度与线速度之间的关系，有v1=ωr1，v2=ωr2，L=r1+r2，解得r1=，r2=，ω=，笔帽N做圆周运动的加速度大小为a=ωv2=，A、C、D错误，B正确。］
11.(1)m2g (2)
解析 (1)物块B受力平衡，故轻绳拉力大小
T=m2g
(2)小球A做匀速圆周运动的向心力由轻绳拉力T提供，
根据牛顿第二定律，有m2g=m1
解得v=。
12.ABD ［0~6 s内细绳的拉力大小不变，可得F1=m，6~10 s内细绳的拉力大小不变，知F2=m，因为F2=F1，则l'=l，两铁钉之间的间距Δx=l-l=l，故A正确；第一个半圈经历的时间为6 s，则=6 s，则第二个半圈的时间t'==5 s，则t=10.5 s时，小球在转第二个半圈，则细绳的拉力为6 N，故B正确；小球转第三个半圈的时间t″==4 s，则t=14 s时，小球转动的半径r=l″=l，根据F=m，则拉力变为原来的倍，大小为7.5 N，故C错误；细绳每跟铁钉碰撞一次，转动半圈的时间比第一次少×6=1 s，则细绳第三次碰铁钉到第四次碰铁钉的时间间隔Δt=(6-3×1) s=3 s，故D正确。］
