2024-2025学年安徽省滁州二中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则( )
A. B. C. D.
2.空间四边形中，，，，且，，则( )
A. B.
C. D.
3.过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列满足，则( )
A. B. C. D.
5.一条光线从点射出，与轴相交于点，并经轴反射，则反射光线所在的直线方程是( )
A. B. C. D.
6.过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足设，为数列的前项和．若对恒成立，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则
D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点
10.下列关于圆锥曲线的说法中，正确的是( )
A. 设、为两个定点，为常数，，则动点的轨迹为双曲线的一支
B. 在圆上一点作圆的动弦，为原点，若，则动点的轨迹为椭圆
C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D. 双曲线与椭圆有相同的焦点
11.如图，四棱锥中，底面为菱形，，，面面，为等腰直角三角形，且，与交于点，为的中点，在直线上，若，则下列说法正确的有( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 当时，平面平面
C. 点到平面的距离为
D. 存在，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且与圆相切的直线方程为______．
13.已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前项和 ______．
14.已知椭圆和双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间直角坐标系中的三点，，．
若，且，求向量的坐标；
已知向量与互相垂直，求的值；
求点到直线的距离．
16.本小题分
已知圆的圆心在直线，且过圆上一点的切线方程为．
求圆的方程；
设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时直线的方程．
17.本小题分
如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，，分别为，的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为．
求证：平面；
求点到平面的距离；
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为点，，又恰为抛物线：的焦点，以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点．
求椭圆的标准方程；
若直线与相交于，两点，记点，到直线的距离分别为，，直线与相交于，两点，记，的面积分别为，．
证明：的周长为定值；
求的最大值．
19.本小题分
已知点集，，，将中的元素按照一定顺序排成一列，可得到数对序列：，，，定义：，，，其中表示，中最大的数．
对于数对序列：，，求，的值；
有序实数对，可排成两个序列：，和：，，在，，，四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小；
若为奇数且，，，，证明：集合中存在两个非空子集，，满足，，中所有点的横坐标之和，中所有点的纵坐标之和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：因为，，
所以，
因为，
可设，，
然后根据，
可得，
所以或；
，，，
可得，，
由向量与互相垂直，
可得，
解得；
由于，
，
则在上的投影向量的模长，
则所求距离，
故点到直线的距离为．
16.解：由题意，过点的直径所在直线方程为，即．
联立，解得，
圆心坐标为．
半径，
圆的方程为；
，要使最大，则点满足所在直线与所在直线垂直，
此时的最大值为；
，所在直线方程为，即，
联立，得或，
即的坐标为或，
当时，的方程为，即；
当时，的方程为，即．
综上，所在直线方程为或．
17.解：由题设，得四棱台为正四棱台，可建立如图所示空间直角坐标系，
由题意，，
过点作垂直，
所以，
因为与侧棱所在直线成角，
所以，
所以，，
故，，
，
所以，
若平面的一个法向量为，
则，则，
令，则，显然，而面，
所以面；
由知：，
所以到平面的距离为；
假设在上存在点，且，，
则，
直线与平面所成的角为，故，
所以，即，可得或，
时，，
则，
时，，
则，
综上，长为或．
18.解：为抛物线：的焦点的焦点，故F，
，又以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点，知，
，．
椭圆的标准方程为；
证明：由题意，为抛物线的准线，
由抛物线的定义知，，
，等号当且仅当，，三点共线时成立．
直线过定点，根据椭圆定义得：
；
解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
，，；
若直线的斜率存在，可设直线方程为，，，
联立，得．
，．
设，，
联立，得．
则，．
．
则，
综上可知，的最大值为．
19.解：由定义可知，；
，
，
记表示和中较小的数，
则，
不论还是取最小时，易知，
所以，，，
所以两种情况下均有；
不妨设，
若，因为中任意，
所以存在为单元素集，为的补集即可；
若，因为，，
故必存在正整数，使得，
可得，
此时，
所以取，，，，，，，时，
，，
综上所述，存在两个非空子集，，满足题意．
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