2024-2025学年安徽省亳州市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的一条渐近线的方程为( )
A. B. C. D.
2.的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
3.若向量，，共面，则( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线：的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线与平行，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或
6.某学校门口有辆公司的共享单车，辆公司的共享单车，名同学从这辆车中各选辆骑行，同品牌的车因编号不同也视作不同的车，若没有被选到的两辆车是同一公司的，则这名同学选择共享单车的方法种数为( )
A. B. C. D.
7.已知点，到直线的距离分别为和，若这样的直线恰有两条，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则( )
A. B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
10.某手机专卖店新进，，，，，，这款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法正确的是( )
A. 若，，必须摆在前三个位置，则不同的摆法有种
B. 若，，彼此不相邻，，，，也彼此不相邻，则不同的摆法有种
C. 若，，彼此不相邻，则不同的摆法有种
D. 若不能摆在后两个位置，则不同的摆法有种
11.已知四棱柱的底面是边长为的菱形，底面，，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是( )
A. 若点到点，，，的距离相等，则
B. 若，则长度的最小值为
C. 若，则长度的最大值为
D. 若，则点的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______．
13.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点在轴上方，且，则直线的斜率为______．
14.若满足能被整除的的最小值为，设，，则方程表示的不同直线的条数为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆经过点，且离心率为．
求的方程；
若直线与交于点，，求．
16.本小题分
已知直线：和圆：．
若直线与垂直，且经过圆的圆心，求的方程；
若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求的最小值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，，若，求直线与平面所成角的正弦值；
若平面平面，求．
18.本小题分
设．
求；
若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值；
若，求．
19.本小题分
如图，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，线段是的虚轴，四边形是面积为的矩形．
求的方程；
设是上任意一点，直线与交于点，直线与交于点，证明：；
过的左焦点的直线与交于，两点，以为直径的圆被直线截得的劣弧为，若直线变化时，劣弧所对的圆心角大小为定值，求的值．
参考答案
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15.解：根据题意可得，解得，，
所以的方程为；
联立，可得，设，，
则，，
所以．
16.解：由直线与：垂直，设直线：，
圆：化为，圆心为，
由直线经过圆心，得，解得，
所以的方程为．
设，由，可得圆的半径，圆的圆心，
则，
，当且仅当时取等号．
所以的最小值为．
17.解：以为原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，得．
设直线与平面所成的角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
设，则，，．
设的法向量为，
则，取，得．
由知平面的一个法向量为，
平面平面，，
解得，即．
18.解：由设，
令，可得；
令，可得；
所以．
由题意知的展开式的通项为，，，，，，
所以，，，，，．
因为是，，，，中唯一的最大值，
可得，解得，所以的所有可能取值为，，．
由题意可得：
；
所以，，，，，，
则；
因为，
．
19.解：设，
易知，．
将代入椭圆方程中，
解得，
即，，
因为四边形是面积为的矩形，
所以，
解得，
则的方程为；
证明：设，
由知，，，，
因为直线的方程为，
令，
解得，
即，
所以．
直线的方程为，
令，
解得，
即，
所以．
因为点在双曲线上，
所以，
所以，
因为，
所以；
由知的左焦点的坐标为，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时且，
解得，
由韦达定理得，，
以为直径的圆的圆心到直线的距离，
半径，
若劣弧所对的圆心角为定值，
则为定值，
此时需满足，
即，
可得，为定值；
当直线的斜率不存在时，
此时直线的方程为，
以为直径的圆的圆心到直线的距离，
半径，同样有．
综上所述，．
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