章末小结(第10章)
考点1 对顶角及其性质
1．下列各组角中，∠1和∠2是对顶角的是( D )
2．(山东日照中考)如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为( B )
A．70° B．80°
C．90° D．100°
3．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC等于46°，求∠AOM的度数．
因为直线AB，CD相交于点O，∠AOC等于46°，
所以∠BOD＝∠AOC＝46°，∠AOD＋∠AOC＝180°，
所以∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－46°＝134°.
因为OM平分∠BOD，所以∠DOM＝∠BOD＝23°，
所以∠AOM＝∠AOD＋∠DOM＝134°＋23°＝157°.
考点2 垂直
4．如图，在河边的A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是( B )
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
5．如图，已知CD⊥AB于点D，且BC＝4，AC＝3，CD＝2.4.则点C到直线AB的距离等于( C )
A．4 B．3
C．2.4 D．2
6．(广西河池月考)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠AOC＝34°，则∠DOE的度数是( B )
A．34° B．56°
C．66° D．146°
7．如图，直线AO⊥BO，CO⊥DO，若∠BOC＝121°，求∠AOD的度数.
因为AO⊥BO，CO⊥DO，所以∠AOB＝∠COD＝90°.因为∠BOC＝121°，所以∠AOC＝∠BOC－∠AOB＝121°－90°＝31°，
所以∠AOD＝∠COD－∠AOC＝90°－31°＝59°.
考点3 三线八角
8．如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是( A )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①②③④
9．如图，与∠1互为同旁内角的有__∠EFD，∠ECD和∠ECB__．
考点4 平行线的判定与性质
10．(广西百色模拟)如图，不能判断l1∥l2的条件是( C )
A．∠1＝∠3
B．∠4＝∠5
C．∠2＝∠3
D．∠2＋∠4＝180°
11．如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为( B )
A．25° B．35°
C．45° D．55°
因为AB∥DC，所以∠B＋∠C＝180°.因为BC∥DE，所以∠C＝∠D，所以∠B＋∠D＝180°.因为∠B＝145°，所以∠D＝35°.
12．(广西梧州模拟)在两千多年前，我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫做戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知∠1＝102°，则∠2的度数为__78°__．
如图，
由题意，得AB∥CD，所以∠2＝∠BCD.因为∠1＝102°，所以∠BCD＝78°，所以∠2＝78°.
13．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置(其中点A的位置始终不变)，当∠BAD＝__150°或30°__时，CD∥AB.
如图1所示，当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；如图2所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，所以∠BAD＝60°＋90°＝150°.
14．(广西北海模拟)如图，∠1＝∠B，∠B＋∠BFD＝90°.
(1)若∠2＝125°，求∠C的度数；
(2)若∠1和∠D互余，你能试着判断AB∥CD吗？
(1)因为∠1＝∠B，所以CF∥EB，所以∠C＋∠2＝180°.
又因为∠2＝125°，所以∠C＝55°.
(2)因为∠1＝∠B，∠B＋∠BFD＝90°，所以∠1＋∠BFD＝90°.
又因为∠1和∠D互余，即∠1＋∠D＝90°，
所以∠BFD＝∠D，所以AB∥CD.
15．如图1，对于两条直线l1，l2被第三条直线l3所截的同旁内角α，β满足β＝α＋30°，则称β是α的关联角．
(1)已知β是α的关联角．
①当α＝50°时，β＝__80°__；
②当2α－β＝45°时，直线l1，l2的位置关系为__l1∥l2__；
(2)如图2，已知∠AGH是∠CHG的关联角，O是直线EF上一定点．
①求证：∠DHG是∠BGH的关联角；
②过点O的直线MN分别交直线CD，AB于点P，Q，且∠CHG＝80°.当∠EOP是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的∠EOP的度数为__140°，145°或155°__.
(1)①因为β是α的关联角，α＝50°，
所以β＝α＋30°＝50°＋30°＝80°.
②由题意，可得方程组解得
所以α＋β＝75°＋105°＝180°，所以l1∥l2.
(2)①因为∠AGH是∠CHG的关联角，
所以∠AGH＝∠CHG＋30°.
又因为∠DHG＝180°－∠CHG，∠BGH＝180°－∠AGH，
所以∠DHG－∠BGH＝180°－∠CHG－(180°－∠AGH)＝∠AGH－∠CHG＝30°，所以∠DHG＝∠BGH＋30°，
所以∠DHG是∠BGH的关联角．
②当直线MN位于如图1所示位置时，
图1
因为∠AGH是∠CHG的关联角，∠CHG＝80°，
所以∠AGH＝∠CHG＋30°＝80°＋30°＝110°.
若∠EOP是∠AGO的关联角，则∠EOP＝∠AGO＋30°＝110°＋30°＝140°.
若∠EOP是∠CPO的关联角，则∠EOP＝∠CPO＋30°＝80°＋180°－∠EOP＋30°＝290°－∠EOP，得∠EOP＝145°.
当直线MN位于如图2所示位置时，
图2
因为∠AGH＝110°，∠CHG＝80°，
所以∠BGH＝180°－∠AGH＝180°－110°＝70°，∠GHD＝180°－∠CHG＝180°－80°＝100°.
若∠EOP是∠BGO的关联角，则∠EOP＝∠BGO＋30°＝70°＋30°＝100°.
因为∠EOP＝∠GHD＋∠OPH＝100°＋∠OPH＞100°，所以∠EOP＝100°(舍去).
若∠EOP是∠DPO的关联角，则∠EOP＝∠DPO＋30°＝100°＋180°－∠EOP＋30°＝310°－∠EOP，得∠EOP＝155°.
考点5 平移
16．(广西梧州模拟)如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是( B )
A．连接AB，则AB∥PQ
B．连接BC，则BC∥PQ
C．连接BD，则BD⊥PQ
D．连接AD，则AD⊥PQ
如图，
连接AB，将点A平移到点P，即为向上平移3个单位长度，将点B向上平移3个单位长度后，点B不在直线PQ上，所以AB与PQ不平行，选项A错误；连接BC，将点B平移到点P，即为向上平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度，将点C按点B方式平移后，点C在直线PQ上，所以BC∥PQ，选项B正确；连接BD，AD，并延长与直线PQ相交，根据垂直的意义，BD，AD与PQ不垂直，选项C，D错误.
17．如图，将长为5 cm，宽为3 cm的长方形ABCD先向右平移2 cm，再向下平移1 cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为__18__cm2.
由题意，空白部分是矩形，长为5－2＝3(cm)，宽为3－1＝2(cm)，所以阴影部分的面积＝5×3×2－2×2×3＝18(cm2).
18．(广西北海模拟)在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D.将△ABD沿BC的方向平移，使点D移至点C的位置，得到△EFC，且EF交AC于点G.猜想线段GC与GE之间的数量关系，并说明理由．
结论：GE＝GC.
由平移变换的性质，可知∠BAD＝∠E，AD∥EC，
所以∠CAD＝∠ECG.
因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD，
所以∠E＝∠GCE，所以GE＝GC.
19．【动手实践】
在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．
请你利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究．
【实验操作】
(1)如图1，边BA和边BE重合摆成图1的形状，则∠CBD＝__105__度；
(2)保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE是多少度时，BD⊥BC？请说明理由；(∠ABE＜180°)
【拓展延伸】
(3)试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD与∠ABE中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的∠ABE的度数．(∠ABE＜180°)
(1)根据图示∠CBD＝∠CBA＋∠EBD＝45°＋60°＝105°.
(2)∠ABE＝15°或∠ABE＝165°，理由如下：
图1
如图1，因为BD⊥BC，所以∠CBD＝90°.
因为∠DBE＝60°，∠ABC＝45°，
所以∠ABE＝∠EBD＋∠ABC－∠CBD＝60°＋45°－90°＝15°；
图2
如图2，因为BD⊥BC，所以∠CBD＝90°.
因为∠DBE＝60°，∠ABC＝45°，
所以∠ABE＝360°－(∠EBD＋∠ABC＋∠CBD)＝360°－(60°＋45°＋90°)＝165°.
(3)当边BE在边AB右侧时，如图3，设∠ABE＝x，则有2x＝x＋60，解得x＝60°，或者x＝2(x－60°)，解得x＝120°；
当边BE在边AB左侧时，如图4，设∠ABE＝x，则有x＋2x＝60°，解得x＝20°，或者x＝2(60°－x)，解得x＝40°.
综上分析，∠ABE的度数为20°或40°或60°或120°.
20．(广西防城港模拟)如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间，连接AE，CE.
【感知】如图1，若∠BAE＝40°，∠ECD＝50°，则∠AEC＝__90°__；
【探究】如图2，猜想∠BAE，∠ECD和∠AEC之间有什么样的数量关系，并说明理由；
【应用】如图3，若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD方向平移至FG(CE∥FG).若∠AEC＝80°，FH平分∠DFG，则∠AHF＝__40°__．
【感知】如图1，
图1
过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以EF∥CD.
因为∠BAE＝40°，∠ECD＝50°，
所以∠BAE＝∠AEF＝40°，∠ECD＝∠CEF＝50°，所以∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠BAE＋∠ECD＝40°＋50°＝90°.
【探究】∠BAE＋∠DCE＝∠AEC.理由：
如图2，过点E作EF∥AB.
图2
因为AB∥CD，所以EF∥CD，
所以∠BAE＝∠AEF，∠DCE＝∠CEF，
所以∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠BAE＋∠DCE，所以∠BAE＋∠DCE＝∠AEC；
【应用】如图3中，
图3
因为FG∥CE，所以∠ECD＝∠GFD.
因为AH平分∠BAE，HF平分∠GFD，
所以∠BAH＝∠BAE，∠DFH＝∠DFG＝∠DCE，所以∠AHF＝∠BAH＋∠DFH＝(∠BAE＋∠DCE).
因为∠BAE＋∠DCE＝∠AEC＝80°，所以∠AHF＝×80°＝40°.章末小结(第10章)
考点1 对顶角及其性质
1．下列各组角中，∠1和∠2是对顶角的是( )
2．(山东日照中考)如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为( )
A．70° B．80°
C．90° D．100°
3．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC等于46°，求∠AOM的度数．
考点2 垂直
4．如图，在河边的A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是( )
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
5．如图，已知CD⊥AB于点D，且BC＝4，AC＝3，CD＝2.4.则点C到直线AB的距离等于( )
A．4 B．3
C．2.4 D．2
6．(广西河池月考)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠AOC＝34°，则∠DOE的度数是( )
A．34° B．56°
C．66° D．146°
7．如图，直线AO⊥BO，CO⊥DO，若∠BOC＝121°，求∠AOD的度数.
考点3 三线八角
8．如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①②③④
9．如图，与∠1互为同旁内角的有__ __．
考点4 平行线的判定与性质
10．(广西百色模拟)如图，不能判断l1∥l2的条件是( )
A．∠1＝∠3
B．∠4＝∠5
C．∠2＝∠3
D．∠2＋∠4＝180°
11．如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为( )
A．25° B．35°
C．45° D．55°
12．(广西梧州模拟)在两千多年前，我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫做戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知∠1＝102°，则∠2的度数为__ __．
如图，
由题意，得AB∥CD，所以∠2＝∠BCD.因为∠1＝102°，所以∠BCD＝78°，所以∠2＝78°.
13．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置(其中点A的位置始终不变)，当∠BAD＝__ __时，CD∥AB.
14．(广西北海模拟)如图，∠1＝∠B，∠B＋∠BFD＝90°.
(1)若∠2＝125°，求∠C的度数；
(2)若∠1和∠D互余，你能试着判断AB∥CD吗？
15．如图1，对于两条直线l1，l2被第三条直线l3所截的同旁内角α，β满足β＝α＋30°，则称β是α的关联角．
(1)已知β是α的关联角．
①当α＝50°时，β＝__ __；
②当2α－β＝45°时，直线l1，l2的位置关系为__ __；
(2)如图2，已知∠AGH是∠CHG的关联角，O是直线EF上一定点．
①求证：∠DHG是∠BGH的关联角；
②过点O的直线MN分别交直线CD，AB于点P，Q，且∠CHG＝80°.当∠EOP是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的∠EOP的度数为__ __.
考点5 平移
16．(广西梧州模拟)如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是( )
A．连接AB，则AB∥PQ
B．连接BC，则BC∥PQ
C．连接BD，则BD⊥PQ
D．连接AD，则AD⊥PQ
17．如图，将长为5 cm，宽为3 cm的长方形ABCD先向右平移2 cm，再向下平移1 cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为__ __cm2.
18．(广西北海模拟)在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D.将△ABD沿BC的方向平移，使点D移至点C的位置，得到△EFC，且EF交AC于点G.猜想线段GC与GE之间的数量关系，并说明理由．
19．【动手实践】
在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．
请你利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究．
【实验操作】
(1)如图1，边BA和边BE重合摆成图1的形状，则∠CBD＝__ __度；
(2)保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE是多少度时，BD⊥BC？请说明理由；(∠ABE＜180°)
【拓展延伸】
(3)试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD与∠ABE中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的∠ABE的度数．(∠ABE＜180°)
20．(广西防城港模拟)如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间，连接AE，CE.
【感知】如图1，若∠BAE＝40°，∠ECD＝50°，则∠AEC＝__ __；
【探究】如图2，猜想∠BAE，∠ECD和∠AEC之间有什么样的数量关系，并说明理由；
【应用】如图3，若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD方向平移至FG(CE∥FG).若∠AEC＝80°，FH平分∠DFG，则∠AHF＝__ __．
