浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.4与9的等比中项为( )
A. 6 B. 6 C. ±6 D. 36
2 2
2.双曲线 = 1的渐近线方程是( )
4 9
3 2 9 4
A. = ± B. = ± C. = ± D. = ±
2 3 4 9
3.已知圆 1：( + 2)
2 + 2 = 4与圆 2：( 2)
2 + ( 1)2 = 9，则圆 1与圆 2的位置关系是( )
A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内含
4.在正方体 1 1 1 1中， ， 分别为 和 1 1的中点，则异面直线 与 1 所成角的余弦值是( )
3 4 2√ 5
A. 0 B. C. D.
5 5 5
2 2
5.已知直线 = + 3与椭圆 + = 1有公共点，则 的取值范围是( )
5
A. (0,4] B. ( ∞, 0] ∪ [4, +∞)
C. [4, +∞) D. [4,5) ∪ (5, +∞)
6.设等差数列{ }的前 项和为 ，已知 9 = 27， 3 7 = 5，则等差数列{ }的公差为( )
A. 1 B. 2 C. ±1 D. ±2
7.若直线 ： + + 2 1 = 0与⊙ ： 2 + ( 3)2 = 16交于 ， 两点，则| |的最小值为( )
A. √ 2 B. 2√ 2 C. 4√ 2 D. 6√ 2
+
8.已知数列{ }满足 1 = 2，
+1 = ( +1 )2，则 20的最大值为( ) 2 2
A. 420 B. 380 C. 342 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 若空间向量 ， ， ，满足 = ， = ，则 =
B. 若直线 的方向向量为 = (1, 1,2)，平面 的法向量为 = (6,4, 1)，则 ⊥
C. 点 (3,2,1)关于平面 对称的点的坐标是( 3,2, 1)
D. 若 ， 是两个单位向量，则| | = | |
10.已知等差数列{ }的前 项和为 ，正项等比数列{ }的前 项和为 ，下列说法正确的是( )
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A. { }不可能是等差数列 B. 若 6 = 8，则 2 = 12
C. { + }是等差数列 D. 若{
}单调递减，则{ }单调递增
11.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，过点 (2,2)的直线 与抛物线 交于 ， 两点，下列说法正确的是( )
A. 抛物线 的准线为 = 1
B. 若直线 过点 ，则| | = 5
C. 抛物线 上到直线 距离为1的点共有2个
D. △ 的周长大于3 + √ 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在等比数列{ }中，已知 1 = 3， 4 = 81，则公比 = ______．
13.点 (2,1,1)是直线 上一点， = (1,0,0)是直线 的一个方向向量，则点 (1,2,0)到直线 的距离是______．
2 2 4
14.已知 是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点，直线 = 与双曲线 交于 ， 两点， 为坐标 3
原点， ， 分别为 ， 的中点，且 = 0，则双曲线 的离心率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆 ： 2 + 2 2 4 + = 0．
(Ⅰ)求 的取值范围；
(Ⅱ)若 = 4，过 (4,0)作圆 的切线，求切线的方程．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ，∠ = 90°，且 = = = 2 = 2．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
设数列{ }的前 项和为 ，已知 1 = 3，且2 =
+1 3， ∈ ．
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(Ⅰ)求数列{ }的通项公式；
(Ⅱ)设 = ，求数列{ }的前 项和 ．
18.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)， 1， 2分别是椭圆 的左，右焦点， 是椭圆 上任意一点.若△ 1 2
的
周长为6，且| 1|的最小值为1．
(Ⅰ)求 的方程；
(Ⅱ)设点 (4,0)，过 2的直线 与椭圆 交于 ， 两点，记直线 ， 的斜率分别为 1， 2，求 1 2的取值
范围．
19.(本小题17分)
若数列{ }满足
2
+1 = ，则称数列{ }为“平方递推数列”.已知数列{ }中， 1 = 8，点( , +1)在函
数 ( ) = 2 + 4 + 2的图象上，其中 为正整数．
(Ⅰ)证明：数列{ + 2}是“平方递推数列”，且数列{lg( + 2)}为等比数列；
, 为奇数
(Ⅱ)设 = lg( + 2)， = 2 1，
2
= { ，数列{ }的前 项和为 ，且 2 2 + + 10 ≥
, 为偶数
恒成立，求 的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 3
13.【答案】√ 2
14.【答案】√ 5．
15.【答案】解：(Ⅰ)将圆 ： 2 + 2 2 4 + = 0整理可得( 1)2 + ( 2)2 = 5 ，
要使是圆的方程，可得5 > 0，可得 < 5，
即 的范围为( ∞, 5)；
(Ⅱ)当 = 4时，圆 的方程为( 1)2 + ( 2)2 = 9，即圆心 (1,2)，半径 = 3，
当过点 (4,0)的切线的斜率不存在时，则切线的方程为 = 4，显然圆心 (1,2)到直线的距离 = 3，符合条
件；
当过点 (4,0)的切线的斜率存在时，设切线的方程为 = ( 4)，即 4 = 0，
| 2 4 | |3 +2|
则圆心 到直线的距离 = = = 3，
√ 2 2 +( 1) √ 2 +1
5 5
解得 = ，此时切线方程为 = ( 4)，即5 12 20 = 0，
12 12
综上所述：切线的方程为 = 4或5 12 20 = 0．
16.【答案】解：(1)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
又因为 // ，∠ = 90°，
所以 ⊥ ，而 ∩ = ，且 ， 平面 ，
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所以 ⊥平面 ；
(2)因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，而 ⊥ ，
于是建立如图所示的空间直角坐标系，
(0,0,0)， (0,0,2)， (2,0,0)， (2,1,0)， (0,2,0)，
由(1)可知： ⊥平面 ，
所以平面 的法向量为 = (0,1,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )， = (2,1, 2), = (0,2, 2)，
⊥ = 0 2 + 2 = 0则{ ，则{ { = (1,2,2)，
⊥ = 0 2 2 = 0
设平面 与平面 夹角为 ，
| | 2 2
= = = ，
| |×| | 1×√ 1+4+4 3
2
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
3
17.【答案】解：(Ⅰ)当 = 1时，2 1 = 2 1 = 2 3所以 2 = 2 × 3 + 3 = 9；
当 ≥ 2时，2 = +1 3，用 1代替 ，可得2 1 = 3，
两式相减得：2( 1) = +1 ，即 +1 = 3 ，
又因为 2 = 3 1，所以数列{ }是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 = 3
；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 = × 3 ，
所以 = 1 × 31 + 2 × 3
2 + 3 × 33 + + 3 ，
3 = 1 × 3
2 + 2 × 33 + + ( 1) 3 + 3 +1，
3(1 3 ) 1 2 3
两式相减得： 2 = 31 + 3
2 + 33 + + 3 3 +1 = 3 +1 = × 3 +1 ，
1 3 2 2
2 1 3
所以 = × 3
+1 + ．
4 4
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18.【答案】解：(Ⅰ)由椭圆的定义知| 1| + | 2| = 2 ，
又△ 1 2的周长为6，所以2 + 2 = 6，即 + = 3，
因为| 1|的最小值为1，可得 = 1，
故 = 2， = 1，
故 = √ 2 2 = √ 3，
2 2
所以椭圆 的方程为 + = 1．
4 3
(Ⅱ)由题意可知直线 的斜率不为0，故可设直线 的方程为 = + 1．
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 1
由{ 2 2 ，消去 ，得(3 2 + 4) 2 + 6 9 = 0，
+ = 1
4 3
6 9
所以 = 36 2 + 36(3 2 + 4) > 0， 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， 3 +4 3 +4
1
所以 = 1 2 = 1 21 2 =
1 2 = ，
1 4 2 4 ( 1 3)( 2 3)
2 1 2 3 ( 1+ 2)+9 4(
2+1)
1 1
因为 2 ≥ 0，所以 ∈ [ , 0),
4( 2+1) 4
当直线 斜率为0时， 1 2 = 0，
1
所以 1 2的取值范围为[ , 0]． 4
19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵点( 2 , +1)在函数 ( ) = + 4 + 2的图象上，=
∴ = 2 +1 + 4 + 2，∴ +1 + 2 = ( + 2)
2，
∴数列{ + 2}是“平方递推数列”，
∵ lg( 1 + 2) = lg(8 + 2) = 1 > 0，
对 2 +1 + 2 = ( + 2) 两边同时取对数得lg( +1 + 2) = 2 ( + 2)，
∴数列{lg( + 2)}是以1为首项、2为公比的等比数列；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 = lg( + 2) = 1 × 2 1 = 2 1 ，
, 为奇数
又 = 2 1， = { ，数列{ }的前 项和为 ，
, 为偶数
2 1, 为奇数
所以 = { ，
2 1, 为偶数
所以 2 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + + 2 1 + 2
= 1 + 3 + 5 + + 2 1 + 2 + 4 + 6 + + 2
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(1+4 3) 2(1 4 )
= +
2 1 4
2
= 2 2 + (4 1)，
3
2
则 22 2 + + 10 ≥ 恒成立等价于 (4
1) + 10 ≥ 2 1恒成立，
3
4 14即 ≤ (2 +
14
3 2
)恒成立，令 = 2 + ， 2
14 14 7
则 = 2 +1 +1 + (2
+ ) = 2 ，
2 +1 2 2
7 3
当 = 1时， 2 1 = 2 = < 0， 2 2
7 9
当 ≥ 2时， +1
2
≥ 2 2 = > 0， 2 4
所以 1 > 2， 2 < 3 < 4 < ，
14 15所以 = 2 + 的最小值为 2 = ， 2 2
4 15
所以 ≤ × = 10，即 的最大值为10．
3 2
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